Phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học tích vô hướng - Nguyễn Thanh Hải

Phát triển tư duy cho học sinh qua dạy học Tích vô hướng
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Trong chương trỡnh hỡnh học lớp 10 cú bài Tớch vụ hướng của hai vộc tơ, theo tụi đõy là một kiến thức rất bổ ớch và cú nhiều ứng dụng hay trong những bài chứng minh hỡnh học và đại số. trong chương trỡnh phổ thụng khụng đề cập nhiều đến ứng dụng của tớch vụ hướng vào chứng minh trong đại số, sau đõy tụi xin nờu vài vớ dụ ứng dụng của tớch vụ hướng vào giải cỏc bài toỏn đại số với mục đớch phỏt triển tư duy cho cỏc em học sinh, qua đú hiểu sõu sắc hơn về tớch vụ hướng, tạo mối liờn hệ tự nhiờn cần thiết giữa hỡnh học và đại số, giải tớch.
2. BIỆN PHÁP THỰC HIỆN.
- Chọn cỏc vớ dụ thớch hợp để dạy cho cỏc em học sinh lớp 10, 11, 12.
- Nờu cho cỏc em thấy được cỏc dạng toỏn cú thể ỏp dụng tớch vụ hướng khi nú ẩn dưới dạng độ dài của vộc tơ, khi cú dạng tớch của , , ...
- Khi đó xỏc định được cỏc vộc tơ cần chỳ ý đến tớch vụ hướng theo định nghĩa như thế nào, với biểu thức tọa độ ra làm sao.
- Cũng cần lưu ý đến độ dài và quan hệ gúc giữa cỏc vộc tơ để cú thể ỏp dụng linh hoạt những kiến thức hỡnh học mà ta biết.
- Hỡnh thành những quan hệ ban đầu giữa hỡnh học và đại số, giải tớch.
3. PHẠM VI NGHIấN CỨU.
- Sỏng kiến được thực hiện ở cỏc khối lớp tại trường THPT Triệu Sơn 4.
4. NỘI DUNG.
Định nghĩa: (Có nhiều định nghĩa tích vô hướng của hai véc tơ, ở đây ta chỉ nêu một số định nghĩa quen thuộc trong chương trình phổ thông).
Cho hai véc tơ () tích vô hướng của hai vec tơ đó kí hiệu là được xác định như sau: . 
Trong hệ toạ độ tích vô hướng còn được xác định như sau:
Cho khi đó .
Trong hệ toạ độ oxyz tích vô hướng cũng được xác định .
Cho khi đó .
Ngoài ra ta còn viết .
Từ định nghĩa ban đầu ta có thể suy ra rằng . 
Vận dụng vào chứng minh bất đẳng thức.
Thí dụ 1. Cho ba số dương. Chứng minh rằng: 
Giải. Trong hệ toạ độ lấy 
Theo (*) ta suy ra:
Hay . (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi hai véc tơ cùng hướng 
Thí dụ 2. Với bốn số bất kì, cmr: .
Giải. Chọn ba véc tơ ta có:
Mặt khác: 
Từ hai điều trên suy ra: .(đpcm)
Thí dụ 3. Trong tam giác ABC chứng minh rằng: 
Giải. Gọi đường tròn (I;r) nội tiếp có các tiếp điểm lần lượt thuộc khi đó xét: 
Mà Nên
Dễ thấy đấu bằng có được khi trùng với hay tam giác đều.
Thí dụ 4. Chứng minh rằng tam giác có: Từ đó cmr:
Giải. Gọi (O;R) là đường tròn ngoại tiếp tam giác khi đó xét:
Ta có: 
Tương tự cho hai tích vô hướng còn lại ta thu được:
Dấu bằng có được khi trùng với hay tam giác đều.
Để chứng minh: Ta chọn và áp dụng ta có ngay: 
Dấu bằng đạt được khi tam giác đều.
Vận dụng trong các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình.
Thí dụ 5. Giải phương trình sau: 
Giải. Điều kiện .
Chọn , áp dụng (*) ta suy ra:
Như vậy dấu bằng đạt được khi: 
Kết luận phương trình đã cho có nghiệm .
Thí dụ 6. Giải phương trình .
Giải: 	
A
O
Đặt , suy ra: sđ 
Khi đó pt trở thành: .Hay: 
Theo hệ thức Sa- Lơ ta có: 
 .
Thí dụ 7. Giải hệ phương trình sau: 	
Giải. Chọn ba véc tơ: .
Từ phương trình thứ ba suy ra: 
Từ phương trình thứ hai suy ra : 
Nếu thì suy ra cộng tuyến trái với phương trình đầu.
Như vậy hay . Từ pt đầu .
Kiểm tra lại ta có nghiệm của hệ (x;y;z) là: (1;0;0) và (-1;0;0).
Thí dụ 8. Giải hệ phương trình sau: 
Giải. Chọn từ đề bài suy ra 
Mặt khác ta lại có Nên suy ra .
Như vậy dẫn đến 
Thử lại ta được nghiệm của hệ là .
Thí dụ 9. Giải hệ 
Giải. Chọn .
Từ pt đầu suy ra: . (1)
Từ pt hai suy ra: . (2)
Từ pt ba suy ra: . (3)	
Nếu thay vào hệ suy ra: hoặc 
Nếu từ (1) và (2) suy ra cộng tuyến.
Mà từ (3) có nên ta suy ra: .
Với 
Thay vào (1) ta được 
Với 
Thay vào (1) ta được hoặc 
Kết luận nghiệm của hệ (x;y;z) là: (0;0;1), (0;0;2), (0;4;0) và 
Thí dụ 10. Giả sử hệ có nghiệm. Cmr: .
Giải. Chọn . Từ hệ ta có: 
Mặt khác: , mà 
Như vậy suy ra: .(đpcm).
Thí dụ 11. Cho Có và . Tính .
Giải. Chọn Khi đó theo đề bài có: và . 
Do nên cộng tuyến với Theo gt có Nên .
Nếu 
Nếu 
Kết luận: 
Thí dụ 12. Giả sử hệ có nghiệm, cmr: 
Giải. Chọn và . Như vậy hệ tương đương với:
 , do nên ta suy ra ba véc tơ là đồng phẳng. Mặt khác ta dễ dàng kiểm tra được các góc . Điều này tương đương với hoặc =.
Nếu thì (đpcm)
Nếu = thì suy ra Theo hằng đẳng thức 
 (đpcm)
Thí dụ 13. Giả sử hệ có nghiệm, cmr: 
Giải. (Qui ước số 0 có dấu dương hoặc âm).
 Do vai trò của là như nhau nên ta chỉ cần chứng minh cho biến là đủ.
Từ hệ ta chỉ ra ngay được cùng dấu. Thật vậy không mất tổng quát:
Giả sử Ta ( Vô lí).
Giả sử Ta suy ra: .(Vô lí).
Nên ba số hoặc 
Ta có , theo gt suy ra:
 -Trường hợp .
Trong hệ tọa độ oxyz chọn điểm thay đổi, chọn như vậy từ gt và . Từ đây suy ra khi thay đổi thì luôn nằm trong góc phần tám thứ nhất và tạo với một góc không đổi. Chiếu lên trục ta xác định được hoành độ hay
, như vậy đạt giá trị lớn nhất phụ thuộc vào góc . Xét trong góc tam diện tổng hai góc tam diện luôn lớn hơn góc còn lại, không đổi nên góc đạt lớn nhất, nhỏ nhất khi chỉ khi ba véc tơ và đồng phẳng Với thay vào hệ được .
Tức là trong trường hợp này .
 - Trường hợp Đặt với ta quay về trường hợp vừa xét 
Như vậy từ hai trường hợp cho ta kết quả 
Vai trò như nhau nên ta có được (đpcm)
Cuối cùng xin đưa ra một bài toán hình học nhưng cách giải lại mang đậm bản chất đại số.
Thí dụ 14. Cho hình chóp có vuông góc với nhau đôi một, là một điểm bất kì thuộc phần trong tam giác . Gọi lần lượt là góc giữa đường thẳng với . Chứng minh rằng 
Giải. Lấy trên các véc tơ đơn vị lần lượt là , . Theo đề bài suy ra :
- Ba véc tơ vuông góc với nhau đôi một.
-Tồn tại duy nhất bộ số thực để 
Từ suy ra 
Nhân hai vế lần lượt với các véc tơ và bình phương lên ta suy ra 
,, 
Như vậy theo suy ra: (đpcm).
5. Kết quả thực hiện.
- Đây là một chuyên đề khó cần nhiều thời gian với các em. Tuy nhiên qua khảo sát kết quả thu được tương đối khả quan.
- Kết quả như sau:
Khối
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Khối 10
35%
30%
10%
15%
10%
Khối 11
30%
32%
10%
18%
10%
Khối 12
35%
40%
12%
6%
7%
Đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy học, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Rất mong sự quan tâm đóng góp ý kiến của các đồng chí để bài viết được hoàn thiện hơn. 
-------------------------------------- Hết -------------------------------------