Các dạng bài tập sau khảo sát hàm số

) = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép x0 ẻ(a;b) [hoặc f’(x) không đổi "x, xẻ(a;b)
Bài tập áp dụng:
Bài 1: CMR hàm số sau luôn có cực đại và cực tiểu với mọi m
y = – mx2 +(m2 – 1)x + (m2 – 1)
Giải:
-TXĐ: R, 
y’ = x2 -2mx + (m2 – 1) ; y’ = 0 x2 -2mx + m2 – 1 = 0
Ta có: D’ = m2 – (m2 – 1) = 1 =>
x
- m - 1 m+1 +
y’
 + 0 - 0 +
y
Vậy : y’ = 0 có 2 nghiệm đơn phân biệt =>y’ = 0 triệt tiêu và đổi dấu 2 lần khác nhau =>hàm số có 1 cực đại và 1 cực tiểu (đpcm)
Bài 2: Xác định m để hàm số có cực trị: 
y = x3 -2x2 + mx – 1
Giải:
TXĐ R.
Ta có y’ = 3x2 -4x + m,để hàm số có cực trị y’ = 0 có nghiệm đơn D’ > 0 4 – 3m > 0 m < 
Vấn đề 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một hàm số
1,Định nghĩa: cho hàm số y = f(x) xác định trên D
Nếu thì M gọi là giá trị lớn nhất của một hàm số
Nếu thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của một hàm số
2,Cách tìm 
- Tìm tập xác định và tính đạo hàm f’(x)
- Tìm nghiệm x0 (nếu có0 của f’(x) và tính y0 = f(x0)
- Lập bảng biến thiên.
- Tính y = f(a), y = f(b) và giá trị cực đại (ymax) , giá trị cực tiểu (ymin), (nếu có) của hàm số (trong (a;b))
- So sánh f(a), f(b), (ymax), (ymin) ta có kết quả.
Bài tập áp dụng:
Bài 1:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: y = 4x3 – 3x4
Giải:
TXĐ : R
y’ = 12x2 – 12x3 = 12x2(1 – x); y’ = 0 =>x = 0,x = 1
x
- 0 1 +
y’
 + 0 + 0 -
y
 0 1
Vậy : ymax = 1
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = 3x2 + 6x - 2
Giải:
TXĐ : R.Ta có :y’ = 6x + 6 ; y’ = 0 6(x + 1) = 0 =>x = -1
x
- -1 +
y’
 - 0 +
y
 -5 
Vậy : ymin = -5
Vấn đề 8 : KHảo sát hàm số
I.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a0)
Dạng 1:
Bài 1: Khảo sát h/số y = x3 -3x2 +2 
Giải:
1, TXĐ D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = 3x2 - 6x = 0 x = 0, x = 2
Xét dấu y'
x - 0 2 +
y' + 0 - 0 + 
Vậy h/số ĐB/(-;0)(2;+ ); NB/(0;2)
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ =2
-H/số đạt cực tiểu tại x = 2 => yCT = -2
c,Giới hạn
y = x3(1-) = -;y = x3(1-) = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 6x - 6 = 0 x = 1
x - 1 +
y' - 0 + 
Đồ thị lồi ĐU lõm 
 (1;0)
e,Bảng biến thiên
x - 0 1 2 +
y' + 0 - - 0 + 
 2 +
y - U(1;0) -2 
3,Đồ thị 
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 2
-Tại đ' uốn U(1;0) tiếp tuyến xuyên 
qua đồ thị, hệ số góc của tt tại đ' uốn là y'(1) = -3
Dạng 2:
Bài 2: Khảo sát h/số y = x3 + x -2
Giải:
1,TXĐ D = R
2,Sự biến thiên
a,Chiều biến thiên
 y' = 3x2 +1>0, x
Vậy h/s đồng biến trên (-;+)
b,Cực trị: H/s không có cực trị
c, Giới hạn
y = -, y = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 6x = 0 x =0
x - 0 +
y' - 0 + 
Đồ thị lồi ĐU lõm 
 (0;-2)
e,Bảng biến thiên
x - 0 +
y' + 
 -2 + 
y - 
 U(0;-2) 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y =- 2
-Lấy thêm đ' (1;0),(-1;-4)
-Tại đ' uốn U(0;-2) tiếp tuyến 
xuyên qua đồ thị, hệ số góc của
 tt tại đ' uốn là y'(0) = 1
Dạng 3:
Bài 3: Khảo sát h/số y = -2x3 + 3x2 - 1
Giải:
1, TXĐ D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = -6x2 + 6x = 0 x = 1, x = 0
Xét dấu y'
x - 0 1 +
y' - 0 + 0 - 
 CĐ
y 
 CT 
Vậy h/số NB/(-;0)(1;+ )
 ĐB/(0;1)
b,Cực trị
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -1
-H/số đạt cực đại tại x = 1 => yCĐ =0
c,Giới hạn
y = -x3(2+) = +
y =-x3(2+) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = -12x + 6 = 0 x = =>y = -
x - +
y' + 0 - 
Đồ thị lõm ĐU lồi 
 (;-)
e,Bảng biến thiên
x - 0 1 +
y' - 0 + 0 - 
 + 
 U(;-) - 
y
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Tại đ' uốn U(;-) tiếp tuyến xuyên qua đồ thị,
Dạng 4:
Bài 4 :Khảo sát h/số y = -x3 + x2 - x - 1
Giải:
1, TXĐ: D = R
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = -3x2 +2x -1
y' = 0, pt vô nghiệm 
Xét dấu y', ta có = -2 < 0, a = -3, vậy y' luôn cùng dấu với a tức là y' luôn âm với R.
=> H/s nghịch biến/R
b,Cực trị: H/số không có cực trị
c,Giới hạn
y =(-x3 + x2 - x – 1) = +;y =(-x3 + x2 - x – 1) -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 0 -6x +2 = 0 x = 
x - +
y' + 0 - 
Đồ thị lõm ĐU lồi 
 (;-)
e,Bảng biến thiên
x - +
y' - - 
 +
y 
 U(;) 
 - 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Tại đ' uốn U(;) tiếp tuyến 
xuyên qua đồ thị, hệ số góc của 
tt tại đ' uốn là y'() = -
II.Hàm số y = ax4+bx2 +c (a0)
Dạng 1:
Bài 1: Khảo sát hàm số y = x4 - 4x2 +4
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 4x3 -8xx = 0, x = 
Xét dấu y'
x - - 0 +
y' - 0 + 0 - 0 + 
 CĐ
y CT CT 
Vậy h/số ĐB/(-;0)( ;+ )
 NB/(-;-)(0; )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0 => yCĐ=4
-H/số đạt cực tiểu tại x = => yCT= 0
c,Giới hạn
y = ( x4 - 4x2 +4) = +
y = ( x4 - 4x2 +4) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 12x2-8= 0 x = 
x - - +
y'' + 0 - 0 + 
Đồ thị lõm ĐU lồi ĐU lõm
 (-;) (;)
e,Bảng biến thiên
x - - - 0 +
y' - 0 + 0 - 0 +
 + 4 +
y 0 U U 0
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 4
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 2:
Bài 2: Khảo sát hàm số y = 2x4 + x2 - 3
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 8x3 + 2x ; y’ = 0 8x3 + 2x = 02x(4x2 + 1) = 0
Xét dấu y'
x - 0 +
y' - 0 +
Vậy h/số ĐB/ (0;+ ), NB/(-;0)
b,Cực trị
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT = -3
c,Giới hạn
y = (2x4 + x2 – 3) = +
y =(2x4 + x2 – 3) = +
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 24x2 + 2 > 0 "xẻ R
Bảng biến thiên
x - 0 +
y' - 0 +
 + +
y 
 -3
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 3
Bài 3 : Khảo sát h/số y = 1+ 2x2 -
Giải:
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = 4x -x3 =0x = 0, x = 2
Xét dấu y'
x - -2 0 2 +
y' + 0 - 0 + 0 - 
Vậy h/số ĐB/(-;-2)(0;2); NB/(-2;0)(2 ;+ )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 2=> yCĐ= 5
-H/số đạt cực tiểu tại x = 0 => yCT= 1
c,Giới hạn
y = (1+ 2x2 -) = -
y = (1+ 2x2 -) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị 
y'' = 4-3x2= 0 x = 
x - - +
y'' - 0 + 0 - 
Đồ thị lồi ĐU lõm ĐU lồi
 (-;) (;)
e,Bảng biến thiên
x - -2 - 0 2 +
y' + 0 - 0 + 0 -
 5 5 
y U 1 U 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = 1
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
Dạng 4
Bài 4: Khảo sát h/số y = -x4 – x2 - 1 
Giải :
1, TXĐ D = R
2, sự biến thiên
y' = - 4x3 -2x = -2x(2x2 + 1) => x = 0 
x - 0 +
y' + 0 - 
Vậy h/số ĐB/(-;0); NB/(0 ;+ )
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = 0=> yCĐ = -1
c,Giới hạn
y = (-x4 – x2 - 1) = -
y = (-x4 – x2 - 1) = -
Đồ thị không có tiệm cận
d,Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị y'’ = -12x2 -2 = -2(6x2 + 1) < 0
Đồ thị lồi /R
e,Bảng biến thiên
x
- 0 +
y’
 + 0 -
y
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => 
y = -1
-H/số chẵn do đó nhận trục tung làm trục đối xứng
III.Một số hàm phân thức 
1)Hàm số (cạ0;D =ad-bcạ0)
Bài 1: Khảo sảt hàm số 
1) TXD: x ạ 2
2)Sự biến thiên
a, chiều biến thiên :
Vậy hàm số đồng biến /
b,Cực trị 
Hàn số không có cực trị 
C,Giới hạn 
 = = 
=> Đường thẳng x=2 là tiệm cận đứng 
 = = -1
=>đường thẳng y= -1 là tiệm cận ngang 
D,Bảng biến thiên 
x - 2 +
y’ + +
y 
3) Đồ thị 
Bảng giá trị x 1 3
 y 0 -2
NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận I(2;-1) làm tâm đối xứng 
Bài 2: Khảo sát hàm số 
1) TXD: D = R\
2)Sự biến thiên
a, chiều biến thiên 
Vậy h/s đồng nghịch 
b,Cực trị 
Hàn số không có cực trị 
C,Giới hạn 
=> Đường thẳng x= là tiệm cận đứng 
=>đường thẳng y = là tiệm cận ngang 
d,Bảng biến thiên 
x - +
y’ + 0 +
y 
3) Đồ thị 
NX:Đồ thị nhận giao của hai tiệm cận 
 làm tâm đối xứng
Bài2 : Khảo sát h/số
a, y = 
Giải:
1, TXĐ x1
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = <0 với x1
y' = 0, pt vô nghiệm 
Xét dấu y', y' luôn âm với x1.
=> H/s nghịch biến trên ( - ;1)(1;+ )
b,Cực trị: H/số không có cực trị
c,Giới hạn
y = -,y = +
Đt' x = 1 là t/cận đứng
y==1, đt' y = 1 là t/cận ngang
d,Bảng biến thiên
x - 1 +
y' - - 
y 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y = -1
-Giao với trục 0x: y=0=> x=-1
c, y = 
Giải:
1, TXĐ x
2, Sự biến thiên
a, chiều biến thiên: 
y' = >0, với x
Xét dấu y'
Vậy h/số ĐB/(-;)( ;+)
 b,Cực trị: Không có cực trị
c,Giới hạn
y = +,y = -
Đt' x = là t/cận đứng
y==-, đt' y = - là t/cận ngang
d,Bảng biến thiên
x - +
y' + + 
 +
y 
3,Đồ thị
-Giao với trục 0y: x = 0 => y =- 
-Giao với trục 0x: y =0 => x = .
VD1:Khảo sát hàm số 
1)TXD : x 
2) Sự bíên thiên
a,Chiều biến thiên
y’=0 ú x2-2x-3 = 0 x= -1; x=3 
xét dấu y’ x - -1 1 3 +
 y’ + 0 - - 0 + 
Vậy h/s đồng biến /(- ;-1) và (3;+ ) nghịch biến /(-1;1) và (1;3)
b , Cực trị
 Cực đại (-1;-5); cực tiểu (3;3)
c,Giới hạn 
=> Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 
Phân tích : 
Vì 
Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên
d. Bảng biến thiên 
3) đồ thị 
Đi qua (0;-6) ; Nhận I(1;-1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng 
NX: Hàm số có 1 T/c đứng và 1 t/c xiên 
VD2: Khảo sát hàm số 
1)TXD : x 
2) Sự bíên thiên
a,Chiều biến thiên: 
Vậy h/s nghịch biến /(- ;1) và (1;+ ) 
b , Cực trị
 Hàm số không có cực trị
c,Giới hạn 
=> Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng 
Vì 
Nên đường thẳng y= x-2 là tiệm cận xiên
d. Bảng biến thiên 
3) đồ thị 
Đi qua (0;-1) ; Nhận I(2;1) là giao điểm của hai tiệm cận làm tam đối xứng 
Bảng tóm tắt khảo sát hàm số 
-Có 1 t/c đứng và một t/c xiên
-Nhận tâm đỗi xứng là giao điểm của 2 tiệm cận
-Vẽ hai t/c trước, xác định hai toạ độ x>2 và x< 2
d, y = 
Giải:
1, TXĐ x0
2, sự biến thiên
y' = =0x=4,x=-4
Xét dấu y'
x - -4 0 4 +
y' + 0 - - 0 + 
 CĐ 
y CT 
Vậy h/số ĐB/(-;-4)(4;+ )
 NB/(-4;0)(0;4)
b,Cực trị
-H/số đạt cực đại tại x = -4 => yCĐ=-8
-H/số đạt cực tiểu tại x = 4 => yCT= 8
c,Giới hạn
y=-, y= +
Đt' x = 0 là t/cận đứng
y = (-x)= =0
nên đt' y = x là t/cận xiên
d, Bảng biến thiên
x - -4 0 4 +
y' + 0 - - 0 +
 -8 
y 8 
3,Đồ thị
-Đồ thị cắt trục toạ độ tại các đ' (-4;-8), (4;8)
g, y = -x + 1 +
y' = -1-<0, 1
H/s bghịch biến trên (-;1)(1;+ )
Tiệm