Các dạng bài tập phương trình lượng giác

 C¸c d¹ng bt ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c
Lo¹i 1. Biện luận theo k
1. sin (pcosx) = 1
2. cos(8sinx) = -1
3. tan(pcosx ) = cot(p sinx)
4. cos(psinx) = cos(3psinx) 
5. tan(p cosx) = tan(2p cosx)
6. sinx2 = 
8. cot(x2 + 4x + 3) = cot6
9. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 
 cos
10. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 
 sin
11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của pt 
 cos
Lo¹i 2. Công thức hạ bậc
1. 4cos2(2x - 1) = 1
2. 2sin2 (x + 1) = 1
3. cos2 3x + sin2 4x = 1
4. sin(1 - x) = 
5. 2cosx + 1 = 0
6. tan2 (2x – ) = 2
7. cos2 (x – ) = sin2(2x + ) 
Lo¹i 3. Công thức cộng, biến đổi
1. sin2x + cos2x = sin3x 
2. cos3x – sinx = (cosx –sin3x )
3. 
4. sin3x = cos(x – p /5) + cos3x 
5. sin(x + p /4) + cos(x + p /4) = cos7x 
6. Tìm tất cả các nghiệm x của pt: sinxcos+ cosxsin= 
Lo¹i 4. Bài toán biện luận theo m
1. Giải và biện luận 
	2sin(1-2x) = m
2. 3cos23x = m
3. sin3x + cos3x = m
4. m.sin2 2x + cos4x = m
5. Giải và biện luận 
 sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x 
6. Giải và biện luận 
 (3m + 5).sin(x + p/2) = (2m + 3)cosx -m
7. Giải và biện luận 
 cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x 
8. Cho pt sin4x + cos4x = m
Xác định m để pt có nghiệm
Giải pt với m = ¾
Lo¹i 5. Tổng hợp
1. cos22x – sin28x = sin()
2. sin23x – cos24x = sin25x – cos26x
3. 
4. 
5. Tìm tất cả các nghiệm x của pt:
 sin(2x + = 1 + 2sinx
6. Giải pt:
 4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3cos4x = 3
7. 
 = 
8. 4sin32x + 6sin2x = 3
9. Tìm nghiệm nguyên của pt: 
D¹ng 2: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt, bËc hai vµ bËc cao ®èi víi mét hµm sè l­îng gi¸c
1/ 	2/ 4sin3x + 3sin2x = 8sinx 
3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 	4/ 
5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) vµ cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)
 T×m n0 cña (1) ®ång thêi lµ n0 cña (2) ( nghiÖm chung sinx = )
6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 	7/ tanx + - 2 = 0 
b / + tanx = 7	c / sin6x + cos4x = cos2x 
8/ sin() - 3cos() = 1 + 2sinx 
9/ 	10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0 
11/ tanx + cotx = 4 	12/ 
13/ 	14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0 
15/ 	16/ 2cosx - = 1
17. 	18. 
19. 	20.
21. 	22. 
23. 	24. 
25. 	25. 
D¹ng 3: Ph­¬ng tr×nh bËc nhÊt ®èi víi sinx vµ cosx
1. NhËn d¹ng:
2. Ph­¬ng ph¸p: C¸ch 1: asinx + bcosx = c
§Æt cosx= ; sinx= 
C¸ch 2: 
§Æt 
C¸ch 3: §Æt ta cã 
Chó ý: §iÒu kiÖn PT cã nghiÖm: 
§¨c biÖt :
gi¶i ph­¬ng tr×nh:
1. , 	2. 
3. , 	4. 
5. , 	6. 
7. 	8. 	 
9. ; 	10. 2sin15x + cos5x + sin5x = 0 (4) 	2. 
 	12. 13. ( cos2x - sin2x) - sinx – cosx + 4 = 0 	14. 
15. 16.
17. T×m GTLN vµ GTNN cña c¸c hµm sè sau:
	a. y = 2sinx + 3cosx + 1	b. 
	c. 	 
D¹ng 4: Ph­¬ng tr×nh ®¼ng cÊp ®èi víi sinx vµ cosx
	1. NhËn d¹ng:
§¼ng cÊp bËc 2: asin2x + bsinx.cosx + c cos2x = 0
 	C¸ch 1: Thö víi cosx = 0; víi cosx0, chia 2 vÕ cho cos2x ta ®­îc:
atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)
	C¸ch 2: ¸p dông c«ng thøc h¹ bËc 
§¼ng cÊp bËc 3: asin3x + bcos3x + c(sinx + cosx) = 0 
HoÆc asin3x + b.cos3x + csin2xcosx + dsinxcos2x = 0 
XÐt cos3x = 0 vµ cosx0, chia 2 vÕ cho cos3x ta ®­îc ph­¬ng tr×nh bËc 3 ®èi víi tanx
2. Ph­¬ng ph¸p: 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1. 3sin2x - sinxcosx+2cos2x cosx=2 	2. 4 sin2x + 3sinxcosx - 2cos2x=4
3. 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 	4. sinx - 4sin3x + cosx = 0 
5. 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + )cos2x – 5 - = 0
6. (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 	7. sin3x - sinx + cosx – sinx = 0 
8. tanxsin2x - 2sin2x = 3(cos2x + sinxcosx) 	9. 3cos4x - 4sin2xcos2x + sin4x = 0 
10. 4cos3x + 2sin3x - 3sinx = 0 	11. 2cos3x = sin3x 
12. cos3x - sin3x = cosx + sinx 	13. sinxsin2x + sin3x = 6cos3x 
14. sin3(x - /4) =sinx 
D¹ng 5: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
	1. NhËn d¹ng:
2. Ph­¬ng ph¸p: 
* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x + cosx 	
 	 at + b = c bt2 + 2at – 2c – b = 0
* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c ®Æt t = sin x - cosx 	
	 at + b = c bt2 - 2at + 2c – b = 0
1. 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0	2. sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)
3. 	3. 
1. 1 + tanx = 2sinx + 	2. sin x + cosx= - 
3. sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 	4. 1- sin3x+ cos3x = sin2x 
5. 2sinx+cotx=2 sin2x+1 	6. sin2x(sin x + cosx) = 2 
7. (1+sin x)(1+cosx)=2 	8. (sin x + cosx) = tanx + cotx
9. 1 + sin3 2x + cos32 x = sin 4x 	10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2
11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0
12. 	13. sinxcosx + = 1 
14. cosx + + sinx + = 
D¹ng 6: Ph­¬ng tr×nh ®èi xøng ®èi víi sinx vµ cosx
C«ng thøc h¹ bËc 2 	cos2x = ; sin2x= 
 	C«ng thøc h¹ bËc 3	 cos3x= ; sin3x= 
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 	2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2
3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 	4/ cos3x + sin7x = 2sin2() - 2cos2
5/ cos4x – 5sin4x = 1 	6/ 4sin3x - 1 = 3 - cos3x 
7/ sin22x + sin24x = sin26x	8/ sin2x = cos22x + cos23x 
9/ (sin22x + cos42x - 1):= 0	10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x
11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 	12/ 8cos3(x + ) = cos3x
13/ = 1 	14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2	16/ 3cos4x – 2cos23x =1
17/ sin24 x+ sin23x= cos22x+ cos2x víi	
18/ sin24x - cos26x = sin() víi 
19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3cos4x = 3 	
20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2() - víi < 3 
21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0 
22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x 
D¹ng 7: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c bËc cao
* a3 b3=(ab)(a2 ab + b2) 	* a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4
* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) 	* a6 b6 = ( a2 b2)( a4 a2b2 + b4)
Gi¶i ph­¬ng tr×nh
1. sin4+cos4=1-2sinx 	2. cos3x-sin3x=cos2x-sin2x 
3. cos3x+ sin3x= cos2x 	4. 
5. cos6x - sin6x = cos22x 	6. sin4x + cos4x = 
7. cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 	8. cos3x + sin3x = cosx – sinx 
9. cos6x + sin6x = cos4x 	 
10. sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x 
11. cos8x + sin8x = 	12. (sinx + 3)sin4 - (sinx + 3)sin2 + 1 = 0 
D¹ng 8: Ph­¬ng tr×nh l­îng gi¸c biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 	2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0
3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 	4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0
5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 	6/ sin2x + cos2x + cosx = 0 
7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4 	
8/ 	9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = 	
10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + cos2x 
11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x
12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 	
13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3
14/ 2sin3x - = 2cos3x + 
15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - ) = 0 
16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 	17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0 	
18/ sin2x = 1+cosx + cos2x 	19/ 1 + cot2x = 
20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + 	21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 
22/ 1 + tanx = sinx + cosx 	23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx 
24/ 2= 	25/ 2tanx + cotx = 
26/ cotx – tanx = cosx + sinx 	27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8 
Tìm TXĐ của hàm số:	a. 	b. y = 
 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: 
	a. y = 	b. y = 
 3. Gi¶I ph­¬ng tr×nh:
sinx + = 0. sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 
cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng)	ĐS: 
tanx.sin2x-2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)
HD: Chia hai vế cho sin2x 	ĐS: 
2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx
ĐS: 
2sin3x-(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)
2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx
ĐS: 
4(sin3x-cos2x)=5(sinx-1) ĐS: với .
sinx-4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội)	ĐS: .
HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)
; (Học Viện BCVT)	ĐS: 
 Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng.
sin3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x
HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x. cosx.sin3x=sin34x	ĐS: .
HD: Chia hai vế cho cos3x 	ĐS: x = , 
2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx
HD: Đưa về cung x đặt thừa số	ĐS: 
sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).
Giải	Û2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx. Û2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.
Û2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0. Đặt t=cosx, ĐK , ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0. D=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2.
Þ (biết giải)
1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.
HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0. (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.
 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0. Đặt thừa số, giải tiếp 
Giải phương trình lượng giác: 
Giải
Điều kiện: 
Từ (1) ta có: 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 
Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 
GiảiTa có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = Û cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = Û Û .
Giải phương trình: 
Giải
Phương trình Û (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0