Bộ đề thi Đại học, Cao đẳng môn Toán năm 2002 có lời giải

m cã 4 trang) 
C©u ý Néi dung §iÓm
I 2,0 
 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1,0 ®iÓm) 
 3 2
1y x 2x 3x
3
= − + (1). 
 a) TËp x¸c ®Þnh: R . 
b) Sù biÕn thiªn: 
 y' = x2 − 4x + 3; 3,10' ==⇔= xxy . 
0,25 
 yC§ = y(1) = 
4
3
, yCT = y(3) = 0; y" = 2x − 4, y'' = 0 ( ) 2x 2, y 2 3⇔ = = . §å thÞ 
hµm sè låi trªn kho¶ng ( ; 2),−∞ lâm trªn kho¶ng ( 2; + ∞ ) vµ cã ®iÓm uèn lµ 
2U 2;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ . 
0,25 
 B¶ng biÕn thiªn: 
 x −∞ 1 3 +∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 
4
3
 +∞ 
 −∞ 0 
0,25 
 c) §å thÞ: 
 Giao ®iÓm cña ®å thÞ víi c¸c trôc 
 Ox, Oy lµ c¸c ®iÓm ( ) ( )0;0 , 3;0 . 
0,25 
 2
 2 ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm uèn, ...(1,0 ®iÓm) 
T¹i ®iÓm uèn U
22;
3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ , tiÕp tuyÕn cña (C) cã hÖ sè gãc 1)2(' −=y . 0,25
 TiÕp tuyÕn ∆ t¹i ®iÓm uèn cña ®å thÞ (C) cã ph−¬ng tr×nh: 
2 8y 1.(x 2) y x
3 3
= − − + ⇔ = − + . 
0,25
 HÖ sè gãc tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x b»ng: 
 y'(x) = x2 34 +− x = 1)2( 2 −−x ≥ 1− ⇒ y' (x) ≥ y' (2), ∀ x. 0,25
 DÊu " =" x¶y ra khi vµ chØ khi x = 2 ( lµ hoµnh ®é ®iÓm uèn). 
Do ®ã tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt. 0,25
II 2,0 
 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1,0 ®iÓm) 
 5sinx 2− = 3 tg2x ( 1 sinx− ) (1) . 
 §iÒu kiÖn: cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ k ,k Z
2
π
+ π ∈ (*). 0,25
Khi ®ã (1) ⇔ 
2
2
3sin x5sin x 2 (1 sin x)
1 sin x
− = −
−
 02sin3sin2 2 =−+⇔ xx . 0,25
2
1
sin =⇔ x hoÆc 2sin −=x (v« nghiÖm). 
0,25
π+
π
=⇔= 2
62
1
sin kxx hoÆc π+π= 2
6
5 kx , Zk∈ ( tho¶ m·n (*)). 
0,25
 2 T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè (1,0 ®iÓm) 
 y = 
2ln x
x
 ⇒ 2ln x(2 ln x)y ' x
−
= ⋅ 0,25
y'= 0 
3
2 3
ln x 0 x 1 [1; e ]
ln x 2 x e [1; e ].
⎡= = ∈⎡
⇔ ⇔ ⎢⎢
= = ∈⎢⎣ ⎣
 0.25
 Khi ®ã: y(1) = 0, 2 32 3
4 9y(e ) , y(e )
e e
= = ⋅ 
0,25
 So s¸nh 3 gi¸ trÞ trªn, ta cã: 
33
2
2 [1; e ][1; e ]
4max y khi x e , min y 0 khi x 1
e
= = = = . 
 0,25
III 3,0 
 1 T×m ®iÓm C (1,0 ®iÓm) 
 Ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB: 
4
1
3
1
−
−
=
− yx
 ⇔ 4x + 3y – 7 = 0. 0,25
 Gi¶ sö );( yxC . Theo gi¶ thiÕt ta cã: 012 =−− yx (1). 
d(C, (AB)) = 6 
2 2
4x 3y 37 0 (2a)4x 3y 7
6
4x 3y 23 0 (2b).4 3
+ − =+ − ⎡
⇔ = ⇔ ⎢ + + =+ ⎣ 0,25
 Gi¶i hÖ (1), (2a) ta ®−îc: C1( 7 ; 3). 0,25
 Gi¶i hÖ (1), (2b) ta ®−îc: 2
43 27C ;
11 11
⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 2 TÝnh gãc vµ thÓ tÝch (1,0 ®iÓm) 
 3
 Gäi giao ®iÓm cña AC vµ BD lµ 
O th× SO (ABCD)⊥ , suy ra 
nSAO = ϕ . 
Gäi trung ®iÓm cña AB lµ M th× 
OM AB⊥ vµ ⇒⊥ ABSM Gãc 
gi÷a hai mÆt ph¼ng (SAB) vµ 
(ABCD) lµ nSMO . 
0,25
Tam gi¸c OAB vu«ng c©n t¹i O, nªn ϕ=⇒== tgaSOaOAaOM
2
2
2
2
,
2
. 
Do ®ã: n SOtgSMO 2 tg
OM
= = ϕ . 
0,25
 2 3
S.ABCD ABCD
1 1 a 2 2V S .SO a tg a tg .
3 3 2 6
= = ϕ = ϕ 0,50
 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng ∆ (1,0 ®iÓm) 
 §−êng th¼ng d cã vect¬ chØ ph−¬ng )4;1;2( −=v . 0,25
 B ∈ d ⇔ )41;1;23( tttB +−−+− (víi mét sè thùc t nµo ®ã ). 
( )AB 1 2t;3 t; 5 4t⇒ = + − − +JJJG . 0,25
 AB ⊥ d ⇔ 0. =vAB 2(1 2t) (3 t) 4( 5 4t) 0⇔ + − − + − + = ⇔ t = 1. 0,25
AB (3; 2; 1)⇒ = −JJJG ⇒ Ph−¬ng tr×nh cña 
1
4
2
2
3
4
:
−
−
=
+
=
+∆ zyx . 0,25
IV 2,0 
 1 TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) 
dx
x
xxI
e
∫ +=
1
lnln31
. 
 §Æt: 2 dxt 1 3ln x t 1 3ln x 2tdt 3
x
= + ⇒ = + ⇒ = . 
 x 1 t 1= ⇒ = , x e t 2= ⇒ = . 0,25
Ta cã: ( )2 22 2 4 2
1 1
2 t 1 2I t dt t t dt
3 3 9
−
= = −∫ ∫ . 
0,25
2
5 3
1
2 1 1I t t
9 5 3
⎛ ⎞
= −⎜ ⎟⎝ ⎠ . 0,25
 I = 
135
116
. 
0,25
 4
 2 X¸c ®Þnh sè ®Ò kiÓm tra lËp ®−îc ... (1,0 ®iÓm) 
 Mçi ®Ò kiÓm tra ph¶i cã sè c©u dÔ lµ 2 hoÆc 3, nªn cã c¸c tr−êng hîp sau: 
• §Ò cã 2 c©u dÔ, 2 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 
 23625.. 15
2
10
2
15 =CCC . 0,25
 • §Ò cã 2 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 2 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 
 10500.. 25
1
10
2
15 =CCC . 0,25
 • §Ò cã 3 c©u dÔ, 1 c©u trung b×nh, 1 c©u khã, th× sè c¸ch chän lµ: 
 22750.. 15
1
10
3
15 =CCC . 0,25
 V× c¸c c¸ch chän trªn ®«i mét kh¸c nhau, nªn sè ®Ò kiÓm tra cã thÓ lËp ®−îc lµ: 
 56875227501050023625 =++ . 0,25
V X¸c ®Þnh m ®Ó ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 1,0
 §iÒu kiÖn: − 1 ≤ x ≤ 1. §Æt t 2 21 x 1 x= + − − . 
Ta cã: 2 21 x 1 x t 0+ ≥ − ⇒ ≥ , t = 0 khi x = 0. 
 2 4t 2 2 1 x 2 t 2= − − ≤ ⇒ ≤ , t = 2 khi x = ± 1. 
 ⇒ TËp gi¸ trÞ cña t lµ [0; 2 ] ( t liªn tôc trªn ®o¹n [ − 1; 1]). 0,25
Ph−¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh: m ( ) 2t 2 t t 2+ = − + + 
2t t 2 m
t 2
− + +
⇔ =
+
 (*) 
XÐt f(t) =
2t t 2
t 2
− + +
+
 víi 0 ≤ t ≤ 2 . Ta cã f(t) liªn tôc trªn ®o¹n [0; 2 ]. 
Ph−¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm x ⇔ Ph−¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm t ∈ [0; 2 ] 
 ⇔ 
]2;0[]2;0[
)(max)(min tfmtf ≤≤ . 
0,25
Ta cã: f '(t) = ( )
2
2
t 4t 0, t 0; 2
t 2
− − ⎡ ⎤≤ ∀ ∈ ⎣ ⎦+ ⇒ f(t) nghÞch biÕn trªn [0; 2 ]. 0,25
 Suy ra: 
[0; 2 ] [0; 2 ]
min f (t) f ( 2) 2 1 ; max f (t) f (0) 1= = − = = . 
VËy gi¸ trÞ cña m cÇn t×m lµ 2 1 m 1− ≤ ≤ . 0,25
 1
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o §¸p ¸n - Thang ®iÓm 
 ..................... ®Ò thi tuyÓn sinh ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2004 
 ........................................... 
 §Ò chÝnh thøc M«n: To¸n, Khèi D 
 (§¸p ¸n - thang ®iÓm cã 4 trang) 
C©u ý Néi dung §iÓm
I 2,0 
 1 Kh¶o s¸t hµm sè (1,0 ®iÓm) 
 1962 23 ++−=⇒= xxxym . 
 a) TËp x¸c ®Þnh: R . 
 b) Sù biÕn thiªn: 
 2 2y ' 3x 12x 9 3(x 4x 3)= − + = − + ; y ' 0 x 1, x 3= ⇔ = = . 0,25 
 yC§ = y(1) = 5 , yCT = y(3) =1. y'' = 6x 12− = 0 ⇔ x = 2 ⇒ y = 3. §å thÞ hµm 
sè låi trªn kho¶ng ( ; 2),−∞ lâm trªn kho¶ng );2( ∞+ vµ cã ®iÓm uèn lµ 
)3;2(U . 0,25 
 B¶ng biÕn thiªn: 
 x −∞ 1 3 + ∞ 
 y' + 0 − 0 + 
 y 5 + ∞ 
 −∞ 1 
 0,25 
 c) §å thÞ: 
 §å thÞ hµm sè c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0; 1). 
0,25 
 2 T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè ...(1,0 ®iÓm) 
 y = x3 − 3mx2 + 9x + 1 (1); y' = 3x2 − 6mx + 9; y'' = 6x − 6m . 
y"= 0 ⇔ x = m ⇒ y = − 2m3 + 9m + 1. 0,25 
 y" ®æi dÊu tõ ©m sang d−¬ng khi ®i qua x = m, nªn ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè 
(1) lµ I( m; − 2m3 + 9m +1). 0,25 
 I thuéc ®−êng th¼ng y = x + 1 ⇔ − 2m3 + 9m + 1 = m + 1 0,25 
 ⇔ 2m(4 − m2 ) = 0 ⇔ m = 0 hoÆc 2±=m . 0,25 
 2
II 2,0 
 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh (1,0 ®iÓm) 
 ( 2cosx −1) (2sinx + cosx) = sin2x − sinx 
⇔ ( 2cosx −1) (sinx + cosx) = 0. 0,25 
• 2cosx − 1= 0 ⇔ cosx =
1 x k2 , k
2 3
π
⇔ = ± + π ∈Z . 
0,25 
• sinx + cosx = 0 ⇔ tgx = −1 ⇔ x k , k
4
π
= − + π ∈Z . 
0,25 
 VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x k2
3
π
= ± + π vµ x k , k
4
π
= − + π ∈Z . 
0,25 
 2 T×m m ®Ó hÖ ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm (1,0 ®iÓm) 
§Æt: u = x , v y,u 0, v 0.= ≥ ≥ HÖ ®· cho trë thµnh: 3 3
u v 1
u v 1 3m
+ =⎧⎨
+ = −⎩
 (*) 
0,25 
 u v 1
uv m
+ =⎧
⇔ ⎨
=⎩
⇔ u, v lµ hai nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh: t2 − t + m = 0 (**). 
0,25 
 HÖ ®· cho cã nghiÖm (x; y) ⇔ HÖ (*) cã nghiÖm u ≥ 0, v ≥ 0 ⇔ Ph−¬ng tr×nh 
(**) cã hai nghiÖm t kh«ng ©m. 0,25 
 ⇔ 
1 4m 0
1S 1 0 0 m .
4
P m 0
∆ = − ≥⎧⎪
= ≥ ⇔ ≤ ≤⎨⎪
= ≥⎩
0,25 
III 3,0 
 1 TÝnh to¹ ®é träng t©m G cña tam gi¸c ABC vµ t×m m... (1,0 ®iÓm) 
 Träng t©m G cña tam gi¸c ABC cã täa ®é: 
 A B C A B CG G
x x x y y y mx 1; y
3 3 3
+ + + +
= = = = . VËy G(1; 
m
3
). 
0,25 
 Tam gi¸c ABC vu«ng gãc t¹i G ⇔ GA.GB 0=
JJJG JJJG
. 0,25 
 m mGA( 2; ), GB(3; )
3 3
− − −
JJJG JJJG
. 
0,25 
GA.GB 0=
JJJG JJJG 2m6 0
9
⇔ − + = m 3 6⇔ = ± . 
0,25 
 2 TÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a B1C vµ AC1,... (1,0 ®iÓm) 
 a) Tõ gi¶ thiÕt suy ra: 
1 1C (0; 1; b), B C (a; 1; b)= −
JJJJG
1 1AC ( a; 1; b), AB ( 2a;0; b)= − = −
JJJJG JJJJG
0,25 
 3
( ) 1 1 11 1 2 2
1 1
B C, AC AB abd B C, AC
a bB C, AC
⎡ ⎤⎣ ⎦
= =⎡ ⎤ +⎣ ⎦
JJJJG JJJJG JJJJG
JJJJG JJJJG . 
0,25
 b) ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si, ta cã: 
1 1 2 2
ab ab 1 1 a bd(B C;AC ) ab 2
22ab 2 2a b
+
= ≤ = ≤ =
+
. 
0,25
 DÊu "=" x¶y ra khi vµ chØ khi a = b = 2. 
VËy kho¶ng c¸ch gi÷a B1C vµ AC1 lín nhÊt b»ng 2 khi a = b = 2. 0,25
 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu (1,0 ®iÓm) 
 I(x; y; z) lµ t©m mÆt cÇu cÇn t×m ⇔ I ∈ (P) vµ IA = IB = IC . 
Ta cã: IA2 = (x − 2)2 + y2 + ( z − 1)2 
 ; IB2 = (x − 1)2 + y2 + z2 ; 
 IC2 = (x − 1)2 + (y − 1)2 + ( z − 1)2 . 0,25
 Suy ra hÖ ph−¬ng tr×nh: 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=−++
22
22
02
ICIB
IBIA
zyx
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+
=+
=++
⇔
1
2
2
zy
zx
zyx
0,25
 .0;1 ===⇔ yzx 0,25
 ⇒== 1IAR Ph−¬ng tr×nh mÆt cÇu lµ ( x − 1)2 + y2 + ( z − 1)2 =1. 0,25
IV 2,0
 1 TÝnh tÝch ph©n (1,0 ®iÓm) 
I = 
3
2
2
ln(x x)dx−∫ . §Æt 2 2
2x 1du dxu ln(x x)
x x
dv dx v x
−⎧⎧ == − ⎪⇒
−⎨ ⎨
=⎩ ⎪ =⎩
. 
0,25
 3 332
2
2 2
2x 1 1I x ln(x x) dx 3ln 6 2ln 2 2 dx
x 1 x 1
− ⎛ ⎞
= − − = − − +⎜ ⎟
− −⎝ ⎠∫ ∫ 0,25
 ( ) 3
2
3ln 6 2ln 2 2x ln x 1= − − + − . 0,25
 I = 3ln6 − 2ln2 − 2 − ln2 = 3ln3 − 2. 0,25
 2 T×m sè h¹ng kh«ng chøa x... (1, 0 ®iÓm) 
Ta cã: ( )7 k7 7 kk3 374 4
k 0
1 1x C x
x x
−
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ 0,25
7 k k 28 7k7 7
k k3 4 12
7 7
k 0 k 0
C x x C x
− − −
= =
= =∑ ∑ . 
0,25
 Sè h¹ng kh«ng chøa x lµ sè h¹ng t−¬ng øng víi k (k Z, 0 k 7)∈ ≤ ≤ tho¶ m·n: 
 40
12
728
=⇔=
− kk . 
0,25
 Sè h¹ng kh«ng chøa x cÇn t×m lµ 47C 35= . 0,25
 4
V Chøng minh ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt 1,0 
 x5 − x2 − 2x − 1 = 0 (1) . 
(1) ⇔ x5 = ( x + 1)2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0 ⇒ (x + 1) 2 ≥ 1 ⇒ x5 ≥ 1 ⇒ x ≥ 1. 0,25 
 Víi x ≥ 1: XÐt hµm sè 5 2f (x) x x 2x 1= − − − . Khi ®ã f(x) lµ hµm sè liªn tôc 
víi mäi x ≥ 1. 
Ta cã: 
 f(1) = − 3 0. Suy ra f(x) = 0 cã nghiÖm thuéc ( 1; 2). (2) 0,25 
 f '( x) = 4 4 4 45x 2x 2 (2x 2x) (2x 2) x− − = − + − + . 
 3 4 42x(x 1) 2(x 1) x 0, x 1= − + − + > ∀ ≥ . 0,25 
 Suy ra f(x) ®ång biÕn trªn [ 1; +∞) (3). 
Tõ (1), (2), (3) suy ra ph−¬ng tr×nh ®· cho cã ®óng mét nghiÖm. 0,25 
 1
 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
--------------------- 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005 
---------------------------------------- 
Môn: TOÁN, Khối A 
(Đáp án – thang điểm gồm 4 trang) 
Câu Ý Nội dung Điểm 
I 2,0 
I.1 1,0 
1 1 1m y x
4 4 x
= ⇒ = + . 
a) TXĐ: \\{0}. 
b) Sự biến thiên: 
2
2 2
1 1 x 4y '
4 x 4x
−= − = , y ' 0 x 2, x 2.= ⇔ = − = 
0,25 
yCĐ ( ) ( )CTy 2 1, y y 2 1.= − = − = = 
Đường thẳng x 0= là tiệm cận đứng. 
Đường thẳng 
1y x
4
= là tiệm cận xiên. 
0,25 
c) B