Các bài toán về tích phân hay - Chuyên đề bất đẳng thức tích phân

 
Nhöng ( ) [ ], ,a bα β ⊂ thì ( ) ( )
b b b
x xa a a
m dx f dx M f dx< <∫ ∫ ∫ 
(Ñaây laø phaàn maéc phaûi sai laàm phoå bieán nhaát )Do chöa hieåu heát yù nghóa haøm soá ( )xf chöùa ( ),α β lieân 
tuïc [ ],a b maø ( ),α β ⊂ [ ],a b ) 
1 1 1 1 1
00 0 0 0
1
0
coscos cos 1
2. ln 1 ln 2
1 1 1 1
cos
ln 2
1
nxnx nx
dx dx dx x
x x x x
nx
dx
x
= = + =
+ + + +
⇒
+
∫ ∫ ∫ ∫
∫
 
 



1
3 3 3
2 2 21 1
1
3. 1 3
sin 1
1
.sin .sin
1 1 1
x
x x
e e
ex
x
e x e x edx dx dx
x x x
− −
− −
 =
⇒ 

⇒
+ + +∫ ∫ ∫




 




 

3
21
.sin 1
.
1
xe x
dx I
x e
−
⇒
+∫ 
 vôùi 
3
21
1
1
I dx
x
=
+∫ 
Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
( )
3 3
4 4
2
2
11 3
1 12
4 3
tg tx
dt dt
tg tt
∏ ∏
∏ ∏
+ ∏
⇒ Ι = = =
∏ ∏ +∫ ∫ 
( )
3
1
.sin
*
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
⇒
+∫ 
 (Caùch 2 xem baøi 4 döôùi ñaây ) 
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
13 
1 1
, 1, 3
sin 1sin 1
x xe e
x x
xx
− − = =   ⇔ ⇒ ∅ ∀   == 
∈ ∈ 
Vaäy
3
21
.sin
:
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
<
+∫ 
Xem laïi chuù yù treân , ñaây laø phaàn sai laàm thöôøng maéc phaûi khoâng ít ngöôøi ñaõ voäi keát luaän ñaúng thöùc (*) 
ñuùng . Thaät voâ lyù 
3 3 3
2 2 21 1 1
cos cos
4.
1 1 1
x x xe x e x e
dx dx dx
x x x
− − −
+ + +∫ ∫ ∫ 
 
 
Do xy e−= giaûm ( ) 1 1max xe e
e
− −⇒ = = 
3 3
2 21 1
cos 1 1
1 1 12
xe x
dx dx
x e x e
− ∏
⇒ =
+ +∫ ∫
 ;do I baøi 3 
Daáu ñaúng thöùc : 
1 1
, 1, 3
cos 1cos 1
x xe e
x x
xx
− − = =   ⇔ ⇔ ∅ ∀   == 
∈ ∈ 
Vaäy
3
21
cos
1 12
xe x
dx
x e
− ∏
<
+∫ 
5. Ñaët 2
11
cos sin
du dxu
x x
dv xdx v x
 = −= 
⇒ 
= =  
200
200 200
2100 100
100
200
200 200
2100 100
100
cos 1 sin
sin
cos 1 1 1
200
x x
dx x dx
x x x
x
dx dx
x x x
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
∏
∏ ∏
∏ ∏
∏
⇒ = +
⇒ = − =
∏
∫ ∫
∫ ∫

Vaäy
200
100
cos 1
200
x
dx
x
∏
∏ ∏∫ 
 
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöong phaùp ñaïo haøm . 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
14 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1
1 1
1
0
0 0
1
6. 0 1 1
1 1 1
1 1
1 1 1
1 1
.
1 11
x
x
n n n
x
n n n
n nx
n
e e
x e e
x x x
e
dx dx e dx
x x x
x xe
dx e
n nx
− −
⇒ ⇒
+ + +
⇒
+ + +
+ +
⇔
− −+
∫ ∫ ∫
∫
 
 
 
 
 
 


 


 

Vaäy
( )
1
1 10
1 1 1
: 1 1 ; 1
1 2 1 21
x
nn n
e e
dx n
n nx
− −
   − − >   − −   +∫
 
 
 
Baøi toaùn naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp nhò thöùc Newton . 
Chöùng minh raèng : neáu f(x) vaø g(x) laø 2 haøm soá lieân tuïc vaø x xaùc ñònh treân [a,b] , thì ta coù : 
( ) ( )( ) ( ) ( )
2
2 2. . .
b b b
x x x xa a a
f g dx f dx g dx∫ ∫ ∫ 
 
Caùch 1 : 
Cho caùc soá 1α , tuyø yù ( )1,i n∈ ta coù : 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 1 2 2... ... ... 1n n n nα α α β β β α β α β α β+ + + + + + + + +  
Ñaúng thöùc (1) xaûy ra khi : 1 2
1 2
... n
n
αα α
β β β
= = 
Thaät vaäy : phaân hoaïch [a,b] thaønh n ñoaïn nhoû baèng nhau bôûi caùc ñieåm chia : 
a = x0 < x1 < x2 < . <xn = b vaø choïn : 
[ ]1 1, ,i i
b a
x x i i n
n
ξ −
−
= ∀ ∈ ∈ 
Do f vaø g lieân tuïc , ta coù : 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1
2 2
1
lim 2
lim 3
nb
ixa n
i
nb
ixa n
i
n
b a
f dx f
n
b a
g dx g
n
ξ
ξ
→+∞
=
→+∞
=
→∞
−
=

 −
 =


∑∫
∑∫
Khi ñoù (1) 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
1 1
2
1
lim . lim .
lim . . 4
n n
i i
n n
i i
n
i i
n
i
b a b a
f g
n n
b a
f g
n
ξ ξ
ξ ξ
→+∞ →+∞
= =
→+∞
=
− −
⇔
− 
 
 
∑ ∑
∑
 
Töø (4) ta cuõng coù : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1
. .
n n n n
i i i i
i i i i
f g f gξ ξ ξ ξ
= = = =
 
 
 
∑ ∑ ∑ ∑ 5 
Ñaúng thöùc xaûy ra khi : f(x):g(x) = k hay f(x) = k.g(x) 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
15 
Töø (5) ( )
2
2 2( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx⇒ ∫ ∫ ∫ 
 
Caùch 2 : t R+∀ ∈ ta coù : 
[ ]2 2 2 2
2 2 2
0 ( ) ( ) ( ) 2. . ( ). ( ) ( )
( ) ( ) 2 ( ). ( ) ( ) 0
b b b
a a a
tf x g x t f x t f x g x g x
h t t f x dx t f x g x dx g x dx
− = − +
⇒ = − +∫ ∫ ∫



h(t) laø 1 tam thöùc baäc 2 luoân khoâng aâm neân caàn phaûi coù ñieàu kieän : 
( )
2
2
2 2
2
2 2
0
' 0
0
( ). ( ) ( ) . ( ) 0
( ). ( ) ( ) . ( )
h
h
h
b b b
a a a
b b
a a
a t
f x g x dx f x dx g x dx
f x g x dx f x dx g x dx
 = >
⇔ ∆
∆
 ⇔ − ≤  
⇒
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
b
a






Chöùng minh raèng : 
2
3
sin
5
1. 1
2
3
2.
2
x
x dx
e dx
+ <
∏
>
∫
∫
1
0
1
0
( )2
0
1
20
1
3. 1 1
2
3cos 4sin 5
4.
1 4
x
x t t x xe e e dt e e
x x
dx
x
−  − < + < − − 
 
− ∏
+
∫
∫
 

Baøi giaûi : 
1. Ta coù ( )
2
2 2: ( ). ( ) ( ) . ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx∫ ∫ ∫ 
 ( ñaõ chöùng minh baøi tröôùc ) 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 2 2
1 1 1 1
3 2 2
0 0 0 0
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 . 1 1 . 1
1 1 1 1 1
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
x x x x x x x
x dx x x x dx x dx x x dx
⇒
+ = + − + = + − +
⇒ + = + − + < + − +
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫


1
1
2
1
3
0
0
0
1
3
0
3 2 5
1
2 23 2
5
1
2
x x x
x dx x x
x dx
  
+ < + = − + 
    
⇒ + <
∫
∫
2 2 2
2sin sin sin
0
2. x x xe dx e dx e dx
∏
2
∏∏
= +∫ ∫ ∫0 0 
Ñaët 2
2 0
2
xx
t t dx dt
t
∏ ∏
= + ⇒ =
∏
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
16 
( )2 22 2
2 2 2
2
sinsin sin 2
0 0 0
2 2 2sin cos sin
0 0 0
2
tx x
x x x
e dx e dx e dt
e dx e dx e dx
∏ ∏ ∏∏ +
∏ ∏ ∏
⇒ = +
= + =
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
Ta laïi coù
2 2
2 2
sin cos
2 2 2 2
0 0
.
x x
edx e e dx
∏ ∏   =   
   ∫ ∫
2 2
2 2
2
2
2 2sin cos
0 0
2 2
2 2 2 2sin sin
0 0 0 0
2sin
0 0
sin
0
.
1 3
;
2 2
3
2
x x
x x
x
x
e dx e dx
hay e dx e dx e dx e dx
e dx e e e
e dx
∏ ∏
∏ ∏ ∏ ∏
∏∏
∏
<
   < ⇒ <   
   
 ⇒ > = ∏ > 
 
⇒ >
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
Chuù yù : baøi naøy coù theå giaûi theo phöông phaùp ñaïo haøm . 
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 22
0 0
2
2 22
0 0 0
2
2 2
2
2
2
1
2
0
3.
( ). ( ) ( ) . ( )
1 1 1
1 1
2 2
1
1 (1)
2
x x t
t t t t
x t tt
t t t t t
b b b
a a a
x
t t x x x x
xo
t t x x
e e dt e e e dt
e e e dt e dt e e dt
vi f x g x dx f x dx g x dx
e e dt e e e e
e
e e dt e e
− −
− −
−
−
+ = +
+ +
   ⇒ + − − − < − −   
   
 ⇒ + − − 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫








Maët khaùc 2: ; 0t t te e e t x−+ > ∀ < < 
2
0 0
1 (2)
x x
t t t xe e dt e dt e−⇒ + > = −∫ ∫ 
Töø (1) vaø (2) suy ra ( )2
0
1
: 1 1
2
x
x t t x xe e e dt e e−
 − < + < − − 
 ∫
( )22 2 22 2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
3cos 4sin 1 5
4. 3 4 sin cos
1 1 1
3cos 4sin 3cos 4sin 1
5
1 1 1
x x
x x
x x x
x x x x
dx dx dx
x x x
−    + − + =  + + +
− −
⇒
+ + +∫ ∫ ∫
 


 

Ñaët ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
17 
( )2
2 2
2
10 1 1
1 1 40
3cos 4sin 5
4.
1 4
tg tx
dx dt dt
x tg tt
x x
dx
x
+ ∏
⇒ = = =
∏ + +
− ∏
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫
1 1 1
0 0 0
1
0
4
 

Chöùng minh baát ñaúng thöùc tích phaân baèng phöông phaùp ñaïo haøm. 
Chöùng minh raèng : 
( ) ( )
( )
11
7
1
2
0
1. 54 2 7 11 108
4
2. 0 1
27
x x dx
x x dx
−
+ + −
< − <
∫
∫

 

( )
2
4
0
sin
0
2
sin cos
4 4
3
4.
2
e
x
x x dx
e dx
∏∏ ∏
+
∏
>
∫
∫ 

 

Baøi giaûi : 
1. Xeùt ( ) ( ) ( ) [ ]7 11 ; 7,11f x x x x= + + − − ∈ 
( ) ( )11 7' ' 0 2
2 11 7
x x
f x f x x
x x
− − +
= ⇒ = ⇔ =
− +
x -7 2 11 
f’(x) + 0 - 
f(x) 6
3 2 3 2
ր ց
( ) ( )
( )
11 11 11
7 7 7
11
7
3 2 6 3 2 6
54 2 7 11 108
f x dx f x dx dx
x x dx
− − −
−
⇒ ⇒
⇒ + + −
∫ ∫ ∫
∫

 
 
 


 
 
2. Xeùt haøm soá : f(x) = x(1-x2) ; [ ] ' 20,1 ( ) 3 - 4 1x f x x x∀ ∈ ⇒ = + 
⇒ f’(x)=0 1x x1⇔ = ∨ =
3
x -∞ 0 1
3
 1 +∞ 
f’(x) + 0 - 
f(x) 
0 0
ր ց
4 
27
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
18 
4
0 ( )
27
f x⇒ 
 
 
( ) ( ) ( )
(0) (1)
1 1 1
0 0 0
1 1 40, ; ,0
3 3 27
0
4 4
0 ( ) 0 ( )
27 27
xx f
va
f f
f x dx dx f x dx
∃ ⇒ 0 < <

= =
⇒ < < ⇒ < <∫ ∫ ∫
∈
3. Xeùt haøm soá : 
'
( ) sin cos 2 sin ; 0,
4 4
( ) 2 cos 0 , 0,
4 4
f x x x x x
f x x x
∏ ∏   = + = +      
∏ ∏   = + ∀   
   
 ∈
 ∈
⇒ f(x) laø haøm soá taêng ( ) ( ) ( )0 4
0,
4
x
x f f f ∏
∏ ∀ ⇒  
∈ 
 
 
 ( )4
0
2
1 sin cos 2 sin cos
4 4
x x x x dx
∏∏ ∏
⇒ + ⇒ +∫
 
 
 
 
4. Nhaän xeùt 0x∀ > thì 1xe x> + ( ñaây laø baøi taäp Sgk phaàn chöùng minh baát ñaúng thöùc baèng pp ñaïo haøm) 
Xeùt ( ) ( )
'1 ; 0 1 0 ; 0t t
t t
f e t t f e t= − − ⇒ = − > ∀ >  
⇒haøm soá f(t) ñoàng bieán 0t∀  
Vì x > 0 neân f(x) > f(0) = 0 ( )1 0 1 1x xe x e x⇒ − − > ⇔ > + 
Do vaäy : ( ) ( )
2sin 20, 1 sin (1)xx thi e x do∀ ∏ > +∈ 
( )2
2
sin 2
0 0 0
sin
0
1 cos2
1 sin
2
3
2
x
x
x
e dx x dx dx
e dx
∏ ∏ ∏
∏
−
⇒ > + =∏+
∏
⇒ >
∫ ∫ ∫
∫
Chöùng minh raèng : 
3
4
2
21
20
2 1
1.
5 1 2
3 sin 1
2.
4 2
3 1 2 3
3.
3 3cos cos 1
x
dx
x
x
dx
x
dx
x x
∏
∏
∏
+
∏ ∏
+ +
∫
∫
∫

 


 


 

( )
3
6
1
20
1
4 4 4
1
3 cot 1
4.
12 3
2 1 1
5.
3 22
6. 2 2 1 1 4
gx
dx
x
dx
x x
x x dx
∏
∏
−
< <
+ −
< + + − <
∫
∫
∫

 
 
Baøi giaûi : 
Ts. Nguyeãn Phuù Khaùnh - ðà Lạt Chuyeân Ñeà Baát Ñaúng Thöùc Tích Phaân 
19 
1. Xeùt : ( ) [ ]2 ; 1,2 .1x
x
f x
x
=
+
 ∈ coù ( ) ( )
[ ]
2
'
2
2
1
0 ; 1, 2
1
x
x
f x
x
−
= ∀
+
 
 ∈ 
⇒haøm soá nghòch bieán [ ] ( ) ( ) ( )2 11,2 xx f f f∀ ⇒∈ 
 
 
2 2 2
2 21 1 1
2
21
1 1
1 2 1 2
2 1
5 1 2
x x
dx dx dx
x x
x
x
2 2
⇒ ⇒
5 + 5 +
⇒
+
∫ ∫ ∫
∫

 
 
 


 

2.