Chuyên đề Học sinh giỏi Toán 7 - Chuyên đề IV: Các dạng toán hình hay trong thi HSG huyện khối 7

ặt khỏc, ta lại cú: và suy ra ID = KD ( do BD = ED ) nờn (4). Từ (3) và (4) suy ra BI = IK = KE.
Bài 36: Cho tam giỏc ABC cú đường trung tuyến AD = 12cm.Trung tuyến BE = 9cm và trung tuyến CF = 15cm. Tớnh độ dài BC (hớnh xỏc đến 0,1 cm)
	Giải:
Trờn tia đối của tia DG lấy điểm M sao cho DM = DG khi đú AG = GM = ; ; nờn suy ra (so le trong) nờn BM//CG và MB = CG mà . Mặt khỏc, ta cú hay . Suy ra vuụng tại G. Theo định lý Pythagore ta cú . Vậy BC = 2BD =	
Bài 37: Chứng minh rằng tổng độ dài ba đường trung tuyến của một tam giỏc lớn hơn chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giỏc ấy.
	Giải:
Ta cú ; ; nờn suy ra hay (1)
Trong tam giỏc BGC cú: BG + GC > BC mà 
 nờn .
 Tương tự ta cú ; . Cộng cỏc bất đẳng thức vế theo vế ta cú:
 (2). 
Kết hợp (1) và (2) suy ra (đpcm)	
Bài 38: Cho tam giỏc ABC, gọi D, E theo thứ tự là trung điểm của AB và BC. Vẽ cỏc điểm M, N sao cho C là trung điểm của ME và B là trung điểm của ND. Gọi K là giao điểm của AC và DM. Chứng minh N, E, K thẳng hàng.
	Giải:
Tam giỏc MND cú BE = EC = CM nờn mà MB là trung tuyến nờn E là trọng tõm suy ra NE là trung tuyến của tam giỏc NMD. Mặt khỏc, DE //AC do DE là đường trung bỡnh của tam giỏc ABC hay DE // KC mà C là trung điểm của ME nờn K là trung điểm của DM. Nờn ba điểm N, E, K thẳng hàng.
Bài 39: Cho tam giỏc ABC đường trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của BM. Trờn tia đối của tia IA lấy điểm E sao cho IE = IA. Gọi N là trung điểm của EC. Chứng minh rằng đường thẳng AM đi qua N
	Giải:
Tam giỏc AEC cú CI là đường trung tuyến (vỡ IE = IA) nờn nờn M là trọng tõm của tam giỏc AEC do đú AM đi qua N
Bài toỏn 8: Cho tam giỏc ABC cú AH vuụng gúc với BC và . Tia phõn giỏc của cắt AC tại E.
Tia phõn giỏc cắt BE tại I. Chứng minh rằng tam giỏc AIE vuụng cõn.
Chứng minh rằng HE là tia phõn giỏc 
Giải:
a) Chứng minh vuụng cõn:
Ta cú nờn tam giỏc AHC vuụng tại H nờn (1). Do AI là phõn giỏc của nờn mà (gt) nờn (2). Từ (1) và (2) suy ra nờn tam giỏc AIE vuụng tại A. Ta cú ; Do là gúc ngoài của tam giỏc BIA nờn nờn tam giỏc AIE vuụng cõn
b)Chứng minh HE là tia phõn giỏc 
Ta cú mà AI là phõn giỏc trong của tam giỏc BAH nờn AE là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABH tại A. BE là phõn giỏc trong của tam giỏc ABH suy ra HE là phõn giỏc ngoài tại 	
Bài 40: Cho tam giỏc ABC cú gúc . Đường phõn giỏc AD, đường phõn giỏc ngoài tại C cắt AB tại K. Gọi E là giao điểm của DK và AC. Tớnh số đo của gúc BED
	Giải:
Tam giỏc ADC cú hai phõn giỏc ngoài tại A và C cắt nhau tại K nờn DK là phõn giỏc trong của 
Trong tam giỏc BAD cú AE và DE là hai phõn giỏc ngoài của cỏc gúc A và D cắt nhau tại E nờn BE là phõn giỏc trong của gúc B.
 là gúc ngoài của tam giỏc BDE nờn ta cú mà ( do DE là phõn giỏc ) suy ra 
Bài 41: Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường phõn giỏc AD, BE, CF.
Chứng minh rằng DE là tia phõn giỏc ngoài của tam giỏc ADB
Tớnh 
Giải:
Chứng minh rằng DE là tia phõn giỏc ngoài của tam giỏc ADB. 
Tam giỏc BAD cú AE và BE là hai phõn giỏc ngoài và trong tại đỉnh A và B (Do ) nờn DE là phõn giỏc ngoài của tam giỏc ABD.
Tớnh 
Trong tam giỏc ACD cú AF và CF là hai phõn giỏc ngoài và trong tại cỏc đỉnh A và C cuả tam giỏc ADC nờn DF là phõn giỏc ngoài của gúc D của tam giỏc ADC suy ra DE là phõn giỏc trong tại đỉnh D nờn hay 
	Bài 42 :Cho tam giỏc ABC cõn tại A, M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuụng gúc với AB . Gọi E là một điểm thuộc đoạn AH. Trờn cạnh AC lấy điểm F sao cho . Chứng minh FM là tia phõn giỏc của gúc 
	Giải:
Tam giỏc ABC cõn tại A cú AM là trung tuyến nờn AM là phõn giỏc . Tam giỏc AEF cú AM là phõn giỏc trong tại gúc A nờn ta phảI chứng minh EM là phõn giỏc gúc ngoài tại E của tam giỏc AEF.
Thật vậy, Do tam giỏc EMH vuụng tại H nờn mà 
 (gt) nờn . Do đú . Mặt khỏc ta cú . Từ (1) và (2) suy ra = hay EM là phõn giỏc của . Tia phõn giỏc trong AM của gúc A và tia EM là phõn giỏc ngoài của tam giỏc AEF cắt nhau tại M nờn FM là phõn giỏc ngoài của hay FM là phõn giỏc 	
	Bài 43: Cho tam giỏc ABC cú cỏc đường phõn giỏc BD và CE cắt nhau tại I và 
ID = IE. Chứng minh rằng = hay + 
	Giải:
Qua I kẻ và , Do I là giao điểm của hai đường phõn giỏc nờn và nờn (cạnh huyền, cạnh gúc vuụng) nờn suy ra (1) 
Trường hợp thỡ ta cú ( là gúc ngoài của ) (2)
 ( là gúc ngoài của ) (3) . Từ (1); (2) và (3) 
Nếu và thỡ suy ra tương tự trờn ta cú 
	Nếu và thỡ 
 và thỡ . 
Vậy cả bốn trường hợp trờn ta luụn cú = hoặc 
Bài 44: Cho tam giỏc ABC. Tỡm điểm E thuộc phõn giỏc gúc ngoài tại đỉnh A sao cho tam giỏc EBC cú chu vi nhỏ nhất.
	Giải:
Chu vi tam giỏc EBC nhỏ nhất khi và chỉ khi tổng EB + CE nhỏ nhất. Vẽ vuụng gúc với phõn giỏc ngoài tại gúc A cắt AC tại D vỡ đường thẳng a ( đường phõn giỏc ngoài tại đỉnh A) cuả tam giỏc ABC nờn a là đường trung trực của BD nờn EB = ED . Do đú với mọi điểm E thuộc a ta cú xảy ra dấu đẳng thức thỡ E nằm giữa D và C. Vậy thỡ chu vi tam giỏc EBC nhỏ nhất
	Bài 45: Cho tam giỏc ABC nhọn. Tỡm điểm M trờn cạnh BC sao cho nếu vẽ cỏc điểm D, E trong đú AB là đường trung trực MD, AC là đường trung trực của ME thỡ DE cú độ dài nhỏ nhất.
Giải:
Ta cú AB là đường trung trực của MD nờn ( 1)
AC là đường trung trực của ME nờn (2) Từ (1) và (2) suy ra nờn tam giỏc ADE cõn tại A và 
 khụng đổi nờn DE đạt nhỏ nhất nếu AD nhỏ nhất. với xảy ra dấu bằng khi khi đú DE đạt giỏ trị nhỏ nhất.
	Bài 46: Cho A nằm trong gúc nhọn. Tỡm điểm B,C lần lượt thuộc Ox, Oy sao cho tam giỏc ABC cú chu vi nhỏ nhất.
	Giải:
Vẽ D đối xứng với A qua Oy, E đối xứng với A qua Ox
Nờn Oy, Ox lần lượt là cỏc đường trung trực của AD và AE. Khi đú ta cú CA = CD và BE = BA nờn chu vi của tam giỏc ABC là: CB + AB + CA = CB + CD + BE . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . Do đú cú chu vi nhỏ nhất ở vị trớ 
	Bài 47: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Tia phõn giỏc của gúc cắt BC tại D, tia phõn giỏc của gúc cắt BC tại E. Chứng minh rằng giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC là giao điểm cỏc đường trung trực của tam giỏc ADE
	Giải:
Ta cú là gúc ngoài của tam giỏc ADB nờn 
. Mặt khỏc ta cú: mà ( cựng phụ với ); (Do AD là tia phõn giỏc của nờn . Vậy tam giỏc CAD cõn tại C mà CK là đường phõn giỏc nờn CK cũng là đường trung trực của AD.
Tương tự cõn tại E mà BP là đường phõn giỏc nờn BP cũng là đường trung trực của AE. Nờn M là giao điểm của hai đường phõn giỏc CK và BP cũng là giao điểm của hai đường trung trực của tam giỏc ADE.
Bài 48:Cho tam giỏc ABC cõn tại A, cỏc điểm E và D theo thứ tự di chuyển trờn hai cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua một điểm cố định	
Giải:
 Khi . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của AB
Khi . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của AC. 
Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực AB và AC. Ta phải chứng minh đường trung trực của DE đi qua O.
Ta cú tam giỏc ABC cõn tại A nờn O nằm trờn đường trung trực của BC. Suy ra AH = KC mà AD = CE (gt) nờn DH = KE và OH = OK nờn . Do đú OD = OC. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua một điểm cố định O
Khai thỏc bài toỏn trờn:
Nếu bất kỳ với AC > AB và BD = CE thỡ cỏc đường trung trực của DE luụn đi qua điểm cố định nào?
Tỡm điểm đặc biệt: 
Khi . Đường trung trực của DE chớnh là đường trung trực của BC. 
Khi . Với .Đường trung trực của AG là (d’) cắt đường trung trực (d) của BC tại K. Vậy mọi đường trung trực của DE đều đi qua K.
	Thật vậy, trờn cạnh AC lấy điểm G sao cho AB = CG. Gọi K là giao điểm của hai đường trung trực (d) và (d’) của cỏc đoạn thẳng BC và AG khi đú ta cú KB = KC và KA = KG nờn nờn suy ra , hay nờn suy ra KD = KE. Vậy đường trung trực của DE luụn qua K (đpcm)
	Bài 49: Cho tam giỏc ABC, đường phõn giỏc AD. Trờn đoạn thẳng AD lấy điểm E và F sao cho . Chứng minh rằng .
	Giải:
Vẽ K, H, I sao cho BC, AC, AB là cỏc đường trung trực của KF, EH, EI. Khi đú ta cú ; . Ta phải chứng minh 
Ta cú AI = AE = AH (vỡ AB là đường trung trực của EI) nờn tam giỏc AHI cõn tại A mà AE là phõn giỏc nờn AD là đường trung trực của IH do đú IF = FH (1). Ta lại cú BK = BF ; và BI = BE nờn 
suy ra EK = IF (2). Từ (1) và (2) suy ra EK = FH (3)
Xột tam giỏc và ta cú HC = EC (4) ( vỡ AC là đường trung trực của EH); CF = CK (vỡ BC là đường trung trực của KF) (5) . Từ (3) ,(4) và (5) nờn suy ra 
 (đpcm)
Bài 50: Cho tam giỏc ABC vuụng tại A, đường cao AH. Gọi E,I,K theo thứ tự là giao điểm cỏc đường phõn giỏc của tam giỏc ABC, ABH, ACH. Chứng minh rằng 
	Giải: 
Ta cú ( vỡ cựng phụ với )
 ( Do BI là tia phõn giỏc của gúc B)
( Do AD là tia phõn giỏc của gúc ) Từ những đẳng thức trờn suy ra mà nờn . Chứng minh tương tự ta cũng cú .Tam giỏc AIK cú hai đường cao cắt nhau tại E nờn E là trực tõm của tam giỏc nờn 
Bài 51: Cho tam giỏc ABC, đường cao AH, vẽ ngoài tam giỏc ấy cỏc tam giỏc vuụng cõn ABD, ACE với =
Qua điểm C vẽ đường thẳng vuụng gúc với BE cắt đường thẳng HA tại K. Chứng minh rằng .
Ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy
Giải:
Chứng minh :
Ta cú cựng phụ với 
 cựng phụ với nờn suy ra và AC = CE (gt) nờn suy ra KA = BC. Mặt khỏc ta cú BD =AB ; ; KA = BC nờn 
 suy ra và suy ra ( với M giao điểm của DC và KB) nờn tại M.
Trong tam giỏc KBC ba đường cao AH, CD, BE nờn đồng quy tại I.
Bài 52: Gọi H là trực tõm của tam giỏc ABC. Chứng minh rằng:
HA + HB + HC < AB + AC
Giải:
Chứng minh HA + HB + HC < AB + AC. 
Ta kẻ NH // AC và HM //AB. Khi đú ta cú HA < AM + HM = AM + AN (1) (Theo tớnh chất đoạn chắn). Do BH vuụng gúc với AC mà HN //AC nờn . Do đú BH < BN. (2) Tương tự ta cũng chứng minh đựơc HC < CM (3). 
Từ (1) ; (2) và (3) suy ra HA + HB + HC < AM + AN + BN + CM = AC + AB (đpcm)
Ta cú 	HA + HB + HC < AB + AC ( Theo cõu a)
Tương tự 	 HA + HB + HC < BC + AC
HA + HB + HC < AB + BC
Cộng cỏc bất đẳng thức trờn vế theo vế ta được: (đpcm)	
Bài 53: Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Kẻ NH tại H. Kẻ tại E. Chứng minh rằng tam giỏc ABH cõn và HM là phõn giỏc của gúc BHE.
	Giải:
Từ A ta kẻ AK tại K và tại Q. Hai tam giỏc vuụng MAK và NCH cú MA = NC = (cựng phụ với gúc KAC) nờn (cạnh huyền, gúc nhọn). Suy r