Bài tập luyện thi Đại học môn Toán - Một số bài toán về hàm số - Doãn Xuân Huy

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
I.Các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số:
 1/ Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường thẳng .
Giải: Hàm số có hai điểm cực trị là: ( -2; m – 4 ) và ( 4; m + 8 ). Để hai điểm cực trị này nằm về hai phía của đt trên thì: ( - 7m – 21 )( 9 – 7m ) < 0 .
 2/ Cho hàm số . 
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ; b. Tìm quỹ tích các điểm cực đại.
Giải: a/ Hàm số có cực trị khi m > 0 .
 b/ Ta có: . Vậy quĩ tích các điểm cực đại 
là phần đường thẳng y = 4x – 3 ứng với x < 1.
 3/ Cho hàm số: (C)
	a. Tìm m để (Dm): cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà cả hai điểm đó thuộc cùng một nhánh. 
	b. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Giải: a/ Phương trình: có một nghiệm x = 0 nên để hai giao điểm ở cùng một nhánh thì: .
 b/ Ta có: .
Vậy quỹ tích trung điểm I của MN là nhánh bên phải của đths .
 4/ Cho hàm số: .
 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (D) có phương trình .
 Giải: Ta có: . Để hs có cực trị thì . Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực trị thì . Do pt của đt đi qua hai điểm cực trị là . Để các điểm cực trị của đths đx nhau qua (D) thì:
.
 5/ Cho hàm số: . Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về hai phía của đường tròn (C): .
Giải:Hàm số có hai điểm cực trị là: ( 0; - 4 ) và ( - 2; 0 ). Để hai điểm cực trị này nằm về hai phía của đường tròn ( C ) thì:.
 6/ Cho hàm số (Cm).
	Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường phân giác góc phần tư thứ nhất.
Giải: Hàm số đã cho nếu sẽ có hai điểm cực trị là: ( 0 ; 2m + 4 ) và . Để hai điểm này nằm về hai phía của đường phân giác góc phần tư thứ nhất ( có pt là: y = x ) ta phải có:
 hoặc m > 1.
 7/ Cho hàm số (Cm).
 Tìm m để (Cm) cắt trục 0x tại ba điểm phân biệt hoành độ dương.
Giải: Ta có: . Để (Cm) cắt trục 0x tại ba điểm phân biệt có
hoành độ dương thì các điểm cực trị dương; hai cực trị trái dấu và y(0) < 0 
 8/ Cho hàm số .
 Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó có đúng hai điểm có hoành độ âm.
Giải: Điều kiện là: .
II.Các bài toán về tiếp tuyến:
 9/ Cho hàm số (1)
 a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (D): luôn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định. 
 b) Tìm m để đường thẳng đó cắt (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau.
Giải: a/ Xét pt: . Như vậy khi m thay đổi thì (D) luôn cắt đths(1) tại điểm A( - 1; 2 ) cố định.
 b/ Để (D) cắt đths(1) tại 3 điểm phân biệt thì pt (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1; do đó
m > - 9/4 và . Khi đó là hoành độ của B,C và là nghiệm của (*) . Ta có: .
Để tiếp tuyến tại B và C vuông góc với nhau thì (thỏa mãn đk). Đó chính là những gt của m cần tìm.
 10/ Cho hàm số (C) tìm trên đường thẳng x =1. Những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau.
Giải: Giả sử M(1;b) và pt của đt (D) đi qua M là: y = k(x – 1) + b. Để (D) là tiếp tuyến của (C) thì pt sau phải có nghiệm kép: ( vì pt không có nghiệm với x = 0 )
. Để qua M có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới (C) vuông góc với nhau thì pt (*) phải có hai nghiệm có tích bằng -1
 (TMĐK). Vậy trên đt x = 1 có 2 điểm TMYCBT là .
 11/ Cho hàm số: 
	Tìm những điểm thuộc Oy mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến tới (C).
Giải: Gọi và ptđt (D) qua M là y = kx + b. Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm:
x
 0 
f’(x)
 + 0 - 0 + 0 -
f(x)
 1 
 Từ BBT ta suy ra trên trục Oy có
Duy nhất một điểm mà từ đó có thể kẻ được 3 tt tới (C); đó là điểm 
M( 0; 1 ).
 12/ Cho hàm số: . Tìm trên trục Oy những điểm từ đó có thể kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị vừa vẽ.
Giải: Gọi và ptđt (D) qua M là y = kx + b. Để (D) là tt của (C) thì pt sau phải có nghiệm kép:
. Để từ M có thể kẻ được 2 tt tới đths thì (*) có 2 nghiệm phân biệt và
.
 13/ Cho hàm số: (C). Tìm b để parabol tiếp xúc với (C) .
Giải: Để parabôn tiếp xúc với (C) thì hpt sau phải có nghiệm:
 Vậy có 2 gt của b TMYCBT là 1 và – 3.
 14/ Cho hàm số: . Chứng minh rằng với mọi m ≠ - 1, các đường cong (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định tại một điểm cố định.
Giải: Giả sử đths(1) t/x với đt y = ax + b với mọi . Khi đó pt sau phải có nghiệm kép với mọi :
. Vậy với mọi , các đường cong (1) luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định y = x - 1 tại một điểm cố định I( - 1; - 2 ).
 15/ Cho hàm số: 
	a. Tìm m để hàm số có cực trị. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu. 
	b. Xác định m để đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai điểm đó vuông góc với nhau.
Giải: a/ Ta có: . Để hs có cực trị thì pt y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác m
 (vì khi đó pt y’ = 0 sẽ có hai nghiệm phân biệt khác m ). Hai nghiệm của pt y’ = 0 là 
. Vậy pt của đt đi qua điểm CĐ và điểm CT là y = 2x + m.
 b/ Với thì đths luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt ( vì ac = - 8 < 0 ). Gọi hoành độ của hai giao điểm này là . Để tt với đths tại hai giao điểm vuông góc với nhau thì:
.
 16/ Cho hàm số (C)
	 Tìm trên trục hoành những điểm mà từ đó kẻ được ba tiếp tuyến tới đồ thị của hàm số (C).
Giải: Gọi ; đt (D) đi qua M có pt là: y = k(x - a). Để (D) là tt của (C) thì hpt sau phải có nghiệm:
. Để qua M có thể kẻ được 3 tt tới (C) thì pt sau phải có 3 nghiệm phân biệt
. Do khi x = 1 và x = a nên để pt f(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt thì: .
 17/ Cho hàm số: 
 a/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đths đều tạo với hai đường tiệm cận một đoạn thẳng mà tiếp điểm là trung
điểm của nó.
 b/ Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi. 
 c/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại đó lập với hai đường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.
Giải: a/Do nên pttt với đths tại điểm là: . Tt này cắt các tiệm cận 
x = 1 và y = 1 tại các điểm: suy ra M là trung điểm của AB ( vì tọa độ trung điểm của AB bằng tọa độ của M ).
 b/ Gọi I là giao của hai tiệm cận. Ta có 
 không đổi ( đpcm )
 c/ Ta có chu vi tam giác IAB: . Vậy chu vi tam giác IAB có giá trị nhỏ nhất bằng khi IA = IB tức . Như vậy trên đths có hai 
điểm TMYCBT là: .
III. Một số bài toán khác:
 18/ Cho hàm số: 
	Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): nhỏ nhất.	
Giải: Giả sử 
. Vậy GTNN của k/c từ M tới (D) bằng khi ứng với hai điểm .
 19/ Cho hàm số: (C) 
	 Hãy xác định hàm số y = g(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua A(1;1).
Giải: Gọi là điểm đối xứng của qua A. Vậy .
 20/ Cho hàm số .
Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (D):x + y -3 = 0.
 Gọi là hình chiếu của M trên (D). Khi đó là nghiệm của hpt: 
. Gọi điểm đối xứng của M qua I là 
. Vậy hàm số cần tìm là: y=10/x .
 21/ Cho hàm số: (C).
 Tìm hai điểm A, B trên hai nhánh khác nhau của (C) sao cho độ dài đoạn AB ngắn nhất.
Giải: Gọi . Đặt 
. Dấu bằng xảy ra khi .
 22/ Cho hàm số: (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung AB của (C) sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất.
Giải: -Cách 1: pt đt AB là: 2x – y + 1 = 0 . Gọi 
x
0 3
f’(x)
 + 0 - 
f(x)
0 0
 Ta có nên BBT của hs như bên.
Do đó: ứng với .
 -Cách 2: Diện tích ΔMAB lớn nhất khi M là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C) song song với AB. Gọi . Tiếp tuyến của (C) tại M song song với AB khi 
.
--------------------------- o0o ------------------------