Chuyên đề Hình cầu và các dạng toán liên quan

CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH CẦU 
TÓM TẮT CÔNG THỨC 
 (1) Phương trình mặt cầu 
 1) Phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a, b, c) bán kính R là 
 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 
 2) Dạng tổng quát của phương trình mặt cầu là 
 x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 
sẽ có tâm I(a, b, c) bán kính R = 2 2 2a b c d+ + − nếu ta có điều kiện 
a2 + b2 + c2 – d > 0 
3) Điều kiện tiếp xúc giữa mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) có tâm I bán kính R là khoảng 
cách từ I đến (P) bằng bán kính R. 
Ví dụ 1: 
 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2, 3, –1) cắt đường thẳng (d) 
5 4 3 20
3 4 8 0
x y z
x y z
− + + =⎧⎨ − + − =⎩
0
 tại hai điểm A và B sao cho AB = 16 
Giải 
 Gọi (P) là mặt phẳng qua I và vuông góc đường thẳng (d). Ta có phương trình tham số đường 
(d) là 
14
1 2
2 2
x t
y t
z t
= −⎧⎪⎪ = −⎨⎪ = −⎪⎩
5 
 Gọi (P) là mặt phẳng qua I(2, 3, –1) và vuông góc đường thẳng (d) nên có pháp vectơ là aG = 
11, , 1
2
⎛ −⎜⎝ ⎠
⎞⎟ . Vậy phương trình (P) viết 
 (x – 2) + 1
2
(y – 3) - (z + 1) = 0 ⇔ 2x + y – 2z – 9 = 0 
 Giao điểm K giữa (d) và (P) có tọa độ ( t – 14, 1
2
t – 25
2
, –t )
thỏa phương trình (P). Vậy ta có 
 1
 2(t – 14) + ( 1
2
t – 25
2
) +2t – 9 = 0 
 Suy ra t = 11. Vậy ta có K (–3, –7, –11). 
 Khoảng cách từ I đến (d) là IK = 25 100 100+ + = 15 
 Do đó bán kính mặt cầu là R = 
2
2
4
ABIK + = 225 64+ 
 Nên phương trình mặt cầu viết là : 
 (x – 2)2 + (y – 3)2 + (z + 1)2 = 289 
Ví dụ 2: 
 Lập phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng (d) 
2 4 7 0
4 5 14 0
x y z
x y z
+ − − =⎧⎨ + + − =⎩
 và tiếp xúc với hai mặt phẳng có phương trình 
 (P) : x + 2y – 2z – 2 = 0 ; (Q) : x + 2y – 2z + 4 = 0 
Giải 
 Ta có (P) // (Q) nên khi gọi A, B là giao điểm của (d) với (P) và (Q) thì tâm I mặt cầu tiếp xúc 
với (P) và (Q) phải là trung điểm đoạn AB và bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ I đến (P). 
 Ta có tọa độ A là nghiệm của hệ 
 A(2, 1, 1) 
2 4 7 0
4 5 14
2 2 2 0
x y z
x y z
x y z
+ − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − − =⎩
0
0
⇒
 Ta có tọa độ B là nghiệm của hệ 
 B(–4, 5, 5) 
2 4 7 0
4 5 14
2 2 4 0
x y z
x y z
x y z
+ − − =⎧⎪ + + − =⎨⎪ + − + =⎩
⇒
 Vậy tâm mặt cầu là I(–1, 3, 3) và bán kính R = 1 
 Nên phương trình mặt cầu viết thành 
 (x + 1)2 + (y – 3)2 + (z – 3)2 = 1. 
Ví dụ 3 ( ĐH KHỐI D –2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm 
A (2; 0; 1); B(1;0;0); C (1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua 3 
điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 
Giải 
 2
Cách 1: x2 + y2 + z2 + 2ax + 2by + 2cz + d = 0. Mặt cầu qua A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) 
nên ta có: 
 ⇔ 
+ + = −⎧⎪ + = −⎪⎨ + + + = −⎪⎪ + + = −⎩
4a 2c d 5
2a d 1
2a 2b 2c d 3
a b c 2
= −⎧⎪ =⎪⎨ = −⎪⎪ =⎩
a 1
b 0
c 1
d 1
 ⇔ x2 + y2 + z2 – 2x – 2z + 1 = 0 
Cách 2: Gọi I(x; y; z) là tâm mặt cầu 
 Giả thiết cho: 
2 2IA IB IC
I (P)
⎧ = =⎪⎨ ∈⎪⎩
2
2 ⇔ 
⎧ − + + − = − + +⎪⎪ − + + = − + − + −⎨⎪ + + − =⎪⎩
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x 2) y (z 1) (x 1) y z
(x 1) y z (x 1) (y 1) (z 1)
x y z 2 0
 ⇔ ⇔ ⇒ I (1; 0; 1) 
+ − =⎧⎪ + =⎨⎪ + + − =⎩
2x 2z 4 0
y z 1
x y z 2 0
x 1
y 0
z 1
=⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 Bán kính R = IB = 1 
Suy ra phương trình mặt cầu: (x – 1)2 + y2+ (z –1)2=1 
Ví dụ4 ( Đề Dự Trữ KHỐI D -2002) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho đường 
thẳng d : và mặt cầu ⎩⎨
⎧
=−−+
=+−−
04z2y2x
01zy2x2
(S) : x2 + y2 + z2 + 4x – 6y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt mặt cầu (S) tại hai điểm M, N sao cho khoảng 
cách giữa hai điểm đó bằng 9. 
Giải 
Phương trình mặt cầu (S) : (x + 2)2 + (y – 3)2 + z2 = 13 – m 
 ĐK : m < 13 
 (S) có tâm I(−2; 3; 0), R = 13 m− . 
 Vì MN = 9 ⇒ HM = HN = 9
2
 (IH ⊥ MN) 
 (d) cho x = 0 ⇒ ⇒2y z 1 0
2y 2z 4 0
− − + =⎧⎨ − − =⎩
y 1
z 1
=⎧⎨ = −⎩
⇒ A(0; 1; −1) 
 (d) có ⇒ = 3(2; 1; 2) 1
2
n (2, 2, 1)
n (1, 2, 2)
→
→
⎡ = − −⎢⎢ = −⎢⎣
a
→
 AI
⎯→
 = (−2; 2; 1), [ AI⎯→ , ] = (9; 18; − 18) = 9(1; 2; − 2) a→
 IH = d(I, d) = 
⎯→ →
→
⏐ ⏐ + += =+ +⏐ ⏐
[ AI ,a ] 9 1 4 4 3
3 4 1 4a
. 
 Δ vuông IHN ta có : 
 IM2 = IH2 + HN2 ⇔13 – m = 9 + 81 117
4 4
= 
 3
 ⇔ m = 65
4
− . 
Ví dụ 5 ( ĐỀ DỰ TRỮ KHỐI D -2003) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcac vuông góc Oxyz cho mặt phẳng 
(P) : 2x + 2y + z – m2 – 3m = 0 (m là tham số) và mặt cầu 
 (S) : (x – 1)2 + (y + 1)2 + (z – 1)2 = 9 
 Tìm m để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S). Với m tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của mặt 
phẳng (P) và mặt cầu (S). 
Giải 
Mặt cầu (S) có tâm I(1; −1; 1), bán kính R = 3. 
 Mặt phẳng P tiếp xúc với (S) ⇔ d(I: P) = R 
 ⇔ 1443m3m122 2 ++=−−+− 
 ⇔ m2 + 3m – 1 = 9 hay m2 + 3m – 1 = −9 
 ⇔ m2 + 3m – 10 = 0 hay m2 + 3m + 8 = 0 (VN) 
 ⇔ m = −5 hay m = 2 ⇒ (P) : 2x + 2y + z – 10 = 0 
 Phương trình đường thẳng Δ qua I và ⊥ (P) : 
x 1 2t
y 1 2
z 1 t
= +⎧⎪Δ = − +⎨⎪ = +⎩
t
 Thế vào phương trình mp (P) 
 ⇒ 2(1 + 2t) + 2(−1 + 2t) + 1 + t – 10 = 0 ⇒ t = 1 
 ⇒ Tiếp điểm M của P và (S) là M(3; 1; 2). 
 Cách khác IM2 = 9 ⇔ 4t2 + 4t2 + t2 = 9 ⇒ t = ± 1 
 ⇒ M(3; 1; 2) hay M(-1; -3; 0).Vì M∈ P ⇒ M(3; 1; 2) 
 PHẠM HỒNG DANH-TRẦN MINH QUANG –TRẦN VĂN TOÀN 
 ( TRUNG TÂM LUYỆN THI CLC VĨNH VIỄN ) 
 4