Các kỹ thuật giải Bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

Chuyên đề Tổng hợp pp giải PT,BPT,HPT mũ và logarit
 Kỹ thuật hằng số biến thiên trong giải PT và chứng minh BĐT
1 Lý thuyết cần nhớ 
1.1 hàm số mũ và logarit
1.2 Các công thức mũ và logarit
 am.an = am+n; am/ an = am-n; a-m =1/ am; am/n = căn bặc n của am
 logax 
x=a logax 
1.3 Các kỹ thuật giải phương(pt) sơ cấp 
 Giả sử ta cần GPT dạng f(x)=0
 Phần này mình lấy EX là các pt mũ và logarit nhưng những phương pháp này được dùng chung để giải hầu hết các loại pt xuất hiên trong các bài thi 
Nguyên tắc chung là biến đổi tương đương để giải.Ví dụ gặp kăn thức thì ta nâng luỹ thừa,gặp phân thức thì ta qui đồng,gặp hiệu hay thưong căn thức thì ta nhân liên hợp. đôi khi 2 vế phương trình bị cho khuyết hay thừa 1 đại lượng nào đó ta cần nhân hay chia 2 vế pt với đại lượng đó 
Nếu sau các bước này mà ra luôn pt cơ bản.Còn nếu không ra những pt thì ta dùng các kỹ thuật sau 
1 Biến đổi đưa về pt tích:Đây là dạng rất hay có trong các đề thi.Khi ấy có 1 phần pt là các pt đơn giản giải được luôn,còn lại là những pt khó nhằn mà ta phải giải bằng các kỹ thuật dưới đây( đây là kiểu cấu trúc đề thi rất hay gặp trong các đề thi của BGD nhằm phân loại học sinh)
1 đặt ẩn phụ : sau khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền giá trị và miền xác định cho ẩn mới.Điều này rất quan trọng trong các bài toán tham số 
 + kiểu 1: đặt x= g(t) pt trở thành f(g(t))=0.dĩ nhiên là việc thao tác trên g(t) đơn giản hơn x.Thông thường g(t) là các hàm lượng giác 
 + kiểu 2: đặt g(x)=t pt trở thành f(g-1(t))=0 khi này biến tham giai giả toán là t chứ không là g(t) như kiểu 1 
 + Kiểu 3 đặt 1 ẩn phụ đưa pt về dạng pt vừa chứa ẩn mới vừa chứa ẩn x.
 Thông thường pt mới có thể đưa về pt dạng g(t).h(x)=0 trong đó t là ẩn mới đặt
 + Kiểu 4 Đặt 2 ẩn phụ đưa pt về dạng pt tích: g(u).h(v)=0
 + Kiểu 5 Đặt 2 ẩn phụ đưa pt về hệ pt 2 ẩn.Trong đó pt thứ nhất của hệ là pt cũ với các ẩn mới u,v.Phương trình thứ hai là pt liên hệ giữa hai ẩn u,v
2 Dùng tính chất hàm số:
 + kiểu 1: ta chứng minh hàm f(x) là hàm đơn điệu,sau đó nhẩm trước 1 nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất 
 + kiểu 2: đưa pt về dạng f(x) = g(x) 
 Ta chứng minh hai hàm là đối nhau tức là một hàm tăng một hàm giảm sau đó nhẩm trước 1 nghiệm và kết luận đó là nghiệm duy nhất
Nếu mà đoán trước được 2 nghiệm của pt thì dùng định lý lagrang để chứng minh pt chỉ có 2 nghiệm
 để khảo sát tính đơn điệu của f(x) ,g(x) có thể dùng đạo hàm đối với hàm bất kỳ hay dùng luôn các tính chất đơn điệu biết trước của hàm mũ,logarit, lượng giác đã biết Còn một số bài mà không đơn điệu nhưng vẫn có nghiệm duy nhất thì ta phải đạo hàm đến nhiều lần để xét tính cực trị của hàm đó.Thông thường thì đạo hàm của nó sẽ là 1 hàm đơn điệu
3 Dùng đánh giá: 
 Kiểu 1: dạng f(x) = m.Ta dừng hàm số hay BĐT chứng minh rằng f(x) đạt cực đại hay cực tiểu bằng m tại x= x1,x2,,xk khi ấy x= x1,x2,,xk là các ngiệm 
 Kiểu 2: f(x) = g(x) dùng BĐT đánh giá f(x) lớn hơn hay nhỏ hơn g(x),xét dấu bằng có xảy ra không rồi kết luận nghiệm hay vô nghiệm của pt
4 Ba kỹ thuật đặc biệt gpt
4.1 Hằng số biến thiên: khi 1 bài toán cho ở dạng biến đổi về pt tích mà thao tác trên ẩn phức tạp ta chuyển sang thao tác trên hằng số.Đặt k=t (với k=const) khi ấy thông thường ta đưa được pt về dạng bậc 2 hay 3 với ẩn là t tham số là x.Mà pt này dễ giải ra nghiệm t=h(x)
4.2 Tham số biến thiên:Tổng quát hơn hằng số bién thiên khi này các hằng số k được thay bằng các tham số m.Bài toán bắt ta đi giải biện luận PT.Khi này ta coi m là ẩn x lầtham số và thao tác trên biến m
4.3 kỹ thuật cô lập tham số: bài toán bắt là tìm giá trị m để pt f(x,m)=0 có nghiệm x thoả điều kiện K.Ta biến đổi pt về dạng g(m)= h(x).Sau đó khảo sát hàm h(x).Rồi giải biện luận pt g(m)= h(x) bằng bảng biến thiên suy ra ycbt