Chuyên đề Hình chóp - Thể tích và cực trị trong Hình học không gian

i toán 6: Cho hình chóp đều S.A1A2A3An (n≥3), SAi=t. Gọi S’ là tâm tỷ cự
 của n chất điểm (1;A1), (1;A2), (1;A3),,(1;An). Trên đoạn SS’, lấy G sao cho
 SG=k.SS’. Mp(P) qua G và cắt các cạnh SA1; SA2; SA3;... ;SAn lần lượt tại 
M1 ; M2 ; M3 ;... ;Mn. Xác định (P) sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất :
Giải:
Đặt : ()
Ta có S’ là tâm tỷ cự của hệ n chất điểm (1;A1), (1;A2), ,(1;An).
Do đó: 
Từ đó suy ra: 
Mà SAi=t với mọi I nên
	(1)
Theo bổ đề (**) đã chứng minh ở bài toán 3, ta có:
G thuộc mp(M1M2M3) nên có n số thực mà sao cho: 	(2)
Từ (1), (2), ta có :
Vì nên ta có: = 0 	()
Hay , 
 Thay vào ; ta được: 	
Suy ra:
Vậy đạt được khi và chỉ khi () 
	hay (P)//(A1A2A3).
( Bạn đọc tự chứng minh BĐT )	
Bài toán 7: Cho hình chóp S.ABC có SA = x, các cạnh còn lại bằng a.
	a. Tính diện tích toàn phần của hình chóp theo a và x.
	b. Tìm khoảng biến thiên của x khi a là hằng số.
c. Tính x theo a để thể tích hình chóp lớn nhất.
Giải:
a. Ta có và là 2 tam giác đều cạnh a.
Suy ra : 
Gọi M là trung điểm của SA.
Do và là hai tam giác cân tại B và C nên ,.
Ta cũng có nên	
Vậy : 
b, c. Gọi N là trung điểm của BC.
 Xét , ta có và . Suy ra:
Để tồn tại NM thì . So với điều kiện ở câu a. ta có .
Vậy khi a là hằng số.
Ta có 
Dựng khi đó nên .
Ta cũng có: 
Ta có: 
Vậy đạt được khi và chỉ khi:
 Bài toán 8. Cho hình chóp S.ABCD, SA=x, các cạnh còn lại bằng a.
Trung điểm của BC, CD, SA lần lượt là M, N, Q. Thiết diện qua tạo 
bởi mp(MNQ) với hình chóp đã cho là W. Chiếu song song W theo SB lên 
(ABCD) được W’. Tính tỷ số 	
Tính khoảng biến thiên của x khi a là hằng số.
Tính x theo a khi thể tích hình chóp lớn nhất.
	Phân tích:
Nhận thấy ABCD là hình thoi và S nằm trên trục của . Từ đây ta tìm 
điều kiện của hình thoi để thỏa giả thiết bài toán tức là đưa ra nhận xét về điều 
kiện các góc của hình thoi. Sau đó dựa trên điều kiện đó để giải bài toán.
Giải:
Từ giả thiết, ta có ABCD là hình thoi.
Đặt (0<<) và gọi 
Trước hết, ta có :. 
Thật vậy, giả sử . Khi đó: (vô lí).
Vậy 
a.Ta có :
	 và 
Mặt khác, áp dụng định lí Menelaus chovà bộ ba điểm (P,I,Q), 
Ta có: 
Kẻ . Ta có: 
Đặt dt(W’)SW’ và dt(ABCD)S. Khi đó, ta có :
SW’ SBCNQ’ + SQ’P’N SQ’P’N 
Mà :	 SQ’P’N và S 
b. 	Gọi O là chân đường cao của hình chóp. Do nên SO là trục 
của .
Ta có:
	 (với )
 Vì nên .
c. Ta có 
 ( )
 ( )
Xét hàm số (với )
Có nên 0 
 Mà ().
Từ đó có: ,
Suy ra: . Đằng thức xảy ra khi và chỉ khi 
	 Khi đó, 
Nhận xét:
Bài toán khó ở chỗ thiếu đi điều kiện về góc của hình thoi và đề bài cũng cố 
tình làm mờ đi giả thiết S nằm trên trục của . Mấu chốt để giải bài toán 
này là tìm được điều kiện về góc của hình thoi dựa trên quan hệ giữa các cạnh
trong những tam giác vuông.
Rút kinh nghiệm: 
Khi gặp các bài toán “có vẻ như” thiếu giả thiết như trên chúng ta nên xem lại 
các mối quan hệ giữa các cạnh và góc.
→ Một số bài tập hệ quả của bài toán 4:
Bài tập 4.1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông. Biết 
SB=SC=SD=BC=a.
	a. Chứng minh rằng S.ABCD là hình chóp đều. Xác định tâm mặt cầu 
ngoại tiếp hình chóp.
	b. Tính thể tích hình chóp.
 	(bạn đọc tự giải)
Bài tập 4.2: cho hình chóp S.ABCD với , các cạnh còn lại bằng a. 
a. Xác định và . 
b. Tính độ dài AC, BD theo a. Xác định đoạn vuông góc chung của SA 
và BD, tính độ dài đoạn đó. 
c. Tính thể tích hình chóp theo a.
Giải:
	Gọi M là trung điểm của SA. 
a.Ta có và
	. 
Suy ra: 
b.Theo bài toán 4, ta có với (). 
Do đó, ta có:
	= 2 (vì SA = a) 
Hay mà ABCD là hình thoi nên BD=AB=a và AC=.
Dựng ; khi đó (do ) suy ra MI là đoạn 
vuông góc chung của SA và BD.
 Lại có , MB=MD nên I là trung điểm BD và .
c. Ta có :
Bài tập4.3:Biết hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a với 
Tìm SA theo a để SB=SC=SD=a. Tính thể tích hình chóp khi đó.
	(bạn đọc tự giải).
	Bạn đọc hãy xét bài toán tương tự của bài toán 4 trong trường hợp hình 
chóp ngũ giác, lục giác,...
Bài toán 9: Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi M là trung điểm BC. Đường 
thẳng d qua M và vuông góc với mp(ABC). Trên d lấy điểm S (). Mặt 
phẳng (Q) qua BC và vuông với mp(SAB), cắt SA tại D. Hãy xác định ví trí S 
trên d để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.
A
C
B
D
K
M
S
Giải:
Đặt AC = b, AB = c, SM = h và gọi góc giữa hai mp(SAB) và mp(ABC) là. 
Gọi N là trung điểm AB. Ta có NM //AC, NM = và MNAB, 
SNAB. Vì vậy .
Vì và nên D thuộc đoạn SA.
	Gọi P là giao điểm của SN và BD. Ta cần chứng minh MPSN.
Trong mp(BCD) dựng CKBD tại K. Khi đó CKAB, CKAK
Mà ABAC nên AB(ACK) do đó ABAK. AK // SN SNCK
Lại có: // CK.
Vậy MPSN.
Ta có: 	
	(*)
Ta cần tính 
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAN và ba điểm thẳng hàng B, P, D; 
	Ta có:
Do tam giác SMN vuông tại M và MPSN nên:
Thay vào (*) ta được:
Vậy đạt được khi và chỉ khi: hay 
Vậy thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi S thuộc d và cách
 M một đoạn bằng .
Bài toán 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên đoạn BC lấy điểm M sao 
cho . Trên đường thẳng d qua M và vuông góc mp(ABC) ta lấy 
điểm S không trùng M.Mặt phẳng (Q) qua BC và vuông với mp(SAB), cắt SA
 tại D. Hãy xác định ví trí S trên d để thể tích tứ diện ABCD lớn nhất.
Giải:
 Đặt AC = b, AB = c, SM = h và gọi góc giữa hai mp(SAB) và mp(ABC) là. 
Trong mp(ABC), dựng MN // AC.
Gọi P là giao điểm của SN và BD.
Tương tự như bài toán 6, ta chứng minh được MPSN
Ta có: 	(*)
Ta cần tính 
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SAN và ba điểm thẳng hàng B, P, D; 
Ta có:
Do tam giác SMN vuông tại M và MPSN nên:
Thay vào (*) ta được:
Vậy đạt được khi và chỉ khi: hay 
Vậy thể tích tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi S thuộc d và cách M một đoạn bằng 
۩ Bài tập có lời giải :
Bài tập 1: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. M là một điểm không thuộc
 mp(ABCD) sao cho M nhìn AD và AB dưới góc vuông.
 a.Chứng minh: M luôn thuộc một đường tròn cố định.
 b.là mặt phẳng đi qua AB và vuông góc với mp(ABCD). Kéo dài DM cắt 
 tại N. Chứng minh: 
 c. Đặt DM. Tính MN theo a và x. Tìm miền biến thiên của x. Từ đó 
tìm điều kiện của hằng số k để luôn tồn tại x thỏa MN.
 d. Tìm GTLN của thể tích tứ diện ABND 
 .
Giải
a. Ta có: thuộc mặt cầu đường kính AB (1)
	 thuộc mặt cầu đường kình AD (2)
M thuộc đường tròn (L) là giao tuyến của hai mặt cầu đường kính AB và AD.
b.
mà 	 nên 
c. Xét tam giác vuông AND có AM là đường cao nên 
do nên 
Mặt khác nên .
 Giả sử với 
Dễ thấy luôn có hai nghiệm . Ta xét hai khả năng:
 1) 
 2) 
Vậy k cần tìm thỏa mãn: 
c. Ta có:
Mà 
Dấu bằng xảy ra khi đó 
 Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M trên cạnh SA, =k. Định k để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau
Giải:
 Mặt phẳng (MBC), (SAD) chứa 2 đường thẳng song song BC và AD, có 
chung điểm M nên có chung giao tuyến MN // BC // AD 
 Gọi V là thể tích hình chóp S.ABCD
 = = k = 
 Tương tự = = k2 ( vì MN // BC ) = k2V
 Mà = = V.(k + k2)
 Mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau nên 
	 = V k2 + k = 1 
 k = ( do k > 0 )	
 Bài tập 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a, SA (ABCD), cạnh SC hợp với đáy góc và hợp với (SAB) góc. Tính thể tích hình chóp
Giải
SA (ABCD) 
BC (SAB) 
Đặt : 
 	BC = x SC = (*). Mà AC2 = AB2 + BC2 AC = 
SC = = (**)
(*) và (**) = x2 = 
	 SC2 = = 
V = = = = 
 Bài tập 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
 a. Biết AB = a và góc giữa mặt bên và đáy bằng . Tính thể tích hình chóp
 b. Biết trung đoạn bằng d và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích hình chóp
Giải:
Gọi O là tâm hình vuông, H là trung điểm BC
 SH BC 
 SO = h = OH.tan = 
	SH = = V = = 
SH = d, AO = hc . Xét 2 tam giác SOA và 
SOH:
 ( x là cạnh hình vuông ABCD ) 
 d2 - = x = OS = h = 
 V = .SO = .. = 
 Bài tập 5.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là nửa lục giác đều, AD = 2a, 
AB = BC = CD = a. SA (ABCD), SA = h. Mặt phẳng (P) qua A, vuông 
góc với SD cắt SB,SC, SD tại B’, C’, D’.
 a. Chứng minh AB’C’D’ là tứ giác nội tiếp 
 b. Tính thể tích hình chóp S.AB’C’D’
Giải:
a. CD(SAC) DC AC’ (1)
 Mà CD AC, SD(P) SDAC’ (2)
 (1), (2) AC’ (SCD) AC’
 Tương tự ta có . Vậy AB’C’D’ nội tiếp đường tròn 
đường kính AD’
b.Ta có = = = 
 Mà = = 
 = 
 Tương tự = 
 = , V = 
 = 
 Bài tập 6.Cho đường tròn (C) có đường kính AB = 2R. Trên nửa đường
 thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng chứa (C) tại A lấy điểm S sao cho AS 
= h. Gọi M là 1 điểm di động trên (C). Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông 
góc với SB cắt SB, SM lần lượt ở H, K.
 a. Chứng minh AK (SBM) và điểm K chạy trên 1 đường tròn cố định
 khi M thay đổi 
 b. Tính thể tích hình chóp S.AHK trong trường hợp M là trung điểm của 
cung AB
Giải:
a. Ta có AM MB và SA MB 
 AK KH 
(P) qua điểm cố định A và vuông góc với SB cố định tại H (P) cố định, H cố định
Trong (P), K nhìn đoạn cố định AH dưới 1 góc vuông K nằm trên đường 
tròn đường kính AH nằm trong (P)
b.AM = MB = R
	= = = 
 = = 
	 = = 
 Bài tập 7. Cho tứ diện vuông SABC tại S. Chứng minh rằng 
 a. SABC SSAB + SSBC + SSAC
 b. Cho SA = a, SB + SC = k. Đặt SB = x. Tính thể tích tứ diện SABC 
theo a, x, k. Xác định SB, SC để thể tích tứ diện SAB lớn nhất
Giải:
A
B
C
H
K
O
a.Gọi H là trực tâm ABC, nối dài AH cắt
 BC tại K
AH (ABC)
SAK vuông đường cao SH: SK2 = KH.KA
	 (SSBC)2 = (SHBC)(SABC)
Tương tự (SSAB)2 = SABC.SHAB , (SSAC)2 = SABC.SHAC
Cộng vế: (SSAB)2 + (SSAC)2 + (SSBC)2 = (SABC)2
 SSAB + SSAC + SSBC SABC
= SA.SB.SC = ax.(k - x) 
Max = x = k-x x = SB = SC = 
Bài tập 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là 1 hình vuông cạnh a, SA (ABCD) và SA = a. 1 mặt phẳng qua CD cắt các cạnh SA, SB lần lượt ở M,N. Đặt AM = x
 a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a, x
 b. Xác định giá trị của x để thể tích của hình chóp S.MNCD bằng lần thể tích hình chóp S.ABCD
C
D
B
A
S
M
N
Giải
a. Ta có 
 MNCD là hình thang
 MNCD là hình thang vuông
SMN SAB SMN vuông cân tại M
 MN = SM = SA – AM = a – x
AMD vuông: MD = = 
 SMNCD = = 
b. Ta có = = ( ACD ABC)
	 =