Ôn tập Tốt nghiệp môn Toán 2011 - Dương Phước Sang

;1;4), (1; 2; 1)A K D− − − . 
b) (α) đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD, biết 
(1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)A B C D− − 
c) (α) là mp trung trực của đoạn MN, với (2; 3;1), ( 4;1;5)M N − 
Bài giải 
Câu a: Điểm trên (α): (0;1;2)A 
Hai véctơ: ( 3;0;2)AK = −

(4; 3; 5)KD = − −

 vtpt của (α): 
0 2 2 3 3 0
[ . ] ; ; (6; 7;9)
3 5 5 4 4 3
n AK KD
 − −  = = = − − − − −  
 
 PTTQ của (α): 
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 
6 7( 1) 9( 2) 0
6 7 9 11 0
x y z
x y z
⇔ − − + − =
⇔ − + − =
Câu b: Điểm trên (α): (1;1;1)A 
Hai véctơ: (1;0;1)AB =

(3; 1; 3)CD = − −

 vtpt của (α): 
 0 1 1 1 1 0
[ . ] ; ; (1;6; 1)
1 3 3 3 3 1
n ABCD
  = = = −  − − − −  
 
 PTTQ của (α): 
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 
1( 1) 6( 1) 1( 1) 0
1 6 6 1 0
6 6 0
x y z
x y z
x y z
⇔ − + − − − =
⇔ − + − − + =
⇔ + − − =
Câu c: Điểm trên (α): ( 1;2;3)I − là trung điểm đoạn MN 
 vtpt của (α): ( 6; 2; 4)n MN= = − −

 PTTQ của (α): 0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z− + − + − = 
Đáp số: 3 2 7 0x y z+ − + = 
Dương Phước Sang - 15 - THPT Chu Văn An 
Bài 30 : Cho hàm số: 
2 1
1
x
y
x
+
=
+
 có đồ thị là ( )C . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Lập phương trình tiếp tuyến với ( )C , biết tiếp tuyến đó song 
song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất. 
c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 3− . 
d) Tìm m để 1y mx= + cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt. 
Bài 31 : Cho hàm số: 
2 1
2
x
y
x
−
=
−
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 
b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 
3
4
− 
c) CMR, với mọi giá trị của m , đường thẳng y x m= − luôn cắt 
đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt. 
Bài 32 : Cho hàm số: 
3
1
y
x
=
+
 có đồ thị là ( )C . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C trục hoành và hai 
đường thẳng 0, 2x x= = . 
c) Viết pttt của đồ thị ( )C tại các giao điểm của ( )C với đường 
thẳng : 2 1d y x= − 
d) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với 
3
4
y x=− 
Bài 33 :Cho hàm số: 
3
2
1
y
x
= +
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành. 
c) Tìm m để d: y x m= − + cắt ( )C tại hai điểm phân biệt. 
Bài 34 :Cho hàm số: 
1
1
x
y
x
− +
=
+
 có đồ thị ( )C . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. 
b) Tìm điểm M trên trục hoành mà tiếp tuyến đi qua M song song 
với đường thẳng d: y = – 2x 
Tài liệu tham khảo - 16 - Ôn tập môn Toán 
Bài 35 :Cho hàm số: 
2
3
x
y
x
+
=
−
 có đồ thị ( )C . 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hoành độ bằng 1. 
c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 
3
2
− 
d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hsg bằng 
5
4
− 
Bài 36 : Cho hàm số: 
2
1
x
y
x
−
=
+
 ( )C 
a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với : 2 3d y x= − . 
c) Viết pttt của ( )C vuông góc với 
1
: 2011
2
y x∆ = + 
d) Tìm m để đ.thẳng d: 2y mx= + cắt cả hai nhánh của ( )H . 
Bài 37 : Cho hàm số: 
2 3
1
x
y
x
−
=
−
 có đồ thị là ( )C . 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số. 
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và hai trục toạ độ. 
c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng: 
3y x=− + và tiếp xúc với đồ thị ( )C 
4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài 38 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây 
a) 3 2( ) 2 3 12 10f x x x x= − − + trên đoạn [3; – 3] 
b) 5 4 3( ) 5 5 1f x x x x= − + + trên đoạn [–1; 2] 
c) 2( ) ( 2 ) xf x x x e= − trên đoạn [0; 3] 
d) 2( ) ln(1 2 )f x x x= − − trên đoạn [ 2;0]− 
e) ( ) 2 ln( 1) 3 ln 2f x x x x= − + − trên đoạn [2;4] 
f) 3 2( ) 6 9f x x x x= − + trên đoạn [0; 4] 
g) 
2 1
( )
3
x
f x
x
−
=
−
 trên đoạn [0; 2] 
h) 3 2( ) 3 9 2f x x x x= − + + + trên đoạn [–2; 2] 
Dương Phước Sang - 53 - THPT Chu Văn An 
Bài 2 : Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và ( ) : 2 2 1 0P x y z− + + = 
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A 
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC. 
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P 
d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Bài giải 
Câu a: Tâm mc: B(2;1;2) 
 Bán kính mc: 2 2 2(2 1) (1 3) (2 1) 6R AB= = − + − + − = 
 Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = 
2 2 2( 2) ( 1) ( 2) 6x y z⇔ − + − + − = 
Câu b: Tâm mc: ( )1 232; ;I − (là trung điểm của đoạn thẳng BC). 
 Bán kính mc: 
69
2 2
BC
R = = 
(do 2 2 2(0 2) (2 1) ( 6 2) 69BC = − + − + − − = ) 
 Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = 
( )22 23 692 4( 1) ( 2)x y z⇔ − + − + + = 
Câu c: Tâm mc: C(0;2; –6). 
 Bán kính mc: 
2 2 2
0 2.2 2( 6) 1 15
( ,( )) 5
31 ( 2) 2
R d C P
− + − +
= = = =
+ − +
 Phương trình mặt cầu: 2 2 2 2( ) ( ) ( )x a y b z c R− + − + − = 
2 2 2( 2) ( 6) 25x y z⇔ + − + + = 
Câu d: (Câu này sử dụng phương trình mặt cầu – dạng 2) 
 Giả sử phương trình mặt cầu ( )S cần tìm là: 
2 2 2( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cx d+ + − − − + = 
 Do ( )S qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) nên d = 0 và 
2 2 2 9
2
2 2 2 13
10
2 2 2 29
10
1 3 1 2 6 2 0 2 6 2 11
2 1 2 4 2 4 0 4 2 4 9
4 12 400 2 ( 6) 4 12 0
a b c aa b c
a b c a b c b
b c cb c
  + + − − − =  =+ + =   + + − − − = ⇔ + + = ⇔ =    − = = −+ + − − + =  
 Vậy, 2 2 2
13 29
( ) : 9 0
5 5
S x y z x y x+ + − − + = 
Tài liệu tham khảo - 52 - Ôn tập môn Toán 
II. BÀI TẬP MINH HOẠ 
Bài 1 : Cho hình hộp .ABCDA B C D′ ′ ′ ′ thoả mãn 
 (2;1; 3) , 4 3 2 , (2; 7;1)OA OB i j k BC= − = + − = −
   
 và (4;1; 7)A′ − 
a) CMR, A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vuông. 
b) CMR, ( )AA ABC′ ⊥ . 
c) Tính thể tích khối hình hộp đã cho. 
d) Xác định các đỉnh còn lại của hình hộp .ABCDA B C D′ ′ ′ ′ . 
Bài giải 
Từ giả thiết ta có (2;1; 3), (4;3; 2), (6; 4; 1), (4;1; 7)A B C A′− − − − − 
Câu a: Ta có, 
(2;2;1)
. 0
(4; 5;2)
AB
AB AC AB AC
AC
 = ⇒ = = ⇒ ⊥ = −

 
  
 Vậy, ABC là tam giác vuông tại A. 
Câu b:  Ta có, (2;0; 4)AA′ = −

 Và (2;2;1), (4; 5;2)AB AC= = −
 
 Do đó, 
. 2.2 0.2 4.1 0
. 2.4 0.( 5) 4.2 0
AA AB
AA AC
 ′ = + − = ′ = + − − =
 
  
( )
AA AB
AA ABC
AA AC
 ′ ⊥ ′⇒ ⇒ ⊥ ′ ⊥
Câu c: Ta có, 
2 2 2
2 2 2
2 2 1 3
4 ( 5) 2 3 5
AB AB
AC AC
 = = + + = = = + − + =

 
 2 . 3.3 5 9 5
ABCD ABC
S S AB AC∆= = = = =B 
 2 2 22 0 ( 4) 2 5h AA AA′ ′= = = + + − =

 Vậy, h.hoäp 9 5.2 5 90V h = == B. 
Câu d: ABCD là hbh ( 2; 1; 3) (2; 7;1)
D D D
AD BC x y z⇔ = ⇔ − − + = −
 
2 2 4
1 7 6. (4; 6; 2)
3 1 2
D D
D D
D D
x x
y y D
z z
  − = =   ⇔ − = − ⇔ =− − −   + = = −   
. 
 Tương tự, (6; 3; 6)B ′ − , (6; 6; 6)D ′ − − , (8; 4; 5)C ′ − − 
Dương Phước Sang - 17 - THPT Chu Văn An 
i) 3 2( ) 3 4f x x x= − − trên đoạn 1
2
; 3   
j) 2( ) 25f x x= − trên đoạn [– 4 ; 4] 
k) 
4
( ) 1
2
f x x
x
= − + −
+
 trên đoạn [– 1; 2] 
l) 
2ln
( )
x
f x
x
= trên đoạn 31;e   
m) 
ln
( )
x
f x
x
= trên đoạn 2;
2
e
e
 
 
 
 
n) 3
4
( ) 2 sin sin
3
f x x x= − trên đoạn 0;pi    
o) ( ) cos (1 sin )f x x x= + trên đoạn 0;2pi    
p 2( ) (3 ) 1f x x x= − + trên đoạn [0; 2] 
q) ( ) 2 sin sin 2f x x x= + trên đoạn [ ]
3
0;
2
pi
r) 2( ) 4f x x x= + − 
s) 2( ) 2 5f x x x= + − 
t) ( ) cos2 sin 3f x x x= − + 
u) 3 2( ) 2 sin 3 sin sinf x x x x= − − 
v) 2( ) 2 sin 3 cos 2f x x x= − − 
Tài liệu tham khảo - 18 - Ôn tập môn Toán 
Phn II. PHNG TRÌNH – BT PHNG TRÌNH M – LÔGARIT 
I. TÓM TẮT CÔNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 
1. Nhắc lại về công thức luỹ thừa 
 Cho a > 0, b > 0 và m,n ∈ R. Khi đó, 
( ) 
.
1 1
n
m n m n m mn
mm
nm n m n
n
n n
n n
a a a a a
a
a a a
a
a a
a a
+
−
−
−
= =
= =
= =
i i
i i
i i
( ) .n n n
n n
n
n n
ab a b
a a
b b
a b
b a
−
=
   =  
      =      
i
i
i
 m na a m n= ⇔ = (với a > 0) 
 Nếu a > 1 thì m na a m n> ⇔ > (hàm số mũ xy a= ĐB) 
 Nếu 0 ⇔ < (hàm số mũ xy a= NB) 
2. Nhắc lại về công thức lôgarit 
 Với các ĐK đảm bảo các biểu thức bên dưới có nghĩa, ta có 
 log x
a
b x a b= ⇔ =  log 1 0
a
= 
 log 1
a
a =  log ( )
a
aα α= 
 loga ba b=  log ( ) . log
a a
b bα α= 
 
1
log log
aa
b b
α
α
= ⋅  log ( ) logn
m
aa
m
b b
n
= ⋅ 
 .log ( ) log log
a a a
m n m n= +  log log log
a a a
m
m n
n
   = −  
 
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=  
1
log
loga
b
b
a
= 
 log log 0
a a
m n m n= ⇔ = > (với 0 1a< ≠ ) 
 Nếu a > 1 thì log log 0
a a
m n m n> ⇔ > > (hàm số lôgarit ĐB) 
 Nếu 0 < a < 1 thì log log 0
a a
m n m n> ⇔ < < (h.số lôgarit NB) 
Dương Phước Sang - 51 - THPT Chu Văn An 
 ☺ d song song với mp (P) và vuông góc với 
 đường thẳng ∆ thì d vuông góc với giá 
 của 2 véctơ 
P
n

 và u∆

 nên d có vtcp 
 [ ],
P
u n u∆=
  
13. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng 
 Cho đường thẳng d qua 
0 0 0 0
( ; ; ),M x y z có vtcp ( ; ; )u a b c=

 và đường thẳng d ′ qua 
0 0 0 0( ; ; ),M x y z′ ′ ′ ′ có vtcp ( ; ; )u a b c′ ′ ′ ′=

 Tính [ ],n u u ′=
  
  Nếu 0n =

 thì u

 và u ′

 cùng phương với nhau. Ta tiếp tục xét sự 
 phụ thuộc của điểm 
0
M đối với đường thẳng d ′ . Cụ thể: 
 d và d′ song song nhau d và d′ trùng nhau 
0
0n
d d
M d
 =′ ⇔  ′ ∉

 
0
0n
d d
M d
 =′≡ ⇔  ′ ∈

  Nếu 0n ≠

 thì u

 và u ′

 không cùng phương với nhau. Ta tiếp tục 
 tính 
0 0
.n M M ′