Bài tập Tích phân - Nguyễn Thanh Trung

 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 1 1/23/2010 
TÍCH PHÂN : 
1. Định nghĩa: 
Giả sử f(x) là 1 hàm số liên tục trên 1 khoảng K ,a và b là hai phần tử bất kỳ 
của K .F(x) là 1 nguyên hàm của f(x) trên K. 
Hiệu số F(b)-F(a) gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và kí hiệu : 
b
b
a
a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)   
2. Tính chất: 
1. 
a
f(x)dx 0
a
 
2. 
b a
f(x)dx f(x)dx
a b
   
3. 
b b
kf(x)dx k f(x)dx
a a
  
4. 
b b
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx
a a
    
5. 
b c b
f(x)dx f(x)dx f(x)dx
a a c
    
6. f(x) 0 trên đoạn [a;b] 
b
a
f(x) 0  
7. f(x) g(x) trên đoạn [a;b]
b b
a a
f(x) g(x)   
8. m f(x) M  trên đoạn [a;b]
b
a
m(a b) f(x) M(a b)     
Ta luôn có : 
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du...    
Bài tập: 
1. Tính các tích phân: 
a) 
2
2
1
x dx b) 
e
1
dx
x c) 
2
2
1
dx
x
 d)
4
1
xdx 
2. Tính các tích phân: 
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 2 1/23/2010 
a) 
4
2
4
1( 3cosx)dx
cos x



 b) 
4
2
0
sin ( x)dx
4


 
c) 
4
2
0
cos ( x)dx
4


 d ) 
2
2
cos5xcos3xdx



 
3. Chứng minh rằng: 
a) 
1 2
0
4 x 51 dx
2 2

  b )
1
2
0
dx
4 23 2sin x
 
 

4. Tính các tích phân: 
a) 
3
3
x 2 dx

 b) 
2
2
2
x 1 dx

 c)  
3
2
x 1 x 2 dx

   
5. Tính các tích phân: 
a) 
2
2
0
min(x 3x 1;x 2)dx   b) 
2
2
0
Max(x 3x 1;x 2)dx   
1. Ph­¬ng ph¸p ®æi biÕn sè. 
 a) Đổi biến dạng 1 : 
b
a
f(x)dx 
Đặt x (t)  , (t) là hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]  với: 
a ( );b ( )      . Khi đó ta có: 


   
b
a
f(x)dx f[ (t)] '(t)dt 
Các dạng cơ bản: (k>0) 
1. 
b
2
a
1 x dx Đặt x sin t, t [ ; ]2 2
 
   
2. 
b
2
a
dx
1 x
 Đặt x sin t, t ( ; )2 2
 
   
3. 
b
2
a
dx
x 1
 Đặt x tan t, t ( ; )
2 2
 
   
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 3 1/23/2010 
4. 
b
2
a
dx
( x ) k  
 Đặt x k tan t, t ( ; )
2 2
 
     
 Ví dụ:  
1 2
0
A 1 x dx 
 Đặt x sin t với      
t ;
2 2
. . Khi x=0  t=0; khi x =1 t=
2

 Ta cã: 2 2 21 x 1 sin t cos t cos t     và t 0;
2
    
 Và dx = cost.dt. Do đó 
  
     
1 2 2 2 2
0 0 0
1 cos2t
A 1 x dx cos t.dt dt
2
 20
1 1
t sin 2t
2 2 4
     
 
. 
1. Tính các tích phân: 
a) 
1 2
0
4 x dx b) 
1
2
2
0
dx
1 x
 c) 
1
2
0
dx
4 x
 
d) 
1
2
0
dx
x 1
 e) 
2 3
2
0
dx
x 4
 f) 
0
2
1
dx
x 2x 2  
 
b) Đổi biến dạng 2 
b
a
f[ (x)] '(x)dx  
Đặt t (x)  , Ta có: 
(b)b
a (a)
f[ (x)] '(x)dx f(t)dt


    
Ví dụ: Tính   
1
0
B 5x 3 dx 
Đặt t = 5x+3 1dt=5dx dx= dt
5
  .Khi x 0 t 3
x 1 t 8
   

  
      
88
1 2
0
3 3
1 1 55
B 5x 3 dx tdt t
5 10 10
Hay          
11
1 2
0
00
1 1 55
B 5x 3 dx (5x 3)d(5x 3) (5x 3)
5 10 10
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 4 1/23/2010 
1. Tính các tích phân: 
a) 
1
0
dx
2x 1 b)
1
2
0
2x 1 dx
x x 1

 
 c) 
1 x
x
0
e dx
e 1
 d) 
4
0
tan xdx

 e) 
2
4
cot xdx


 f)
6
0
s inx dx
1 cos3x

 
2. Tính các tích phân: 
a) 
e
1
ln x dx
x b) 
e 3
1
ln x dx
x c) 
2e
e
dx
x ln x 
d) 
e
1
sin(ln x) dx
x e) 
e
1
ln x dx
x 1 ln x
 f) 
3
2
e
e
dx
x ln x ln(ln x) 
g)
e
1
lnex dx
1 ln x h) 
e
2
1
dx
x cos (1 ln x)
 i) 
e
1
dx
x(1 ln x) 
3. Tính các tích phân: 
a) cosx
0
e .sinxdx

 b) 
2
1
x
0
xe dx c) 
x x2
x x
0
e e dx
e e





d) 
1
x
0
dx
e 1
 e) 
tan x
2
0
e dx
cos x

 f) 
1 x
x
0
e dx
e 1
4. Tính các tích phân: 
a) 
1
2
0
x x 1dx b) 
1
3 2
0
x x 1dx c) 
1
0
x x 1dx 
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 5 1/23/2010 
Tính 


   
 
2
3
3
2
C cos 3x dx
3
Bµi sè 1. Tính 
14
1 2 0 26
dx
a) I cot gxdx; b) I
4 x


 

  
H­íng dÉn gi¶i. 
a) Có 4 41
6 6
cosx
I cot gxdx dx
sin x
 
 
   
Đặt sinx = t  dt = cosxdx 
 
22
22
1 1 1
2 2
21x t ; x t6 2 4 2
dt 2 1 1
I ln t ln ln ln 2
t 2 2 2
      
     
b) Đặt x 2sin t, t ;
2 2
  
    
x = 0 t = 0; x=1  t
6

 
 Đặt x = 2sint víi 0 t dx 2 cos tdt
6

    
Có 2 2 24 x 4 4sin t 4 cos t 2 cos t     
(Vì 0 t c os t 0
6

    ) 
 6 6 62 00 0
2 cos tdt
I dt t
2 cos t 6
   
     
Bµi sè 2 Tính các tích phân 
xe 4
1 21 1
1 ln x e
a) I dx; b) I dx
x x

   
H­íng dÉn gi¶i. 
a) Đặt t = 1+lnx  
1
dt dx
x
 ; 
x = 1  t = 1;x=e t = 2. 
 
2
e 2 2 1 3
2 2
1 1 1 1
1
1 ln x 2 2
I dx tdt t dt t 2 2 1
x 3 3

         b) §Æt 
x x 21t e dt .e dx;x 1 t e, x 4 t e
2 x
         
2 2e e 2
2 ee
I 2dt 2t 2e 2e     
Bµi sè 3. Tính các tích phân 
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 6 1/23/2010 
1 1
1 22 20 0
3x 2 2xdx
a) J dx;b) J
x 5x 6 x 4

 
    
H­íng dÉn gi¶i. 
a) 
2
1
1 1
1 0 0
0
3x 2 A B
3x 2 (A B)x B 6A
x 5x 6 x 1 x 6
1AA B 3 7
B 6A 2 20B 7
dx 20dx 1 20
J ln x 1 ln x 6
7(x 1) 7(x 6) 7 7
1 20 10
ln 2 ln 5 ln 6
7 7 7

       
   
   
  
  
 
          
  
 
b) Tương tự ta phân tích 
2
2x 1 1
x 4 x 2 x 2
 
  
Do đó :    
1 11 1
2 0 0 0 0
dx dx
J ln x 2 ln x 2 ln3
x 2 x 2
      
   
2. Ph­¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn. 
Định lí : Nếu u=u(x) và v=v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên[a ;b] thì 
 
b bb
aa a
u(x).v '(x)dx u(x).v(x) v(x).u '(x)dx   
Hay  
b bb
aa a
u(x)dv u(x).v(x) v(x)du   
Tính  
1
30
ln x
A dx
x
. 
Đặt
3
2
dx
u ln x du
x
dx
1dv
vx
2x
   
 
    
Do đó:
     
  
2
2 2
3 2 31 1
1
ln x ln x 1 dx
A dx
x 2x 2 x
= 
2
2
1
ln 2 1 1 ln 2 1 1 1 1 3 ln 2
. .
8 2 2x 8 2 8 2 2 16 8
          
 
Tính 

  20B x.cosxdx 
Đặt
u x du dx
dv cos xdx v sin x
  
 
  
  
  
      22 200 0B x.sin x sin xdx cosx 12 2 
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 7 1/23/2010 
Tính  
1 x
0
C xe dx 
Đặt 
x x
u x du dx
dv e dx v e
  
 
  
           
1 11 1x x x x
000 0
C xe e dx x.e e e (e 1) 1. 
Tính  
1 x
0
D xe dx 
Đặt 
x x
u x du dx
dv e dx v e 
  
 
   
            
11 1 1x x x x
0 0 00
2
D ( xe ) e dx ( xe ) ( e ) 1
e
Tính  
e
1
E ln xdx . 
Đặt 
1
u ln x du dx
x
dv dx
v x
  
 
  
        
ee e e
1 1 11
E (x ln x) dx (x ln x) x e (e 1) 1 
Tính 

  20F (2x 1) cosxdx 
HD 
u 2x 1 du 2dx
dv cosxdx v sin x
   
 
  
Phương pháp tích phân từng phần 
Bµi sè 1. Tính 2 61 20 0a) I (x 1) cos xdx; b) I (2 x)sin3xdx
 
     
H­íng dÉn gi¶i. 
a Đặt 
u x 1 du dx
dv cos xdx v sin x
   
 
  
 
 
22
1 0 0
2 2
00
I (x 1)sin x sin xdx
(x 1)sin x cos x 1 1
2 2

 
   
 
      

b) Đặt 
du dx
u 2 x
cos3x
dv sin3xdx v
3
   
 
   
 
6
6
2 0
0
6 6
00
1 1
I (x 3) cos3x cos3xdx
3 3
1 1 1 1 5
(x 2)cos3x sin3x 2.
3 9 3 9 9


 
 
     
     

 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 8 1/23/2010 
Bµi sè 2. Tính 
 


 
  
 
 
e 22 x
1 21 1
5 1 2 x
3 42 0
a) I e cosxdx; b) I ln x dx
c) I 2x ln(x 1)dx; d) I x e dx
H­íng dÉn gi¶i. 
a) Đặt 
x xu e du e dx
dv cos xdx v sin x
  
 
  
  2 2 2x x x21 0 00I e sin x e sin xdx e e sin xdx
  
      
Đặt 
x x
1
1
u e du e dx
dv sin xdx v cos x
  
 
   
  22 2x x x 10 00e sin xdx e cos x e cos xdx 1 I
 
       
 Ta cã:  
2
2
1 1 1
e 1
I e 1 I I
2

 
     
b) Đặt  
2 2 ln xdx
duu ln x
x
dv dx v x
  
 
  
 
e e e2
2 1 11
I x ln x 2 ln xdx e 2 ln xdx      
Ta đã tính được 
e
21
ln xdx 1 I e 2    
c) Đặt 
dx
u ln(x 1) du
x 1
dv 2xdx
v x
   
  
  
5 52
3 22
5
2
2
I (x 1) ln(x 1) (x 1)dx
x 27
48ln 2 x 48 ln 2
2 2
       
 
     
 

d) Đặt 
2
xx
du 2xdxu x
v edv e dx 
  
 
  
 
1 1 12 x x 1 x
4 0 00
I x e 2 xe dx e 2 xe dx           
Đặt 1 1
x x
1 1
u x du dx
dv e dx v e 
   
 
    
 
11 1 1x x x 1 x 1
00 00
1
4
xe dx xe e dx e e 1 2e
I 2 5e
     

        
  
  
 Tích phân 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 9 1/23/2010