Chuyên đề Hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 7 giải dạng toán “Tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

bài, quá trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp được kết quả tìm ra với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh, hợp lí.
 Kết quả đạt được như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu và kém
7A
5%
12%
73%
10%
7D
7%
13%
72%
8%
	Kết quả thấp là do học sinh vướng mắc những điều tôi đã nêu ra ( ở phần trên) và phần lớn các em xét chưa được chặt chẽ ở câu c, trường hợp 4Êx 0x = 0( xảy ra với mọi x) => x có thể vô số giá trị.
Nhưng thực tế ở đây đang xét trong điều kiện 4Êx<9 nên x có vô số giá trị thoả mãn 4Êx<9.
Chương III: giải pháp
I. Những kiến thức cơ bản liên quan đến bài toán tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
Yêu cầu học sinh nắm vững và ghi nhớ các kiến thức cần thiết để giải bài tập tìm x trong đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, một điều khó khăn khi dạy học sinh lớp 7 về vấn đề này đó là học sinh chưa được học về phương trình, bất phương trình, các phép biến đổi tương đương, hằng đẳng thức… nên có những phương pháp dễ xây dựng thì chưa thể hướng dẫn học sinh được, vì thế học sinh cần nắm vững được các kiến thức cơ bản sau:
Qui tắc bỏ dấu ngoặc, qui tắc chuyển vế.
Tìm x trong đẳng thức: 
Thực hiện phép tính , chuyển vế… đưa về dạng ax = b => x =
Định lí và tính chất về giá trị tuyệt đối.
|A| = |-A|
|A| ³ 0
Định lí về dấu nhị thức bậc nhất.
II. Những biện pháp tác động giáo dục và giải pháp khoa học tiến hành.
Từ định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối hướng dẫn học sinh phân chia từng dạng bài, phát triển từ dạng cơ bản sang các dạng khác, từ phương pháp giải dạng cơ bản, dựa vào định nghĩa, tính chất về giá trị tuyệt đối tìm tòi các phương pháp giải khác đối với mỗi dạng bài, loại bài. Biện pháp cụ thể như sau:
Một số dạng cơ bản:
Dạng cơ bản |A(x)| =B với B³ 0
Cách tìm phương pháp giải:
Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy ra thì cần áp dụng kiến thức nào để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyêt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Phương pháp giải:
Ta lần lượt xét A(x) = B và A(x) = -B, giải hai trường hợp.
Ví dụ: 
Ví dụ 1: Tìm x biết |x- 5| = 3
Đặt câu hỏi bao quát chung cho bài toán:
	Đẳng thức có xảy ra không? Vì sao? 
(có xảy ra vì |A| ³ 0 , 3>0). Cần áp dụng kiến thức nào để giải, để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối của hai số đối nhau thì bằng nhau).
Bài giải
|x-5| = 3 => x – 5 = 3 ; hoặc x – 5 = -3
+ Xét x - 5 = 3 => x = 8
+ Xét x – 5 = -3 => x = 2
 Vậy x = 8 hoặc x = 2
Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ra các ví dụ khó dần.
Ví dụ 2: Tìm x biết: 3|9-2x| -17 = 16
Với bài này tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để đưa được về dạng cơ bản đã học?”. Từ đó học sinh phải biến đổi để đưa về dạng |9-2x|=11
Bài giải
	 3|9-2x| -17 = 16 
	=>3|9-2x| = 33
 => |9-2x| = 11
 => 9-2x = 11 hoặc 9 – 2x = -11
	+ Xét 9- 2x = 11 => 2x = -2 => x = -1
	+ Xét 9-2x = -11 => 2x = 20 => x= 10
	Vậy x= -1 hoặc x = 10
Dạng |A(x)| = B(x) ( trong đó Bx là biểu thức chứa biến x)
Cách tìm phương pháp giải:
Cũng đặt câu hỏi gợi mở như trên, học sinh thấy được rằng đẳng thức không xảy ra Nếu B(x) < 0
=> Cần áp dụng kiến thức nào để có thể dựa vào dạng cơ bản trên để suy luận tìm ra cách giải không? Có thể tìm ra mấy cách?
Phương pháp giải:
Cách 1: ( Dựa vào tính chất)
	|A(x) |= B(x)
Với điều kiện B(x) ³0 ta có A(x) = B(x) hoặc A(x) = - B(x)( giải 2 trường hợp với điều kiện B(x) ³0)
Cách 2: Dựa vào định nghĩa xét các quá trình của biến của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
	|A(x) | = B(x)
+ Xét A(x) ³0 => x ? Ta có A(x) = B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) ³0)
+ Xét A(x) x? Ta có A(x) = - B(x) ( giải để tìm x thoả mãn A(x) < 0)
+ Kết luận: x = ?
Lưu ý: Qua hai dạng trên tôi cho học sinh phân biệt rõ sự giống nhau (đều chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối) và khác nhau ( |A(x)| = m ³0 dạng đặc biệt vì m>0) của 2 dạng.
	Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ được phương pháp giải loại đẳng thức chứa 1 dấu giá trị tuyệt đối, đó là đưa về dạng |A | = B(Nếu B³0 đó là dạng đặc biệt còn Nếu B< 0 thì đẳng thức không xảy ra. Nếu B là biểu thức chứa biến là dạng 2 và giải bằng cách 1) hoặc ta đi xét các trường xảy ra đối với biểu thức trong giá trị tuyệt đối.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm x biết: |9-7x| = 5x -3
Cách 1: 
Với 5x – 3 ≥0=> 5x ³ 3 => x³ ta có 9-7x = 5x -3 hoặc 9 – 7x =-(5x-3)
+ Nếu 9-7x = 5x- 3 => 12x = 12 => x= 1(thoả mãn)
+ Nếu 9-7x = -(5x-3) => 2x = 6 => x = 3(thoả mãn)
Vậy x= 1 hoặc x= 3
Cách 2: 
+ Xét 9- 7x ³0 => 7x≤ 9 => x≤ ta có 9 – 7x = 5x – 3 => x =1(thoả mãn)
+ Xét 9- 7x 7x>9 => x> ta có -9 + 7x = 5x – 3 => x =3(thoả mãn)
Vậy x = 1 hoặc x = 3
Ví dụ 2: Tìm x biết |x- 5| - x= 3
Cách 1: | x – 5| - x = 3 
 =>|x – 5| = 3 + x
Với 3 + x ³ 0 => x ³ - 3 ta có x- 5 = 3 + x hoặc x – 5 = -(3+x)
	+ Nếu x – 5 = 3 + x => 0x = 8( loại)
	+ Nếu x – 5 = -3 – x => 2x = 2 => x = 1 thoả mãn.
 Vậy x = 1
Cách 2: | x – 5| - x = 3
Xét x - 5³0 => x³ 5 ta có x – 5 – x = 3 => 0x = 8 (loại)
 Xét x – 5 x -2x = -2 => x = 1 thoả mãn 
Vậy x = 1
Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = 0
Cách tìm phương pháp giải:
	Trước hết tôi đặt vấn đề để học sinh thấy được đây là dạng đặc biệt( vì đẳng thức luôn xảy ra do cả 2 vế đều không âm), từ đó các em tìm tòi hướng giải.
	Cần áp dụng kiến thức nào về giá trị tuyệt đối để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối và cần tìm ra phương pháp giải ngắn gọn. Có hai cách giải: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x)(dựa theo định nghĩa) và cách giải dựa vào tính chất 2 số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau để suy ra ngay A(x)=B(x); A(x) =-B(x)( vì ở đây cả hai vế đều không âm do |A(x)|≥ 0 và |B(x)|≥ 0). Để học sinh lựa chọn ra cách giải nhanh, gọn, hợp lí để các em có ý thức tìm tòi trong giải toán và ghi nhớ được.
Phương pháp giải:
Cách 1: Xét các trường hợp xảy ra của A(x) và B(x) để phá giá trị tuyệt đối.
Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau ta tìm x thoả mãn một trong hai điều kiện A(x) = B(x) hoặc A(x) = -B(x)
Ví dụ:
Ví dụ1: Tìm x biết |x+3| =|5-x|
|x+3| =|5-x|
=>x=1
Vậy x = 1
Ví dụ 2: Tìm x biết: |x-3| + |x+2| =7	
Bước 1: Lập bảng xét dấu:
Trước hết cần xác định nghiệm của nhị thức :
x – 3 = 0 => x = 3 ; x + 2 = 0 => x = -2
Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn.
 Ta có bảng sau:
x
 -2 3
x – 3
-
 - 0 +
x + 2
- 0 + 
 +
Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá trị của biến. Khi xét các trương hợp xảy ra không được bỏ qua điều kiện để A=0 mà kết hợp với điều kiện để A>0 (ví dụ xét khoảng - 2<3)
 Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:
 + Nếu x<- 2 ta có x- 3<0 và x + 2<0
 nên ỗx- 3ờ= 3- x và ờx + 2ờ= -x – 2
Đẳng thức trở thành: 3- x – x –2 = 7
 -2x + 1 = 7
 -2x = 6
 x = -3 ( thoả mãn x<-2)
 + Nếu 2x<3 ta có ỗx- 3ỗ= 3- x và ỗx+ 2ỗ= x + 2
Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 = 7
 0x + 5 = 7 (vô lí)
 +Nếu x3 đẳng thức trở thành:
 x- 3 + x + 2 = 7
 2x – 1 = 7
 2x = 8
 x = 4 (thoả mãn x3)
 Vậy x = -3 ; x = 4
Lưu ý: Qua 2 cách giải trên tôi cho học sinh so sánh để thấy được lợi thế trong mỗi cách giải. ở cách giải 2 thao tác giải sẽ nhanh hơn, dễ dàng xét dấu trong các khoảng giá trị hơn, nhất là đối với các dạng chứa 3; 4 dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phương pháp giải).
Ví dụ3: Tìm x biết:
 | x-1| -2| x-2| +3| x-3| = 4
Nếu giải bằng cách 1 sẽ phải xét nhiều trường hợp xảy ra, dài và mất nhiều thời gian. Còn giải bằng cách 2 thì nhanh gọn hơn rất nhiều, vì dựa vào bảng xét dấu ta thấy ngay có 4 trường hợp xảy ra. Mặt khác, với cách giải 2 ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót về dấu trong khi lập bảng, nên khi xét dấu các biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối cần phải hết sức lưu ý và tuân theo đúng qui tắc lập bảng. Một điều cần lưu ý cho học sinh đó là kết hợp trường hợp ³ trong khi xét các trường hợp xảy ra để thỏa mãn biểu thức ³ 0 ( tôi đưa ra ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ).
Ví dụ 4 : Tìm x biết | x-4 | + | x-9 | =5 
Lập bảng xét dấu 
x	 4	 9
x-4 - 0 + | +
x-9 - | - 0 +
Xét các trường hợp xảy ra, trong đó với x ³ 9 thì đẳng thức trở thành 
x-4+x-9 =5
x=9 thỏa mãn x ³ 9, như Vậy Nếu không kết hợp với x= 9 để x-9=0 mà chỉ xét tới x > 9 để x-9 > 0 thì xẽ bỏ qua mất giá trị x=9 
Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0
Cách tìm phương pháp giải:
Với dạng này tôi yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức về đặc điểm của giá trị tuyệt đối của một số (giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm).Vậy tổng của hai số không âm bằng không khi nào?(cả hai số bằng 0). Vậy ở bài này tổng trên bằng 0 khi nào? (A(x) = 0 và B(x) =0). Từ đó ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = 0 và B(x) = 0.
Phương pháp giải:
Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = 0 và B(x) = 0.
Ví dụ:
Tìm x biết:
a) |x+3|+|x2+x| =0
 b)|x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
Bài giải:
a) 	|x+1| +|x2+x| = 0
	=> |x+1| = 0 và |x2+x| =0
	+ Xét |x+ 1| = 0 => x+1 = 0 => x= -1 (*)
	+ Xét |x2+x|= 0 => x2+ x = 0 => x(x+1) = 0
	=> x = 0 hoặc x+ 1 = 0
	=> x = 0 hoặc x = -1 (**)
	Từ (*) và (**) suy ra x = -1
b) |x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0
	=> |x2-3x| = 0 và |(x+1)(x-3)| =0
 	=> x2- 3x = 0 và (x+1)(x-3)| = 0
+ Xét x2- 3x = 0 => x(x-3) = 0 => x = 0 hoặc x = 3 (*)
+ Xét (x+1)(x-3) = 0 => x+1 = 0 hoặc x-3 = 0 => x= -1 hoặc x = 3 (**)
Từ (*) và (**) ta được x = 3
Lưu ý: 
ở dạng này tôi lưu ý cho học sinh phải khi kết luận giá trị tìm được thì giá trị đó phải thoả mãn cả hai đẳng thức |A(x)| = 0 và |B(x)| = 0.
Dạng mở rộng:
Từ những dạng cơ bản đó đưa ra các dạng bài tập mở rộng khác về loại toán này: dạng lồng dấu, dạng chứa từ 3 dấu giá trị tuyệt đối trở lên.
 Dạng lồng dấu giá trị tuyệt đối:
Cách tìm phương pháp giải:
Với bài tập chứa lồng dấu giá trị tuyệt đối trước hết tôi cũng hướng dẫn học sinh xác định dạng bài, rồi tìm cách giải quyết, xét xem cần bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách nào? Phải qua mấy