Chuyền đề bồi dưỡng HSG Toán 7

 + ( x – 2y)2 + 2012
HD : a) do và suy ra : P với mọi x,y
 Min P = 0 khi 
 b) Ta có và suy ra : Q 2012 với mọi x,y
 Min Q = 2012 khi 
Bài 3 : Tìm GTLN của R = 
Bài 4 : Cho ph©n sè: (x Î Z)
a) T×m x Î Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m x Î Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn.
HD : 
 C lớn nhất khi lớn nhất nhỏ nhất và 
Vậy Max C = khi x = 2
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt
HD : Ta có 
 Để lớn nhất thì lớn nhất và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất và n nhỏ nhất n = 2 
 * Dạng vận dụng , 
 dấu “ = ” xẩy ra khi A.B 0
 dấu “ = ” xẩy ra khi A,B 0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A = ( x – 2)2 + + 3
B = 
HD: a) ta có với mọi x và với mọi x,y A 3 với mọi x,y
 Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi 
Ta có với mọi x 2012 với mọi x 
 với mọi x, suy ra Min B = khi x = 2010
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức 
 a) 
 b) 
 c) C = 
HD : a) Ta có = 
với mọi x với x . Vậy Min A = 1 Khi 
 b) ta có 
 Do với mọi x (1)
 Và với mọi x (2)
 Suy ra B . Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra dấu “=” hay 
Ta có
 = 
 = 99 + 97 + ....+ 1 = 2500
Suy ra C với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi 
 Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết 
 1.Kiến thức vận dụng 
 * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
 * Chữ số tận cùng của 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n 
 * Tính chất chia hết của một tổng
 2. Bài tập vận dụng:
 Bài 1 : Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 
chia hết cho 10
 HD: ta có = 
 =
 =
 = 10( 3n -2n)
Vậy 10 với mọi n là số nguyên dương.
Bài 2 : Chứng tỏ rằng:
A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100
HD: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : 3 + 25
 = 25( 42005 – 1 + 1) = 25. 42005 chia hết cho 100
Bài 3 : Cho m, n N* và p là số nguyên tố thoả mãn: = (1)
 Chứng minh rằng : p2 = n + 2 
 HD : + Nếu m + n chia hết cho p do p là số nguyên tố và m, n N* 
 m = 2 hoặc m = p +1 khi đó từ (1) ta có p2 = n + 2
 + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) (m + n)(m – 1) = p2
Do p là số nguyên tố và m, n N* m – 1 = p2 và m + n =1 
m = p2 +1 và n = - p2 < 0 (loại) 
 Vậy p2 = n + 2
Bài 4: a) Sè cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ?
 b) Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 7 
HD: a) Ta có 101998 = ( 9 + 1)1998 = 9.k + 1 ( k là số tự nhiên khác không)
 4 = 3.1 + 1 
 Suy ra : = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho 3 , không chia hết cho 9
Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + 1 ( k N*)
 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – 1 ( q N*) 
 Suy ra : = 7k + 1 + 7q – 1 = 7( k + q) 
Bài 5 : 
Chøng minh r»ng: chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng 
Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c 17 nÕu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Î Z)
Bài 6 : a) Chøng minh r»ng: (a, b Î Z )
 b) Cho ®a thøc (a, b, c nguyªn). 
 CMR nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3
HD a) ta có 17a – 34 b và 3a + 2b 
 vì (2, 7) = 1 
Ta có f(0) = c do f(0) 
 f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , do f(1) và f(-1) chia hết cho 3 vì ( 2, 3) = 1
 f(1) do b và c chia hết cho 3 
 Vậy a, b, c đều chia hết cho 3
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiên 
 b) Cho lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh lµ hîp sè
 HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) .Do 4n- 1 chia hêt cho 3 và lµ sè nguyªn tè (n > 2) suy ra 2n -1 chia hết cho 3 hay 2n -1 là hợp số 
 Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức 
 1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 <. < an thì n a1 < a1 + a2 +  + an < nan
 * a(a – 1) < a2 < a( a+1) 
 * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 , * a2 – 2 .ab + b2 = ( a – b)2 0 với mọi a,b
 2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: kh«ng lµ sè nguyªn.
 HD : Ta có 
Mặt khác 
 = 3 – N Do N >1 nên M < 2
 Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng : (1) , (2) với a, b, c 
 HD : (*)
 Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
 a) (1) b) (2)
HD : a) Cách 1 : Từ (*) 
 Do (*) đúng suy ra (1) đúng 
 Cách 2: Ta có và 
 Dấu “ =” xẩy ra khi a = b
Ta có : 
Lại có 
 Suy ra Dấu “ = ” xẩy ra khi a = b = c
Bài 4 : a) Cho z, y, z lµ c¸c sè d­¬ng.
 Chøng minh r»ng: 
 b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: .
HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm được 
 Chuyên đề 8 : Các bài toán về đa thức một ẩn 
 Bài 1 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0)
 Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tính P(3) 
 HD : ta có P(1) = 100 a + b + c + d = 100 
 P(-1) = 50 - a + b – c + d = 50 
 P( 0) = 1 d = 1
 P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
 Từ đó tìm được c, d, và a và XĐ được P(x) 
Bài 2 : Cho víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ.
 	Chøng tá r»ng: . BiÕt r»ng 
HD : f( -2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)
 Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
 ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) 
 Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 0
Bài 3 Cho ®a thøc víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên c , a + b + c và 4a + 2b + c nguên 
 a + b và 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên 2a , 2b nguyên 
Bài 4 Chøng minh r»ng: f(x) cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn
 HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d 
 Nếu f(x) có giá trị nguyên với mọi x d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d là các số nguyên . Do d nguyên a + b + c nguyên và (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên 2b nguyên 6a nguyên . Chiều ngược lại cm tương tự.
Bài 5 : T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = 
 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + ..+ a4018x4018
 Khi đó A(1) = ao + a1 +a2 + .+ a4018 
 do A(1) = 0 nên ao + a1 +a2 + .+ a4018 = 0
 Bài 6 : Cho x = 2011. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
 HD : Đặt A = 
 tại x = 2012 thì A = 2011
 Chuyên đề 9 Các bài toán thực tế
Kiến thức vận dụng
Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : 
Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x khi và chỉ khi :
 y = k.x ( k là hệ số tỉ lệ )
 - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch :
 Đại lượng y và đại lượng x được gọi là hai đại lượng tỉ lệ nghịch khi :
 x.y = a ( a là hệ số tỉ lệ )
 - Tính chất dãy tỉ số bằng nhau. 
 2. Bài tập vận dụng
 *Phương pháp giải :
Đọc kỹ đề bài , từ đó xác định các đại lượng trong bài toán
 Chỉ ra các đại lượng đã biết , đại lượng cần tìm
Chỉ rõ mối quan hệ giữa các đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch)
Áp dụng tính chất về đại lượng tỉ lệ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau để giải
 Bài 1 : Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây
 Bài 2 : Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau.
 Bài 3 : Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. 
TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B.
 Bài 4 : Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. 
TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ?
 Bài 5 : Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ?
 Bài 6 : Ba ô tô cùng khởi hành đi từ A về phía B . Vận tốc ô tô thứ nhất kém ô tô thứ hai là 3 Km/h . Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai và thứ ba đi hết quãng đường AB lần lượt là : 40 phút, giờ , giờ . Tính vận tốc mỗi ô tô ?
 PHẦN HÌNH HỌC
Một số phương pháp chứng minh hình hoc
 1.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau:
 P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai đoạn thẳng đó
 - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh bên của một tam giác cân
 - Dựa vào tính chất đường trung tuyến, đường trung trực của đoạn thẳng
 - Dựa vào định lí Py-ta- go để tính độ dài đoạn thẳng
 2.Chứng minh hai góc bằng nhau:
 P2 : - Chứng minh hai tam giác bằng nhau chứa hai góc đó
- Chứng minh hai góc đó là hai góc ở đáy của một tam giác cân
- Chứng minh hai đường thẳng song song mà hai góc đó là cặp góc so le trong ,đồng vị 
- Dựa vào tính chất đường phân giác của tam giác 
 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng:
 P2 : - Dựa vào số đo của góc bẹt ( Hai tia đối nhau)
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3 tại một điểm
- Hai đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng thứ 3
- Dựa vào tính chất 3 đường trung tuyến, phân giác, trung trực, đường cao
 4. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc 
 P2 : - Tính chất của tam giác vuông, định lí Py – ta – go đảo
- Qua hệ giữa đường thẳng song song và đường thẳng vuông góc 
 - Tính chất 3 đường trung trực, ba đường cao
 5 . Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy( đi qua một điểm ) 
 P2 : - Dựa vào tính chất của các đường trong tam giác 
 6. So sánh hai đoạn thẳng, hai góc :
 P2 : - Gắn hai đoạn thẳng , hai góc vào một tam giác từ đó vận định lí về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong một tam giác , BĐT tam giác
Dựa vào định lí về quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu, đường xiên và đường vuông góc . 
Bài tập vận dụng
 Bài 1 : Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC.
 Chøng minh: DC = BE vµ DC BE
HD: 
 Phân tích tìm hướng giải 
*Để CM DC