Chuyên đề Khảo sát hàm số và cực trị hàm số trùng phương - Trương Trọng Nhân

Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 43 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ 
TRÙNG PHƯƠNG 
4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ 
A. Kết quả khảo sát: 
1. TXĐ: D = 
 
2. Sự biến thiên 
a. Các giới hạn tại vô cực: lim
x
y
→−∞
 , lim
x
y
→+∞
b. Lập bảng biến thiên 
° Tính y ′ 
° Giải 0y ′ = . 
° Vẽ bảng biến thiên 
° Kết luận về cực trị, hàm số tăng, giảm trên các khoảng. 
3. Đồ thị: 
a. Điểm uốn 
° Tính y ′′ 
° Giải 0y ′′ = 
° Tính điểm uốn 
b. Tìm giao điểm đồ thị với các trục tọa độ 
° Cho 0x = , tính y 
° Cho 0y = , tính x (nếu x có căn phức tạp thì bỏ qua). 
c. Vẽ đồ thị 
d. Kết luận: Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng. (Do là hàm số chẵn) 
B. Đồ thị: Đồ thị của hàm số 4 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ có các dạng sau: 
0a > 0a < 
Trường hợp 0ab > 
x −∞ 0x +∞ 
y ′ 
 - 0 + 
y 
 +∞ +∞ 
 CT 
x −∞ 0x +∞ 
y ′ 
 + 0 - 
y 
 CĐ 
−∞ −∞ 
O 
x 
y 
O 
x 
y 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 44 
Trường hợp 0ab < 
x −∞ 1x 2x 3x +∞ 
y ′ 
 - 0 + 0 - 0 + 
y 
 +∞ CĐ +∞ 
 CT CT 
x −∞ 1x 2x 3x +∞ 
y ′ 
 + 0 - 0 + 0 - 
y 
 CĐ CĐ 
−∞ CT −∞ 
C. Điều kiện có 3 cực trị: 
1. Tập xác định: D = 
 
2. Tính 34 2y ax bx′ = + 
3. 30 2 0y ax bx′ = ⇔ + = 
2
2
(2 ) 0
0
2 0 (1)
x ax b
x
ax b
⇔ + =
 =
⇔  + =
Sẽ có các trường hợp xảy ra cho  ( với 8ab= − ) 
Ta lập bảng biến thiên cho từng trường hợp. 
 ° Trường hợp 0 0a ab 
0< 
x −∞ 0 +∞ 
y ′ 
 - 0 + 
y 
 +∞ +∞ 
 CT 
0 0ab> ⇔ < 
x −∞ 1x 0 2x +∞ 
y ′ − 0 + 0 − 0 + 
y 
 +∞ CĐ +∞ 
 CT CT 
° Trường hợp 0a < : Xét tương tự 
Vậy hàm số y có ba cực trị 'y⇔ có 3 nghiệm phân biệt 
O 
x 
y 
O 
x 
y 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 45 
 (1)⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
0
0
(0) 0
a
g
 ≠⇔ >
 ≠
 
D. Các dạng bài toán 
Bài 1. Cho hàm số 4 21 1
2 2
y x mx= − + . Xác định m để hàm số có cực tiểu 
mà không có cực đại. 
Giải 
Tập xác định: D = 
 
Ta có 3 2' 2 2 2 ( )y x mx x x m= − = − 
2
2
' 0 2 ( ) 0
0
( ) 0 (1)
y x x m
x
x x mϕ
= ⇔ − =
 =
⇔  = − =
Hàm số có cực tiểu và không có cực đại khi và chỉ khi phương trình (1) vô 
nghiệm hoặc có nghiệm kép hay có 1 nghiệm 0x = nghĩa là: 
' 0
(0) 0
0
0
m
m
ϕ
 ≤

 =
 ≤
⇔  =

Vậy 0m ≤ thỏa điều kiện đề bài cho. 
Bài 2. Cho hàm số 4 22 2y x mx m= − + . Tìm các giá trị của m sao cho hàm 
số có ba điểm cực trị. 
Giải 
Tập xác định: D = 
 
3' 4 4y x mx= − 
2
2
' 0 4 ( ) 0
0
( ) 0 (1)
y x x m
x
g x x m
= ⇔ − =
 =
⇔  = − =
Hàm số y có ba cực trị ( ) 0g x⇔ = có 2 nghiệm phân biệt ( 0)x ≠ 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 46 
0
(0) 0
4 0
0
0
g
m
m
m
 >⇔ 
 ≠
 >⇔ ⇔ >
 ≠

Vậy m > 0 thỏa yêu cầu của đề bài. 
Bài 3. Cho hàm số 4 2( 1) 1y x m x= + + + . Tìm m để đồ thị hàm số có cực 
đại, cực tiểu. 
Giải 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm: 
3
3
2
2
4 4( 1)
0 4 4( 1) 0 (1)
0
4 ( 1) 0
( ) 1 0 (2)
y x m x
y x m x
x
x x m
f x x m
′ = + +
′ = ⇔ + + =
 =
⇔ + + = ⇔  = + + =
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
 1 0 1m m⇔ + < ⇔ <− 
Bài 4. Cho hàm số 4 3 24 2 12y x x mx mx= + − − 
a. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu 
b. Gọi 
1 1 2 2 3 3
( , y ), ( , y ), ( , y )A x B x C x là các điểm cực trị . Xác định m để 
2 2 2
1 2 3 1 2 3
4
y y y - . . 14
9
x x x+ + = − (*) 
Giải 
Xét hàm số 4 3 24 2 12y x x mx mx= + − − 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm: 3 24 12 4 12y x x mx m′ = + − − 
3 2
12
2
0 4 12 4 12 0 (1)
3
( 3)( ) 0
( ) 0 (2)
y x x mx m
x
x x m
f x x m
′ = ⇔ + − − =
 = −
⇔ + − = ⇔  = − =
a. Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(1) có 3 nghiệm phân biệt 
⇔ Pt(1) có 2 nghiệm phân biệt khác −3 0 0 9
( 3) 0
m
m
f
 >⇔ ⇔ < ≠
 − ≠
Khi đó: (1) có 3 nghiệm phân biệt 
1 2 3
3, ,x x x= − thỏa định lý Viet: 
2 3
2 3
0
.
x x
x x m
 + =

 = −
Thực hiện phép chia đa thức ychoy ′ ta được: 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 47 
21 1( ) (2 3) 8 3
4 4
y x y m x mx m′= + − + − + 
Do đó: 
1
2
2 2 2 2
2
3 3) 3 3
y ( 3) 9 7
y ( ) (2 3) 8 3
y ( (2 3) 8 3
y m
y x m x mx m
y x m x mx m
= − = −
= − + − +
= = − + − +
Vậy: tọa độ các điểm cực trị là 
1 1 2 2 3 3
( , y ), ( , y ), ( , y )A x B x C x 
b. Ta có: 
2 2 2
1 2 3 1 2 3
2 2 2 2 2
2 3 2 3 2 3
2
2 3 1 2 2 3
2 2 2
2 3
2 2
4
y y y - . .
9
4
9 27 (2 3)( ) 8 ( ) 6 ( 3) . .
9
9 27 (2 3)[( ) 2 ] 8 ( ) 6
4
( 3) . .
9
9 27 2 (2 3) 6 4 21 27 8
x x x
m m x x m x x m x x
m m x x x x m x x m
x x
m m m m m m m
+ +
= − − + + − + + − −
= − − + + − − + +
− −
= − − + + − = − −
Vậy: (*) 2 138 21 13 0 1
8
m m m m⇔ − + = ⇔ = ∨ = 
Bài 5. Cho hàm số 4 2( 1) 1 2y kx k x k= + + + − 
Xác định các giá trị của tham số k để hàm số chỉ có một điểm cực trị. 
 (ĐH kiến trúc – 99) 
Giải 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm: 
3 2
2
2
4 (2 1) 2 (2 1)
0
0 2 (2 1) 0
( ) 2 1 0
y kx k x x kx k
x
y x kx k
f x kx k
′ = + − = + −
 =
′ = ⇔ + − = ⇔  = + − =
Hàm số chỉ có 1 điểm cực trị 
( ) 0
(0) 0
f x
f
 =
⇔  =
vo ânghieäm
° TH1: ( ) 0f x = voâ nghieäm 

 Với 0k = , ta có ( ) 0 -1 0f x = ⇔ = mâu thuẫn 
Vậy với 0k = phương trình ( ) 0f x = vô nghiệm. 

 Với 0k ≠ ta có ( ) 0f x = vô nghiệm. 
1
0 8 ( 1) 0
0
k
k k
k
 >
⇔ ∆ < ⇔ − − < ⇔  <
° TH2: (0) 0 1 0 1f k k= ⇔ − = ⇔ = 
Vậy hàm số chỉ có một điểm cực trị khi 1 0k k≥ ∨ ≤ 
Vấn đề 5: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 48 
Bài 6. Xác định m để hàm số 4 2 42 2y x mx m m= − + + có cực đại, cực tiểu 
lập thành một tam giác đều. 
 (HVQHQT-97) 
Giải 
TXĐ: D = 
 
Đạo hàm 
3 24 4 4 ( )y x mx x x m′ = − = − 
20 ( ) 0y x x m′ = ⇔ − = (1) 
Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ Pt(1) có 3 nghiệm phân biệt 0m⇔ > 
Khi đó (1) có 3 nghiệm phân biệt 0,x x m= = ± và tọa độ 3 điểm cực trị: 
4 4 2 4 2(0,2 ), ( , 2 ), ( , 2 )A m m B m m m m C m m m m+ − − + − + 
Ta có ABC∆ đều 
32 2 3
AB AC
AB AC m
AB BC
 =⇔ ⇔ = ⇔ =
 =
Vậy với 3 3m = thỏa mãn điều kiện đề bài.