Bài tập Hình học 11 - Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

ại trung điểm của mỗi đoạn. 
4. Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song 
song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy 
sao cho CN = 2BM. 
 a) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua 1 điểm cố định I khi M, N di động. 
 b) E thuộc đoạn AM và EM = 
1
3
EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. 
CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động. 
5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt 
nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD. 
 a) Chứng minh: PQ // SA. 
 b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC. 
 c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) 
 và của Qy với (SCD). 
a
b
P
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
www.MATHVN.com 
13 
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: 
  Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng. 
  Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến. 
 Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy. 
1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung 
điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB. 
 a) Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG). 
 b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm 
điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành. 
2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các 
tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt 
phẳng (IJM). 
3. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần 
lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC. 
 a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI) với mặt 
(SAD). 
 b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt 
phẳng (SAB) và (SCD). 
 HD: b) 
2
5
(a+b). 
4. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một 
điểm trên cạnh BD với KB = 2KD. 
 a) Xác định thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (IJK). Chứng minh thiết diện là hình 
thang cân. 
 b) Tính diện tích thiết diện đó. 
 HD: b) 
25 51
288
a
5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác 
đều. Ngoài ra SAD = 900. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC. 
 a) Tìm giao điểm I của Dx với mp(SAB). Chứng minh: AI // SB. 
 b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện. 
 HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích 
2 14
8
a
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
14 
III. ĐƯỜNG THẲNG và MẶT PHẲNG SONG SONG 
1. Định nghĩa 
 d // (P)  d  (P) =  
2. Tính chất 
  Nếu đường thẳng d không nằm trên mặt phẳng (P) và d song song với đường thẳng d 
nằm trong (P) thì d song song với (P). 
  Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì mọi mặt phẳng (Q) chứa d mà cắt 
(P) thì cắt theo giao tuyến song song với d. 
  Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của 
chúng cũng song song với đường thẳng đó. 
  Nếu hai đường thẳng a và b chéo nhau thì có duy nhất một mặt phẳng chứa a và song 
song với b. 
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng 
Phương pháp: Ta chứng minh d không nằm trong (P) và song song với một đường thẳng d nào 
đó nằm trong (P). 
1. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. 
 a) Gọi O, O lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh OO song song với các 
mặt phẳng (ADF) và (BCE). 
 b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = 
1
3
AE, BN = 
1
3
BD. 
Chứng minh MN // (CDFE). 
2. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của các cạnh AB, CD. 
 a) Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC), (SAD). 
 b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP). 
 c) Gọi G1, G2 là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G1G2 // (SBC). 
3. Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 
2MC. Chứng minh MG // (ACD). 
 HD: Chứng minh MG song song với giao tuyến của (BMG) và (ACD). 
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, 
ABD. Chứng minh rằng: 
 a) Điều kiện cần và đủ để OO // (BCD) là 
BC AB AC
BD AB AD



 b) Điều kiện cần và đủ để OO song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD) 
 là BC = BD và AC = AD. 
 HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác. 
5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung 
điểm của đoạn MN. 
a) Tìm giao điểm A của đường thẳng AG với mp(BCD). 
b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh 
B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN. 
c) Chứng minh GA = 3GA. 
Trần Sĩ Tùng www.mathvn.com 
www.MATHVN.com 
15 
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 
Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt 
phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước. 
1. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song 
song với SA. 
 a) Tìm các giao tuyến của (P) với (SAB) và (SAC). 
 b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). 
 c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang. 
 HD: c) MN // BC 
2. Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, B = 600, AB = a. Gọi O là trung 
điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là 1 điểm trên 
cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại 
N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a). 
 a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. 
 b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất. 
 HD: b) SMNPQ = 
(4 3 )
4
x a x
. SMNPQ đạt lớn nhất khi x = 
2
3
a
3. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và 
song song với SC. 
 a) Tìm các giao tuyến của (P) với các mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC). 
 b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P). 
4. Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. 
Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD. 
 a) Tìm giao tuyến của (P) với (ICD). 
 b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P). 
5. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 
điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC. 
 a) Chứng minh (P) luôn chứa một đường thẳng cố định. 
 b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện 
là hình bình hành. 
 c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA. 
 HD: a) Đường thẳng qua C và song song với BC. 
 b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA. 
 c) Hai nửa đường thẳng. 
www.mathvn.com Trần Sĩ Tùng 
16 
IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 
1. Định nghĩa 
 (P) // (Q)  (P)  (Q) =  
2. Tính chất 
  Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng 
(Q) thì (P) song song với (Q). 
  Nếu đường thẳng d song song với mp(P) thì có duy nhất một mp(Q) chứa d và song song 
với (P). 
  Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. 
  Cho một điểm A  (P). khi đó mọi đường thẳng đi qua A và song song với (P) đều nằm 
trong một mp(Q) đi qua A và song song với (P). 
  Nếu một mặt phẳng cắt một trong hai mặt phẳng song song thì cũng cắt mặt phẳng kia 
và các giao tuyến của chúng song song với nhau. 
  Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song những đoạn thẳng bằng 
nhau. 
  Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những 
đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 
  Định lí Thales đảo: Giả sử trên hai đường thẳng d và d lần lượt lấy các điểm A, B, C và 
A, B, C sao cho: 
' ' ' ' ' '
AB BC CA
A B B C C A
  
 Khi đó, ba đường thẳng AA, BB, CC lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là 
chúng cùng song với một mặt phẳng. 
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song 
Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song 
với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia. 
1. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm 
của SA, SD. 
 a) Chứng minh (OMN) // (SBC). 
 b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC). 
2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho 
luôn có: 
IA JB
ID JC
 . 
 a) CMR: IJ luôn song song với 1 mặt phẳng cố định. 
 b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước. 
 HD: a) IJ song song với mp qua AB và song song CD. 
 b) Tập hợp điểm M là đoạn EF với E, F là các điểm chia AB, CD theo tỉ số k. 
3. Cho hình chóp S.ABCD, có đa