Bài tập ôn thi Đại học về Hàm số và phương trình lượng giác

PHẦN 1: BÀI TẬP HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số 	(1)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho .
Bài 2: Cho hàm số , có đồ thị (C).
Tìm các giá trị m (m Î R) để đường thẳng d: y = – x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục tung sao cho góc nhọn; (O là gốc tọa độ).
Bài 3: Cho hàm số y = – x3 + 3x – 1.
 Xác định m (m Î R) để đường thẳng d: y = mx – 2m – 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có đúng một điểm có hoành độ âm.
Bài 4: Cho hàm số (1), m là tham số.
Tìm để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là thỏa mãn .
Bài 5: Cho hàm số (1), là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1. 
Bài 6: Cho hàm số = (1).
Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung .
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị với m là tham số 
Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt P(0;1), M, Nsao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN bằng với 
Bài 8: Cho hàm số y = có đồ thị (C).
Gọi M là một điểm trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Bài 9: Cho hàm số (1)
Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm A, B thỏa mãn .
Bài 10: Cho hàm số: (1)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
PHẦN 2: BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải phương trình: 
Bài 2: Giải phương trình .
Bài 3: Giải phương trình: 
Bài 4: Giải phương trình: .
Bài 5: Giải phương trình: .
Bài 6: Giải phương trình: 2tan2x + 2sin2x = 3cotx .
Bài 7: Giải phương trình: 
Bài 8: Giải phương trình lượng giác sau : 
Bài 9: Giải phương trình lượng giác: 
Bài 10: Giải phương trình: .
Bài 11: Giải phương trình sin2x + cosx-sin-1= 0.
Bài 12: Giải phương trình: 
Bài 13: Giải phương trình: ()
Bài 14: Giải phương trình lượng giác: .
Bài 15: Giải phương trình : .
Bài 16: Giải phương trình : 
Bài 17: Giải phương trình sau 
Bài 18: Giải phương trình: .
Bài 19: Giải phương trình 
Bài 20: Giải phương trình 
ĐÁP ÁN PHẦN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Bài 1: Giải phương trình: 
Vậy nghiệm của phương trình là 
Bài 2: Giải phương trình .
ĐK: 
Kết hợp với điều kiện phương trình đã cho có nghiệm là 
Bài 3: Giải phương trình: 
Điều kiện 
Vậy nghiệm của phương trình 
Bài 4: Giải phương trình: .
Điều kiện xác định hay .Phương trình đã cho tương đương với
 So với điều kiện nghiệm của phương trình là 
Bài 5: Giải phương trình: .
Ta có Phương trình: 
 Û 
 ( Do vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có một họ nghiệm:
Bài 6: Giải phương trình: 2tan2x + 2sin2x = 3cotx .
ĐK 
-Đối chiếu điều kiện ta thấy pt có 3 họ nghiệm:...
Bài 7: Giải phương trình: 
Pt 
Bài 8: Giải phương trình lượng giác sau : 
Điều kiện 
pt 
Bài 9: Giải phương trình lượng giác: 
Điều kiện: 
Từ (1) ta có: 
Giao với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 
Bài 10: Giải phương trình: .
Điều kiện: 
Ta có: 
Đặt ta được: 
Với (thoả mãn).
Với (loại)
Với (thoả mãn)	
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: ; ()
Bài 11: Giải phương trình sin2x + cosx-sin-1= 0.
Pt đã cho tương đương: 
 hoặc 
.
Vậy, nghiệm của phương trình đã cho là: ; ().
Bài 12: Giải phương trình: 
+ sinx = 0 Û x = kp (k Î Z)
Û (k Î Z) 
Kết luận nghiệm của phương trình đã cho: x = kp; 
Bài 13: Giải phương trình: ()
ĐK: cosx 0
PT 
Kết hợp điều kiện, các nghiệm trên đều thỏa mãn.
Bài 14: Giải phương trình lượng giác: .
Điều kiện: cosx ≠ 0.
Biến đổi PT về: cos2x(1 + sin2x − cos2x) = cos2x (2sinx + 2cosx)
 Û 1 + sin2x − cos2x = 2(sinx + cosx) ( vì cosx ≠ 0)
 Û (sinx + cosx)2 – (cos2x − sin2x) − 2(sinx + cosx) = 0
 Û (sinx + cosx)[sinx + cosx − (cosx − sinx) − 2] = 0 
 Û (sinx + cosx)(2sinx − 2) = 0
 Û sinx + cosx = 0 hoặc 2sinx − 2 = 0
 Û tanx = − 1 hoặc sinx = 1 (không thỏa cosx = 0)
 Û x = , (k Î ¢)
Bài 15: Giải phương trình : .
Với điều kiện : , Phương trình đã cho tương đương : 
 (vì )
Giải phương trình (1) và đối chiếu ĐK, kết luận nghiệm của phương trình đã cho là: ; .
Bài 16: Giải phương trình : 
Bài 17: Giải phương trình sau 
Điều kiện :
Pt
Vậy phương trình có họ nghiệm x = k2(kZ)
Bài 18: Giải phương trình: .
Điều kiện : . Quy đồng rồi biến đổi phương trình về dạng
Vì nên : 
Đặt với . Phương trình trở thành: 
Do nên ta lấy 
Với thì , 
Bài 19: Giải phương trình 
Điều kiện: hay 
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm 
Bài 20: Giải phương trình 
(1)	Û	
	Û 
Û	 Û 
. Û Û 
Û , k Î Z.
ĐÁP ÁN PHẦN HÀM SỐ
Bài 1: Cho hàm số 	(1)
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho .
Đáp án
Điểm
Cho hàm số 	(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) đã cho. 
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B sao cho .
Ta có 
Hệ số góc của tiếp tuyến được tính bởi 
0.25
Gọi là tiếp điểm của tiếp tuyến và (C) 
Þ hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình: = k hay:
0.25
Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến : .
0.25
Với và tiếp điểm , ta có pt tiếp tuyến: 
0.25
Bài 2: Cho hàm số , có đồ thị (C).
Tìm các giá trị m (m Î R) để đường thẳng d: y = – x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm ở hai phía của trục tung sao cho góc nhọn; (O là gốc tọa độ).
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
1,0
Tìm các giá trị m 
1,0
Phương trình hoành độ giao điểm ( C) và d:
 (1)
 (x = 2 không phải là nghiệm phương trình (1) ).
0,25
d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A,B nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 , thỏa x1.x2 < 0.Điều này xảy ra khi và chỉ khi P = 2m+3< 0 
0,25
Khi đó A(x1;-x1+ m) ; B(x2 ;-x2+m).Góc nhọn khi và chỉ khi:
(Viét)
0,25
Kết hợp với điều kiện ta được :là các giá trị m cần tìm.
Ghi chú:Thí sinh có thể sử dụng định lý hàm số côsin.Điều kiện góc nhọn
tương đương với:OA2 +OB2 – AB2 > 0 ...
0,25
Bài 3: Cho hàm số y = – x3 + 3x – 1.
Xác định m (m Î R) để đường thẳng d: y = mx – 2m – 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt trong đó có đúng một điểm có hoành độ âm.
Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = – x3 + 3x – 1
1,0
d: y = mx – 2m – 3 cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 
1,0
PT hoành độ giao điểm của d và (C): 
0,25
YCBT tương đương với (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2 và có đúng 1 nghiệm âm
 Ta xét 2 trường hợp:
0,25
+ (*) có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0 .
0,25
+ (*) có 2 nghiệm trái dấu và khác 2 
 KL: .
0,25
Bài 4: Cho hàm số (1), m là tham số.
Tìm để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là thỏa mãn .
Ta có 
Chú ý rằng với thì Khi đó hàm số đạt cực đại tại và đạt cực tiểu tại 
Do đó:
Từ giả thiết ta có 
Đối chiếu với yêu cầu ta có giá trị của m là 
Bài 5: Cho hàm số (1), là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B và C sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1. 
b) Ta có , vậy đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị khi và chỉ khi .
Các điểm cực trị hàm số là . Gọi là tâm và là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác . Do đối xứng nhau qua trục tung nên tam giác cân tại , do đó tâm nằm trên , giả sử: .
Với , do nên chỉ nhận 
Với , phương trình này vô nghiệm do .
Vậy là hai giá trị cần tìm.
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 6: Cho hàm số = (1).
Tìm trên (C) những điểm M sao cho khoảng cách từ điểm M đến trục hoành bằng 3 lần khoảng cách từ M đến trục tung .
Giả sử điểm M(x0;y0) (C) thỏa d(M, Ox) = 3d(M,Oy)
d(M, Ox) = 3d(M,Oy) ó 
----------------------------------------------------------------------------------------------------
 ó ó 
---------------------------------------------------------------------------------------------------
ó 
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
Vậy có hai điểm M thỏa YCBT là M() hoặc M ()
Bài 7: Cho hàm số có đồ thị với m là tham số 
	Tìm m để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt sao cho bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng với 
b. (1 điểm)
 Phương trình hoành độ giao điểm của và (d): 
Để cắt (d) tại 3 điểm phân biệt có 2 nghiệm phân biệt khác 0
Giả sử khi đó là nghiệm của pt(2)
Ta có (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác )
Mà ta có 
Với 
Khi đó thế vào (3) ta được 
Vậy thỏa mãn ycbt
 0.5
0.5
Bài 8: Cho hàm số y = có đồ thị (C).
Gọi M là một điểm trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. Chứng minh rằng diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.
Gọi 
Tiếp tuyến tại M có phương trình: 
Giao điểm với tiệm cận đứng là 
Giao điểm với tiệm cận ngang là 
Giao hai tiệm cận I(1; 2)
Suy ra đpcm
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 9: Cho hàm số (1)
Tìm m để đường thẳng cắt tại hai điểm A, B thỏa mãn .
Hoành độ giao điểm của d và (C) là nghiệm của phương trình
Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt 
	 	(2)
0,5
Khi đó với 
Từ giả thiết ta có 
Đối chiếu với (2), ta có các giá trị cần tìm của m là 
0,5
Bài 10: Cho hàm số: (1)
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Gọi là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu.Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ điểm đến đường thẳng .
 Ta có .
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi phương trình có hai nghiệm phân biệt.
 Tức là cần có: 
0,25
Chia đa thức y cho , ta được: .
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm .
Vì nên phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại, cực tiểu là: hay 
0,25
Ta thấy đường thẳng luôn đi qua điểm cố định . Hệ số góc của đường thẳng IA là . Kẻ ta thấy .
0,25
Đẳng thức xảy ra khi (TM).
 Vậy khi .
0,25