Chuyên đề Khảo sát hàm số và cực trị hàm số hữu tỉ - Trương Trọng Nhân

x
y
+→
, lim
x
y
→+∞
, lim
x
y
→−∞
b) Các đường tiệm cận: 
° Thực hiện phép chia tử cho mẫu để được dạng Cy Ax B
px q
= + +
+
° Tiệm cận đứng qx
p
=− , tiệm cận xiên y Ax B= + 
c) Bảng biến thiên: 
° Đạo hàm y ′ 
° Giải 0y ′ = 
° Xét dấu y ′ 
° Kết luận về cực trị và các khoảng đơn điệu 
3. Đồ thị: 
 ° Cho 0x = đi tính y . Cho 0y = đi tính x . 
 ° Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 
B. Đồ thị: Đồ thị của hàm số 
2
( 0, 0)
ax bx c
y a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
 có các dạng 
sau: 
 Thực hiện phép chia tử cho mẫu để được dạng Cy Ax B
px q
= + +
+
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 52 
0A> 0A< 
 Trường hợp A trái dấu pC 
x 
−∞ 
q
p
− 
+∞ 
y ′ 
 + + 
y 
+∞ 
−∞ 
+∞ 
−∞ 
x 
−∞ 
q
p
− 
+∞ 
y ′ 
 - - 
y 
+∞ 
−∞ 
+∞ 
−∞ 
Trường hợp A cùng dấu pC 
x −∞ 1x 
q
p
− 
2
x +∞ 
y ′ 
 + 0 - - 0 + 
y 
 CĐ 
−∞ −∞ 
+∞ +∞ 
 CT 
x −∞ 1x 
q
p
− 
2
x +∞ 
y ′ 
 - 0 + + 0 - 
y 
+∞ +∞ 
 CT 
CĐ 
−∞ −∞ 
∗ Chứng minh đồ thị của hàm số 
2
( 0, 0)
ax bx c
y a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
 nhận giao 
điểm của hai tiệm cận là tâm đối xứng. 
I 
O x 
y 
I 
O x 
y 
I 
O x 
y 
I O x 
y 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 53 
Thực hiện phép chia tử cho mẫu để được dạng Cy Ax B
px q
= + +
+
 với 
2
,
a bq aq
A B
p p
−
= = 
Tiệm cận đứng qx
p
=− , tiệm cận xiên y Ax B= + 
Gọi ( , )q qI A B
p p
− − ⋅ + là giao điểm hai tiệm cận 
Ta có công thức chuyển tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI



q
x X
p
q
y Y A B
p
 = −
 = − ⋅ +
Vậy ta có 
2
q q
a X b X c
p pq
Y A B
p q
p X q
p
      − + − +       
− ⋅ + =
  − +   
2
2
2 2
2aq bp aq aq aq bq
pX Y X X aX X bX c
p p pp p
−
⇔ ⋅ − + = − + + − + 
2
2
2
aq bq
aX c
pp
Y
pX
+ − +
⇔ = Đây là hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ I 
làm tâm đối xứng. 
C. Điều kiện có 2cực trị: 
1) Tập xác định: 
0
\ { }
q
D x
p
= − 
2) Tính y ′ 
2
1 1 1
0 0 (1)y a x b x c′ = ⇔ + + = 
 Đặt 2
1 1 1
( )g x a x b x c= + + 
Có các trường hợp sau đây ( với 2
1 1 1
4b a c= − ) 
1
0a > 
1
0a < 
0< 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 54 
x −∞ 
q
p
− +∞ 
y ′ 
 + + 
y 
 +∞ 
−∞ 
 +∞ 
−∞ 
x −∞ 
q
p
− +∞ 
y ′ 
 - - 
y 
+∞ 
 −∞ 
+∞ 
 −∞ 
Hàm số không có cực trị 
0> 
x −∞ 1x 
q
p
− 
2
x +∞ 
y ′ 
 + 0 - - 0 + 
y 
 CĐ 
−∞ −∞ 
+∞ +∞ 
 CT 
x −∞ 1x 
q
p
− 
2
x +∞ 
y ′ 
 - 0 + + 0 - 
y 
+∞ +∞ 
 CT 
 CĐ 
−∞ −∞ 
Hàm số có một cực đại và một cực tiểu. 
Vậy hàm số y có cực đại và cực tiểu ' 0y⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 
1
,x 
2 0
x x≠ 
0
0
0
( ) 0
a
g x
 ≠⇔ >
 ≠
 
D. Các dạng bài toán 
Bài 1. Cho hàm số 
2 2
1
x mx
y
x
− +
=
−
. Xác định m để hàm số có cực tiểu và 
cực đại. 
 Giải 
Tập xác định: \ {1}D =  
Ta có 
2
2
2 2
'
( 1)
x x m
y
x
− + −
=
−
2' 0 2 2 0 ( ) (1)y x x m g x= ⇔ − + − = =
Hàm số y có cực đại và cực tiểu ⇔ ' 0y = có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
' 0
(1) 0g
 >⇔ 
 ≠

Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 55 
3 0
3 0
3
3
m
m
m
m
− + >⇔ 
 − ≠
 <⇔ 
 ≠
Vậy 3m < thỏa điều kiện đề bài cho. 
Bài 2. Chứng tỏ rằng nếu hàm số 
22 2 2
2
x x m
y
x
+ + −
=
+
 đạt cực đại tại 
1
x 
và cực tiểu tại 
2
x thì ta có: 
1 2 1 2
| ( ) ( ) | 4 | |y x y x x x− = − 
 Giải 
Tập xác định: \ { 2}D = − 
Ta có 
2
2
2 8 8
( 2)
x x m
y
x
+ + −
′ =
+
20 2 8 8 0 ( ) (1)y x x m g x′ = ⇔ + + − = =
Hàm số y có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi 0y ′ = có hai nghiệm phân 
biệt 2x ≠ − 
0
( 2) 0
0
0
g
m
m
 ′ >⇔ 
 − ≠
 >⇔ 
 ≠

Vậy 0m > thỏa điều kiện đề bài cho. 
Với 0m > : 0y ′ = có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
,x x 
⇒ hàm số có cực đại tại 
1
x và cực tiểu tại 
2
x 
Ta có 
1 1
1 1
1 1
2 2
2 2
2 2
( ) ( )
( ) 4 3
( ) ( )
( ) ( )
( ) 4 3
( ) ( )
u x u x
y x x
v x v x
u x u x
y x x
v x v x
′
= = = +
′
′
= = = +
′
Vậy 
1 2 1 2 1 2
| ( ) ( ) | | 4 3 4 3 | 4 | |y x y x x x x x− = + − − = − 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 56 
Bài 3. Cho hàm số: 
2 2
1
x mx
y
mx
+ −
=
−
Xác định m để : 
a. Hàm số có cực trị 
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ thõa mãn 
1 2 1 2
4x x x x+ = 
c. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương. 
Giải 
TXĐ: 1\D
m
   =  
   
 
Đạo hàm: 
2
2
2
( 1)
mx x m
y
mx
− +
′ =
−
2
2
2
0 ( ) 0
( 1)
mx x m
y f x
mx
− +
′ = ⇔ = =
−
 (1) 
Xét 2 trường hợp : 
° TH1: Nếu 0m = 
Khi đó: 2 , (0) 0 0y x y x′ ′= − = ⇔ = 
Vì qua 0,x y ′= đổi dấu, do đó 0m = thỏa mãn 
° TH2: Nếu 0m ≠ 
Điều kiện là pt (1) có 2 nghiệm phân biệt 
2
00 0
0 11 0
ma m
mm
  ≠≠ ≠ ⇔ ⇔ ⇔  
′  ∆ >     
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu 
⇔ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
m
2
0 0
01 1
0 0 (*)
1
1 00
a m
m
f m
mm m
m
  ≠  ≠       ≠   ⇔ − = ⇔ − ≠ ⇔       ′∆ > 
Khi đó pt(1) có 2 nghiệm 
1 2
,x x thỏa mãn : 
1 2
1 2
2
. 1
x x
m
x x
 + =

 =
Vậy : 
1 2 1 2
2 1
4 4
2
x x x x m
m
+ = ⇔ = ⇔ = thỏa mãn điều kiện (*) 
b. Hàm số có cực đại, cực tiểu với hoành độ dương 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 57 
⇔ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt dương khác 1
m
2
2
0 0
0 1 0
1 1
0 0 0 1
0(0) 0
1
00
2
a m
m
m
f m
m m
maf
S
m
   ≠ ≠   ′ ∆ > − >     −  ⇔ − = ⇔ ≠ ⇔  >     > < 
Bài 4. Xác định m để hàm số 
2 2x mx m
y
x m
+ −
=
+
 có cực trị 
 (ĐHCĐ-99) 
Giải 
TXĐ: \{ }D m= − 
Đạo hàm: 
2 2
2
2 2
( )
x mx m m
y
x m
+ + +
′ =
+
2 20 2 2 0 (1)y x mx m m′ = ⇔ + + + = 
Hàm số có cực trị ⇔ pt (1) có 2 nghiệm phân biệt khác m− 
2
2
0 0
1 0
( ) 0 0
m m
m
f m m m
 ′∆ > − − >⇔ ⇔ ⇔ − < < 
 − > − ≠  
Vậy với 1 0m− < < hàm số có cực trị. 
Bài 5. Cho hàm số 
2 2x mx m
y
x m
− + −
=
−
 Xác định m để hàm số có cực đại và 
cực tiểu. 
 (ĐHTCKT-99) 
Giải 
TXĐ: \ { }D m=  
Đạo hàm: 
2
2
2
( )
x mx
y
x m
− +
′ =
−
20 2 0y x mx′ = ⇔ − + = (1) 
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ pt(1) có 2 nghiệm phân biệt khác m 
2
2
0 0
0
( ) 0 0
m
m
f m m
 ′∆ > >⇔ ⇔ ⇔ ≠ 
 ≠ ≠  
Vậy với 0m ≠ hàm số có cực đại, cực tiểu. 
Bài 6. Cho hàm số 
2 2( 1) 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − − −
=
−
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 58 
a. Xác định m để hàm số có cực trị. 
b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 
(ĐHQG/khối A-99) 
Giải 
TXĐ: \ {1}D =  
Đạo hàm: 
2 2
2
2 3 3
( 1)
x x m m
y
x
− + − +
′ =
−
2 20 2 3 3 0y x x m m′ = ⇔ − + − + = (1) 
a. Hàm số có cực trị ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 1 
2
2
0 3 2 0
1 2
(1) 0 3 2 0
m m
m
f m m
 ′∆ > − + − >⇔ ⇔ ⇔ < < 
 ≠ − + ≠  
Vậy với 1 2m< < hàm số có cực trị . 
b. Tìm m để tích các giá trị cực đại và cực tiểu đạt giá trị nhỏ nhất. 
Vậy với 1 2m< < pt (1) có 2 nghiệm phân biệt 
1 2
,x x thỏa mãn: 
1 2
2
1 2
2
. 3 3
x x
x x m m
 + =

 = − +
Ta có nếu 
0 0
( , )x y là tọa độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì 
0
( ) 0y x′ = . 
Do đó: 
2 2
0 0
0 0 0
0
( 1) 4 2
( ) 2 1
1
x m x m m
y y x x m
x
− − − − −
= = = − −
−
1 1 2 2
( ) 2 1 à ( ) 2 1y x x m v y x x m⇒ = − − = − − 
Khi đó: 
1 2 1 2
. ( ). ( ) (2 1)(2 1)y y y x y x x m x m= = − − − −
CÑ CT
2
1 2 1 2
2
4 2( 1)( ) ( 1)
4
5 14 9
5
x x m x x m
m m
= − + + + +
= − + ≥−
Vậy: .y y
CÑ CT
 nhỏ nhất bằng 4
5
− , đạt được khi 7
5
m = ⋅ 
Bài 7. Cho hàm số 
2 ( 2)
( )
1
x m x m
y f x
x
+ + −
= =
+
. Với giá trị nào của m thì 
hàm số có cực đại và cực tiểu. 
Giải 
Ta có: 
2
2 2
2 2 2 ( )
( )
( 1) ( 1)
x x m g x
y f x
x x
+ + +
′ ′= = =
+ +
với 2( ) 2 2 2g x x x m= + + + 
Hàm số có cực đại và cực tiểu y ′⇔ có 2 nghiệm phân biệt khác 1− 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương Trọng Nhân_ĐHToán 06A Trang 59 
1 21 (2 2) 0 1
1( 1) 0 2
2
mm
m
g m
− > ′ ∆ = − + > ⇔ ⇔ ⇔ <− 
 − ≠ ≠ −  
Bài 8. Xác định m để hàm số 
2
2
2
( )
2 2
x x m
y f x
x x
+ +
= =
− +
 nhận 2x = làm 
điểm cực đại. 
Giải 
Tập xác định D =  
2
2
4 2(2 ) 4 2
( )
( 2 2 2)
x m x m
f x
x x
− + − + +
′ =
− +
Điều kiện cần để f nhận 2x = làm điểm cực trị là là ( 2) 0f = 
 8 2 2(2 ) 4 2 0 2m m m⇔− + − + + = ⇔ = 
Thử lại, khi 
2
2
4 8
2 ( )
( 2 2 2)
x
m y f x
x x
− +
′ ′= ⇒ = =
− +
 có nghiệm 
1
2,x = − 
2
2x = . 
x −∞ 2− 2 +∞ 
f ′ 
 − 0 + 0 − 
f 
 CĐ 
 CT 
Vậy 2x = là điểm cực đại hàm số khi 2m = . 
Vậy 2m = là giá trị cần tìm. 
Bài 9. Cho hàm số 
2 ( 2) 3 2
(1)
1
x m x m
y
x
+ + + +
=
+
. 
Xác định m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. 
 (Đại học Dân lập Bình Dương-2001) 
Giải 
Ta có 
2
2
2 2
( 1)
x x m
y
x
+ −
′ = ⋅
+
Hàm số có cực đại và cực tiểu ⇔ Phương trình ( ) 0y x′ = có hai nghiệm phân 
biệt 
⇔ Phương trình 2 2 2 0x x m+ − = có 2 nghiệm phân biệt khác 1− 
1
2
m⇔ >− 
Vấn đề 7: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CỰC TRỊ HÀM SỐ HỮU TỈ 2 ( 0, 0)ax bx cy a p
px q
+ +
= ≠ ≠
+
Trương T