Bất đẳng thức Côsi và ứng dụng - Huỳnh Văn Khánh

xảy ra khi 1
3
a b c    
Nhận xét: Bài toán trên là một trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát sau: 
“Cho n số thực dương 1 2, ,..., na a a và 
1
1
n
i
i
a

 . Khi đó, ta có: 
1 2
1 21 1 1 1
n
n
a a a n
a a a n
     
   
” 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 8 
 BĐT này được chứng minh theo cách của bài toán trên kết hợp với việc sử 
dụng BĐT (III). 
 Bài toán 1.7: Cho ba số dương a, b, c sao cho 2 2 2 3a b c   . Chứng minh 
rằng: 
1 1 1 3
1 1 1 2ab bc ca
  
  
 Giải. Ta có 2 2 2 3.ab bc ca a b c      Áp dụng BĐT (II), ta có: 
2 2 2
1 1 1 9 9 9 3
1 1 1 3 3 3 3 2ab bc ca ab bc ca a b c
     
         
 Bất đửng thức được chứng minh. 
 Bài toán 1.8: Cho x, y, z là ba số dương và 1x y z   . Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
1 1 1 82x y z
x y z
      
Giải. Trước hết ta có 
2
2 1 1 1( )VT x y z
x y z
 
      
 
(Hd: Sử dụng pp 
véctơ) 
Do đó 
2 2
2 2 2 2
2
1 1 1 1 1 1( ) 81( ) 80( )
1 1 118( ) 80( ) 162 80 82
VT x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
x y z
   
                 
   
 
           
 
Suy ra 82VT  . Đẳng thức xảy ra khi 1
3
x y z    
 Bài toán 1.9: Cho , , 0a b c  và 1.a b c   Chứng minh rằng: 
2 2 2
1 1 1 1 30.
a b c ab bc ca
   
 
 Giải. Áp dụng BĐT (II), ta có: 1 1 1 9 .
ab bc ca ab bc ca
  
 
Suy ra 
2 2 2
2 2 2
1 9
1 1 1 7
VT
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca
 
   
   
       
Mặt khác, ta có: 21 1 7( ) 21
3 3
ab bc ca a b c
ab bc ca
       
 
Tiếp tục áp dụng BĐT (II), ta có: 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 9 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 9
2( )
1 1 1 9 9
( )
a b c ab bc ca ab bc ca a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca a b c
  
          
    
       
Do đó 9 21 30VT    . Đẳng thức xảy ra 1
3
a b c     
II. Một số kỹ thuật sử dụng BĐT Côsi trong chứng minh BĐT. 
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng các BĐT có điều kiện. 
 Bài toán 2.1: Cho a, là các số dương sao cho 1.a b  Chứng minh các bất 
đẳng thức sau: 
a) 2 2 1
2
a b  , b) 4 4 1
8
a b  , c) 8 8 1
128
a b  
 Giải. Các BĐT này có thể chứng minh như sau: 
a) Áp dụng BĐT (2), ta có: 
2
2 2 ( ) 1
2 2
a ba b    
b) Áp dụng BĐT (2) hai lần liên tiếp, ta có: 
22
2 2 2
4 4
( )
( ) 12
2 2 8
a b
a ba b
 
       
c) Áp dụng BĐT ở b), ta có: 
 
2
24 4
8 8
1
18
2 2 128
a b
a b
 
       
Nhận xét: 
 Các BĐT là những trường hợp riêng của BĐT tổng quát sau: 
 “Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 
2 2
2 1
1
2
n n
na b   , với mọi 
*n ” 
 BĐT này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo n. 
 Nếu thay giả thiết 1a b  bằng giả thiết a b   , ta có các BĐT sau: 
a’) 
2
2 2
2
a b   b’) 
4
4 4
8
a b   c’) 
8
8 8
128
a b   
Và, ta cũng có BĐT tổng quát sau: 
2
2 2
2 12
n
n n
na b


  
 Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trường 
hợp số mũ của a và b là số chẵn. Bây giờ, cho a và b là các số dương thỏa 
1a b  , ta hãy xét các BĐT sau: 
a) 3 3 1
4
a b  b) 5 5 1
16
a b  c) 9 9 1
256
a b  
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 10 
Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra 
khi và chỉ khi .a b Do đó nếu 1a b  thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi 
1
2
a b  . Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau: 
a) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 
3 3
3
3 3
3 3
3 3
3
3
3 3
1 1 13 .
2 2 4 1 3 14 ( ) 6.
2 4 21 1 13 .
2 2 4
1 12
2 4
a a
a b a b
b b
a b
         
                 
                 
     
 
Đẳng thức xảy ra 1
2
a b    
b) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 
5 5 5 5 4
5
5 4
5 5
5 5 5 5 4
5
5 5 5
5 5 5 5
1 1 1 1 15 .
2 2 2 2 2 1 18. 5( )
2 21 1 1 1 15 .
2 2 2 2 2
1 1 18. 10. 2
2 2 2
a a
a b a b
b b
a b a b
                       
                      
                                     
                 
     
1
16
Đẳng thức xảy ra 1
2
a b   . 
c) Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 
99 8
9
9 8
8 9 9
99 8
9
8
9 9 9
9 9 9 9
1 1 19 .
2 2 2
1 116. 9( )
2 21 1 19 .
2 2 2
1 1 1 116. 18. 2
2 2 2 256
ht
ht
a a
a b a b
b b
a b a b
                 
      
            
                    
      

                 
     


Đẳng thức xảy ra 1
2
a b    
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 11 
Tổng quát: Ta có bài toán sau: “Cho a và b là hai số thực dương và a b   . Khi 
đó ta có *1 1
( ) . Hay , .
2 2
n n
n n n n
n n
a ba b a b n
 

      Đẳng thức xảy ra 
2
a b    ” 
 Chứng minh. 
1
1
( 1)
1
( 1)
.
2 2 2
2( 1). ( )
2 2
.
2 2 2
2( 1). 2 .
2 2
nn n
n
n n
n ht n n
nn n
n
n ht
n n
n n n
a na
a b n n a b
b nb
a b n n a
  
 
  
 





                 
      
             
                          

            
   


12 2 2
n n
n
nb
 

   
 
 Bây giờ ta thử tăng thêm một biến ở vế trái. Khi đó 
với , , 0; .a b c a b c     
Ta hãy xét cá BĐT sau: 
a) 2 2 2a b c A   b) 3 3 3a b c B   c) n n na b c N   
Với kĩ thuật tương tự như trên ta hoàn toàn có thể chỉ ra được 
2
3
1
3
9
3
n
n
A
B
N







 




 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn: 
Bài toán: Cho k số thực dương 1 2, ,..., ka a a thỏa 1 2 .ka a a       Chứng 
minh rằng: 1 2 1
n
n n n
k na a a k


      . Hay 
1 2 1 2
nn n n
k na a a a a a
k k
              
 
với mọi *.n Đẳng thức xảy ra khi 
nào? 
Chứng minh. 
Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 12 
1
1 1
( 1)
1
2 2
( 1)
1
( 1)
.
.
.
n n n
n
n ht
n n n
n
n ht
n n n
n
k k
n ht
a na
k k k
a na
k k k
a na
k k k
  
  
  






                 
      

                        

         

                       




1
1 1
1 2 1
1 1
( 1). .
( 1).
n nk k
n
i i
i i
n n n nk k
n n n n n
i i k n
i i
a k n n a
k k
a k n kn a a a a k
k k k k
 
   

 

 
         
   

                      
     
 
 
Hay 
*1 2 1 2 , .
n nn n n
k ka a a a a a n
k k k
                   
   
 (IV) 
Đẳng thức xảy ra 1 2 ka a a k

       . 
BĐT (IV) được sử dụng rất nhiều trong chứng minh các BĐT. 
2. Kĩ thuật tách-ghép Côsi. 
 Bài toán 2.2: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a c
 
  
  
 Giải. Áp dụng BĐT Côsi, ta có: 
2 2
2 .
4 4
a b c a b c a
b c b c
 
   
 
 Tương tự, ta có: 
2 2
& .
4 4
b c a c a bb c
c a a b
 
   
 
 Cộng các BĐT trên ta được: 
2 2 2
2 2 2
2
2
a b c a b c a b c
b c c a a c
a b c a b c
b c c a a c
 
     
  
 
   
  
 Đẳng thức xảy ra .a b c   
Nhận xét: 
 Trong bài toán trên, tại sao chúng ta lại ghép 
2
?
4
a b c
b c



 Mục đích của 
việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì VP của BĐT là một biểu thức 
Chuyeân ñeà “Baát ñaúng thöùc Coâsi vaø öùng duïng” 
MSM Huyønh Vaên Khaùnh – THPT ÑaêkMil – ÑaêkNoâng Trang 13 
không chứa biến ở mẫu. Nhưng tại sao lại ghép 
2a
b c
 với 
4
b c chứ không 
phải là hay
2
b cb c  ,điều này xuất phát từ điều kiện để BĐT xảy ra đó 
là .a b c  
 Nếu 1abc  thì 3a b c   nên BĐT trở thành 
2 2 2 3
2
a b c
b c c a a c
  
  
 Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng minh BĐT. 
 Bài toán 2.3: Cho , , 0 & 1.a b c abc  Chứng minh rằng 
3 3 3 3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4
a b c
a b b c c a
  
     
 Giải. Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có: 
3 3
3
1 1 1 1 33
( 1)( 1) 8 8 ( 1)( 1) 8 8 4
a a b a a b a
a b a b
   
   
   
 Tương tự ta có: 
3 1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
b b c b
b c
 
  
 
 và 
3 1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
c c a c
c a
 
  
 
 Cộng ba BĐT ta được: 
3 3 3
3 3 3 3
3 3 ( )
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4
2( ) 3 2.3 3 3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 4 4 4
a b c a b c a b c
a b b c c a
a b c a b c abc
a b b c c a
  
     
     
   
     
     
Đẳng thức xảy ra .a b c   
 Bài toán 2.4: Cho , , 0.a b c  Chứng minh rằng: 
4 4 4
2 2 2( ) ( ) ( ) 2
a b c a b c
b c a c a b a b c
 
  
  
Giải. Áp dụng BĐT Côsi ta cho bốn số dương ta có: 
4 4
4
2 2
4 2
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
a b b c a a b b c a a
b c a b c a
 
       
 
Tương tự, ta có: 
4 4
4
2 2
4 4
4
2 2
4 2 ;
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
4 2 .
( ) 2 2 4 ( ) 2 2 4
b c c a b b c c a b b
c a b c a b
c a a b c c a a b c c
a b c a b c
 
       
 
 
       
 
Cộng các BĐT trên ta được: 
2( )
2 2
a b c a b cVT