Bài tập Ôn thi Tốt nghiệp THPT và Đại học môn Giải tích

 tiếp xúc (Cm) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
	Û (3x+m)2=0 Û x= -
	Vậy d1:y=9x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= - (m ¹ 0).
Tương tự : d2:y=x+1 tiếp xúc (Cm) tại điểm có hoành độ x= m (m ¹ 0).
104) Chứng tỏ rằng (Cm): y=mx3-3(m+1)x2+x+1 luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
Hướng dẫn giải: Tìm được (Cm) đi qua hai điểm cố định A(0;1) và B(3;-23) và tiếp tuyến của (Cm) tại A có phương trình y=x+1 là tiếp tuyến cố định.
105) Chứng tỏ rằng (dm): y=(m+1)x+m2-m luôn tiếp xúc với một parabol cố định.
Hướng dẫn giải: Dùng phương pháp 1, dự đoán (P):y= là parabol cố định và chứng tỏ (dm) tiếp xúc (P) tại x=1-2m.
VIII.TÍCH PHÂN
106) Cho f(x)=, tìm A, B và C sao cho:
	 f(x)= .	Kq: A= -1; B=3 và C=1
	2) Từ đó tính 
107) Tính 
108) Tính 
109) Tính 
110) Tìm A, B , C để sinx-cosx+1= A(sinx+2cosx+3)+B(cosx-2sinx) +C	 
Kq: A=; B= và C=
111) Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 
Hàm số
Kết quả
Hàm số 
Kết quả
a) y=
b) y=2
+C
x-sinx+C
c) y=
d) y=
tgx-cotgx+C
sinx+cosx+C
112) Tìm nguyên hàm F(x) của f(x)= x3-x2+2x-1 biết rằng F(0) = 4.
Kết quả: F(x) =+x2-x+4
113) Tính đạo hàm của F(x) = x. l nx-x , rồi suy ra nguyên hàm của f(x)= l nx.
	Kết quả: F(x) = x. l nx-x+C
114) Tìm A và B sao cho với mọi x¹ 1 và x¹2 , ta có: Từ đó, hãy tìm họ nguyên hàm của hàm số: 
	Kết quả:	A=3; B= -2. F(x) = 3 l n½x-2½-2 l n½x-1½+ C= l n +C
115) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
Tích phân
Kết quả
a)
b) 
c) 
l n½sinx½+C
-cotgx-x+C
sin3x+C
d) 
e).sinxdx
f) 
l n½ l n x½+C
+C
l n½½+C
116) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
Tích phân
Kết quả
a)
b)
c)
d)
1
12
4
e)
f)
g)
117) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
Tích phân
Kết quả
a)
b)
c)
d) 
e)
f)
ln2
2ln3
ln
ln
g)
h)
i)
j)
k)
ln2
ln(+1)
0
Giáo trình Giải tích 12 - Trang 16 - Soạn cho lớp LTĐH 
118) Chứng minh rằng:
	a) 	b) 
119) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
a) 
b)
c) 
d)
e)
f)
g)
h)
k) 
l)
120) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
m)
n)
o)
p)
q)dx
r)
s)
t)
u)
v)
w) 
Nhân tử số và mẫu số cho x.Kq:
x=sint. Kq:
TS+ex-ex.Kq:l n
1
1
121) Tính các tích phân:
Tích phân
Kết quả
Tích phân
Kết quả
a) 
b)
c) 
d) 
1
Tích phân
Kết quả
Tích phân
Kết quả
e) 
f) 
g) 
e-2
ln2-2+
h)
i)
j) 
ln2-
122) Chứng minh rằng:
a) 	Hd: x=-t
b) 	Hd: x=b-t
c) (a>0)	Hd: t=x2
d) 	Hd: x=-t
e) . Áp dụng, tính: 
Hướng dẫn: Lần 1, đặt x=p -t. Lần 2, để tính ta đặt x=+s và kết quả bài 118a). Tính = p , đặt t=cosx, kq: 
123) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số chẵn,liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
124) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ, liên tục trên đoạn [-a;a] (a>0) thì: . Hd: t=-x
125) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 124).
126) Chứng minh rằng: . Áp dụng bài 123).
127) Chứng minh rằng: Nếu f(x) là một hàm số lẻ thì: . Hd: t=-x
128) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 124)
129) Chứng minh rằng . Áp dụng bài 123).
130) Chứng minh rằng . Hd:x=1-t
131) Tính các tích phân sau:
Tích phân
Kết quả
a)
b)
c)
d) 
e) 
f)
g)
Hs lẻ: 0
	Tích phân
Kết quả
h) 
k) 
l) 
m) 
n)
o) 
p)
q) 
r)
s)
1
u=x2, dv=?.
132) Cho In =(nỴ N)
a) Tìm hệ thức liên hệ giữa In và In-1 (n≥1)
b) Áp dụng tính I3 = .	Kết quả: 6-2e	
133) Cho In =(nỴ N )
a) Chứng minh rằng In > In+1.	Hd: In>In+1,"xỴ(0;) 
b) Tìm hệ thức liên hệ giữa In+2 và In.
Hướng dẫn: In+2 = Þ In + In+2=.
134) Tính In =(nỴ N )
Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In-1== I1=.
135) Tính In =(nỴ N )
Hướng dẫn: đặt , tìm được In= In-2.
Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): In=
n=2k+1 ( n lẻ): In=
136) Cho In =(nỴ N )
a) Chứng minh rằng In+2 = In.
b) Chứng minh rằng f(n) = (n+1).In.In+1 là hàm hằng.
c) Tính In.
Hướng dẫn: 
 a) Đặt 
b) Chứng minh f(n+1)=f(n)Þ f(n)==f(0)=
c) Truy hồi, xét n=2k và xét n=2k+1, kết luận :
n=2k ( n chẵn): I2k=
n=2k+1 ( n lẻ): I2k+1=
137)a) Tính I0 =, 	Kết quả: a= 0	
 b) Chứng minh rằng In ==0 	Hd: b) Truy hồi.
138) Tìm liên hệ giữa In = và Jn = và tính I3. 
Kết quả: 
139) Giải phương trình: = 0.	Kq: 0	
140) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= -x2+3x-2, d1:y = x-1 và d2:y=-x+2	Kq: 
141) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y= x3-3x và đường thẳng y=2. 
 Kq: 
142) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 	Kq: 
143) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=x(3-x)2, Ox và x=2; x= 4. Kq: 2
144) Cho hai đường cong :.
a) (P1) và (P2) cắt nhau tại O, M tính tọa độ điểm M.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P1) và (P2). 	Kq: 	
145) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) : y2-2y+x = 0 và (d) : x+y = 0.
Hướng dẫn: Ta có (P) : x = -y2+2y và (d) : x = -y.Tung độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm phương trình y2-3y = 0 Û y=0 V y=3. Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
146) Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) (C): y = cosx ; y = 0 ; .	Kq: 1
b) (C): y = x2 – 2x + 3 ; (d): y = 5 – x .	Kq:
c) (C): y = 2x3 – x2 – 8x + 1 ; (d): y = 6. 	Kq: 
d) (P): y = - x2 + 6x – 8 và tiếp tuyến tại đỉnh của (P) và trục tung.	Kq: 9
e) (C): y = x3 – 3x và tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x = 	Kq:
f) (C): y=x2-2x+2 và các tiếp tuyến với (C) kẻ từ .	Kq: 
g).	Kq: 
h) y = x ; y = 0 ; y = 4 – x. 	Kq: 4
i) y2 = 2x + 1; y = x – 1 .	Kq: 
j) y = lnx ; y = 0 ; x = 2.	Kq: 2ln2-1
147) Tính thể tích của vật thể do các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây quay quanh trục Ox:
148) Cho (E) : 9x2 + 25y2 = 225 ;(d):y = . Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (d) và phần trên d của (E). 	Kq: 5p-
149) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y=2-x2 , (C): y= và Ox. 
 	 Kq:
150) Tính V của vật thể do (H) giới hạn bởi: y2 = x3(y≥0) , y = 0, x= 1
a) Quay quanh trục Ox.	 Kq: 
b) Quay quanh trục Oy.	 Kq: 
151) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C): y=., tiệm cận ngang của (C) và các đường thẳng x = –1; x = 0.	 Kq: 2ln2 
IX.ĐẠI SỐ TỔ HỢP
152) Cho 7 chữ số :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
a) Từ 7 chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau?	Kết quả:
b) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số chẵn? 	Kết quả:6.5.4.3.3=1080
c) Trong các số nói ở a), có bao nhiêu số trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 7?	Kết quả: 5. 
153) Cho 6 chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
a) Từ các chữ số trên, có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau?	Kết quả: 
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số lẻ?	Kết quả: 
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số trong đó có mặt 2 chữ số 1 và 2?
Hướng dẫn và kết quả: Liệt kê 4 tập con có chứa 1 và 2, có thể tạo 4.5!= 480 số.
154) Cho 5 chữ số 0,1, 3, 6, 9.
a) Từ 5 chữ số ấy, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?	Kết quả: 
b) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chẵn? 	Kết quả: 
c) Trong các số nói trên có bao nhiêu số chia hết cho 3? 
Hướng dẫn và kết quả: Chọn trong tập chứa các phần tử chia hết cho 3 là A={0,3,6,9} Vậy có 3 số chia hết cho 3.
155) Cho 6 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5.
Tư ø các chữ số trên có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau? 	 Kết quả: 5. 
b) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số chẵn ? Kết quả: 600-4.(lẻ)=312c) Trong các chữ số trên có bao nhiêu số có mặt chữ số 0? 
Hướng dẫn và kết quả: Hoán vị các phần tử trong tập A={1,2,3,4,5} ta có 5!=120 số không có mặt chữ số 0. Phần bù: 600-120=480 số có mặt chữ số 0.
156) Xét các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 2, 3 và 4, Hỏi có bao nhiêu số :
a) Được tạo thành	Kết quả: 4!=24
b) Bắt đầu bởi chữ số 1?	Kết quả: 1.3!=6
c) Không bắt đầu bằng chữ số 2?	Kết quả: P4- 1.P3 =18.
157) Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1, 3, 5, 7, 9. Hỏi trong các số đó có bao nhiêu số :
a) Bắt đầu bởi 19?	Kết quả: 1.1.3!=6
b) Không bắt đầu bởi 135? 	Kết quả: 5!- 1.1.1.2!=118
158) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau lập nên từ các chữ số 1,2,3, 4, 5 và 6 và lớn hơn 300.000	Kết quả: 4.5!=480
159) Có bao nhiêu sốtự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 biết rằng tổng của 3 chữ số này bằng 9.	Kết quả: Có 3 tập X1={1;2;6} , X2={1;3;5} và X3={2;3;4} có tổng các phần tử bằng 9. Vậy có 3.3!=18 số.
160) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 3 lần, mỗi chữ số khác có mặt một lần?
Hướng dẫn và kết quả: 
Cách 1: Xếp chữ số 0 trước: 7 cách (bỏ ô đầu).Xếp chữ số 2: còn 7. Xếp chữ số 3: còn 6. Xếp chữ số 4: còn 5. Xếp chữ số 5: còn 4. Xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại: 1 cách (Không thứ tự). Vậy có: 7.7.6.5.4.1=5080 số.
	Hoặc:
1
0
1
2
3
1
5
4
Muốn có một số cần tìm ta xếp các chữ số 0, 2, 3, 4 và 5 vào 5 trong 8 ô vuông, sau đó xếp chữ số 1 vào 3 ô còn lại (không thứ tự ). Vậy có số, kể cả các số có chữ số 0 đứng đầu ( có số). Có 6720-840=5880 số.
161) Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số trong đó chữ số 1 có mặt 2 lần, mỗi chữ số khác có mặt đúng một lần?
Hướng dẫn và kết quả: Có số.
Hoặc:
1
5
1
2
4
3
Muốn có một so