Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số - Giải tích lớp 12 - Ngô Linh Lan

(C).
Cho đồ thị hàm số . Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Cho đồ thị hàm số . Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
Cho đồ thị hàm số . Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).
Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1)	(ĐH Khối-B 2008)
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm M(–1;–9).
CĐ
CT
Lời giải:	
	a. D=R, y’ = 12x2 – 12x; y’ = 0 Û x = 0 hay x = 1.
BBT :
x
-¥ 0 1 +¥
y'
 + 0 - 0 + 
y
 1 +¥
-¥ -1 
b. Tiếp tuyến qua M(-1;-9) có dạng y = k(x + 1) – 9. 
	Phương trình hoành độ tiếp điểm qua M có dạng :
	 4x3 – 6x2 + 1 = (12x2 – 12x)(x + 1) – 9.
	Û 4x3 – 6x2 + 10 = (12x2 – 12x)(x + 1) Û 2x3 – 3x2 + 5 = 6(x2 – x)(x + 1).
	Û x = –1 hay 2x2 – 5x + 5 = 6x2 – 6x Û x = –1 hay 4x2 – x – 5 = 0.
	Û x = –1 hay x = ; y’(-1) = 24; .
	Vậy phương trình các tiếp tuyến qua M là: y = 24x + 15 hay y = 
Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ
Cho hàm sô ,đồ thị là (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:
- Nghiệm của phương trình là hoành độ của điểm cực trị.
- Nếu thì hàm số đạt cực đại tại .
- Nếu thì hàm số đạt cực tiểu tại .
Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số có 2 cực trị	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía trên trục hoành	.
- Để hàm số có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành	.
- Để hàm số có cực trị tiếp xúc với trục hoành	.
Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.
Dạng 1: hàm số 
 Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
Dạng 2: Hàm số 
 Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng 
Chứng minh rằng hàm số y = luôn có có cực trị với mọi m. Tìm m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x.
Cho hàm số . Định m để:
Hàm số luôn có cực trị.
Có cực trị trong khoảng .
Có hai cực trị trong khoảng .
Định m để hàm số đạt cực đại tại x = 2.
Cho hàm số y = x3-3x2+3mx+3m+4.
Khảo sát hàm số khi m = 0.
Định m để hàm số không có cực trị.
Định m để hàm só có cực đại và cực tiểu.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy.
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m. Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
Cho hàm số . Định m để đồ thị hàm số có hai cực trị nằm về hai phía đối với trục tung.
Cho hàm số . Định m để hàm số có hai điểm cực trị cùng dương.
Cho hàm số (1).	(ĐH Khối-A năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=-1.
b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O.
ĐS: .
Cho hàm số (1), m là tham số.	(ĐH Khối-B năm 2007)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1.
	b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc tọa độ.
ĐS : b .
Cho hàm số 	(1) (m là tham số).
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị.	(ĐH Khối-B năm 2002)
a. b. ĐS :
 Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số 	(*) (m là tham số)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1.
b. Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm) luôn có hai điểm cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng .
a. b. CĐ(-2;m-3), CT(0;m+1)Þ 
Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾN-NGHỊCH BIẾN
Cho hàm sô có tập xác định là miền D.
- f(x) đồng biến trên D .
- f(x) nghịch biến trên D .
(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)
Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai: .
1. Nếu thì f(x) luôn cùng dấu với a.
2. Nếu thì f(x) có nghiệm và f(x) luôn cùng dấu với a khi .
3. Nếu thì f(x) có hai nghiệm, trong khoảng 2 nghiệm f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng 2 nghiệm f(x) cùng dấu với a.
So sánh nghiệm của tam thức với số 0
* 	* 	* 
1. Cho hàm số . Định m để:
a. Hàm số luôn đồng biến trên R.
b. Hàm số luôn đồng biến trên khoảng .
2. Xác định m để hàm số .
a. Đồng biến trên R.
b. Đồng biến trên .
3. Cho hàm số .
a. Định m để hàm số đồng biến trên khoảng .
b. Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng .
4. Cho hàm số . Định m để hàm số nghịch biến trên .
Dạng 4: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG
Quan hệ giữa số nghiệm và số giao điểm
Cho hai hàm số y=f(x) có đồ thị (C1) và y=g(x) có đồ thị (C2). Khảo sát sự tương giao giữa hai đồ thị (C1) và (C2) tương đương với khảo sát số nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1). Số giao điểm của (C1) và (C2) đúng bằng số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (1).
(1) vô nghiệm	Û (C1) và (C2) không có điểm chung.
	(1) có n nghiệm	Û (C1) và (C2) có n điểm chung.
(1) có nghiệm đơn x1	Û (C1) và (C2) cắt nhau tại N(x1;y1).
(1) có nghiệm kép x0	Û (C1) tiếp xúc (C2) tại M(x0;y0).
Cho hàm số có đồ thị là (C).
Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Cho hàm số có đồ thị là (C).
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Dùng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình .
Cho hàm số .
a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3.
b. Tìm các giá trị của k để phương trình có nghiệm duy nhất.
Cho hàm số .	(ĐH Khối-D 2006)
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
	b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.
ĐS: b. .
Cho hàm số 	(1) 	(ĐH Khối-A 2004)
	a. Khảo sát hàm số (1).
	b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1.
ĐS: b. .
Cho hàm số 	(*) (m là tham số)	(ĐH Khối-A 2003)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=-1.
b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
ĐS: b. .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).	(ĐH Khối-D 2003)
b. Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
ĐS: m>1.
Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 + 3(1 - m2)x + m3 - m2 (1) (m là tham số)	(ĐH Khối-A 2002)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đố thị của hàm số (1) khi m = 1.
b. Tìm k để phương trình - x3 + 3x2 + k3 - 3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
ĐS: b. , c. .
Dạng 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH
Các công thức về khoảng cách:
Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): .
Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng và điểm M(x0;y0) khi đó .
Cho hàm số . Định m để có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất.
Cho hàm số . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Cho hàm số . Tìm hai điểm M, N thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Cho hàm số .
Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất.
Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất.
Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số: (*) (m là tham số)	(ĐH Khối-A 2005)
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = .
b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm cận xiên bằng .	ĐS: m=1.
Dạng 6: CÁC ĐIỂM CỐ ĐỊNH
Phương pháp:
Từ hàm số ta đưa về dạng . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình .
Cho hàm số . Chứng minh rằng luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi.
Cho hàm số . Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua một điểm cố định khi m thay đổi.
Cho hàm số . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên.
Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua ba điểm cố định.
Dạng 7: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
y = f(x) có đồ thị (C)
 có đồ thị (C’)
 có đồ thị (C “)
. Do đó ta phải giữ nguyên phần phía trên trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên.
 có , nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.
Chú ý: Đối với hàm hữu tỷ
Cho hàm số .
Khảo sát hàm số.
Định k để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt. .
Cho hàm số .
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:.
Cho hàm số .
Khảo sát hàm số.
Định m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Cho hàm số .
Khảo sát hàm số.
Định m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: .
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
b. Tìm m để phương trình sau có sáu nghiệm phân biệt: .(ĐH Khối A-2006)
a.	ĐS: b. 4<m<5.
Dạng 8: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Điểm là tâm đối xứng của đồ thị Tồn tại hai điểm M(x;y) và M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa: 
Vậy là tâm đối xứng của (C) .
Cho hàm số có đồ thị .
Tìm giá trị của m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Cho hàm số .
Định m để có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.
Cho hàm số 	(m là tham số).
a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2.	(ĐH Khối B-2003)
ĐS: a. Þ  m>0.
Cho hàm số có đồ thị . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau qua trục tung.
Cho hàm số . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;-1).
Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1)	(ĐH Khối D-2008)
	a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
b. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
a. D = R.
	y' = 3x2 - 6x = 3x(x - 2), y'