Bài tập Giới hạn - Trường THPT Lê Hồng Phong

im 0
1 x


Giải: 
Ta luôn có:    
2 2 2 2
4 4 4 4
x sin x x x x
| f x | f x
1 x 1 x 1 x 1 x
     
   
2 2 2 2 22 2
4 4 4 4 4x x x x x x x
4 4
1 1
x x x x x sin xx xlim lim 0; lim lim 0 lim lim 0 lim 0
1 11 x 1 x 1 x 1 x 1 x
1 1
x x
      
        
    
 
. 
Dạng 8: Tìm giới hạn một bên 
Ph-ơng pháp giải: Sử dụng định nghĩa giới hạn một bên 
Ví dụ 1: Cho hàm số  
3
2
x x 1
f x
2x 3 x 1
  
 
  
với 
với 
. Tìm  
x 1
lim f x

Giải: 
Ta có: 
 
 
 
   22
x 1 x 1
lim f x lim 2x 3 2. 1 3 1
 
   
       (1) 
 
 
 
3
x 1 x 1
lim f x lim x 1
 
   
   (2) 
Từ (1) và (2) suy ra  
x 1
lim f x 1

  
Ví dụ 2: Cho hàm số  
1
x 1
x 1
f x
1
x 1
x 1
khi 
khi 

 
 
 
 
a. Tìm  
x 2
limf x

b. Tìm  
x 1
limf x

Giải: 
a.  
x 2 x 2
1 1
limf x lim
x 1 3 
 

b.  
x 1
limf x

 Nguyễn Xuõn Thọ Trường THPT Lờ Hồng Phong 
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 
6 
Ta có:        
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
1 1 1 1
lim f x lim ; lim f x lim lim f x lim f x
1 x 2 1 x 2          

      
 
 suy 
ra không tồn tại  
x 1
limf x

(Chú ý:  
0x x
lim f x

 tồn tại khi và chỉ khi    
0 0x x x x
lim f x lim f x L
  
  thì  
0x x
lim f x L

 ) 
Dạng 9: Tìm giới hạn vô cực 
Ph-ơng pháp: Sử dụng quy tắc tìm giới hạn vô cực 
Ví dụ: Tính 2
x
lim 4x 1

 
Giải: 
2 2
2 2x x x
1 1
lim 4x 1 lim x 4 lim | x | . 4
x x  
 
     
 
Vì 
x
lim | x |

  và 2
2x x
1
lim 4 2 0 lim 4x 1
x 
       
Dạng 10: Khử dạng vô định 
Ph-ơng pháp giải 
1. Khi tìm giới hạn dạng
 
 0x x
P x
lim
Q x
, với    
0 0x x x x
lim P x lim Q x 0
 
  : 
• Với P(x), Q(x) là những đa thức nguyên theo x thì ta chia cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho 
0x x 
• Nếu P(x), Q(x) chứa dấu căn thức theo x thì ta nhân cả tử P(x) và mẫu Q(x) cho l-ợng 
liên hiệp. 
Ví dụ 1: Tìm: 
2
x 2
x 9x 14
lim
x 2
 

Giải: 
  
 
2
x 2 x 2 x 2
x 2 x 7x 9x 14
lim lim lim x 7 5
x 2 x 2  
  
    
 
Ví dụ 2: Tìm: 
x 0
4 x 2
lim
4x
 
Giải: 
  
     x 0 x 0 x 0 x 0
4 x 2 4 x 24 x 2 4 x 4 1 1
lim lim lim lim
4x 164x 4 x 2 4x 4 x 2 4 4 x 2   
      
   
     
Ví dụ 3: Tìm: 
3
x 1
x 7 2
lim
x 1
 

Giải: 
    
         
23 33
33
x 1 x 1 x 12 23 33 3
x 7 2 x 7 2. x 7 4
x 7 2 x 7 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 7 2. x 7 4 x 1 x 7 2. x 7 4
  
     
   
 
          
  x 1 2 33
1 1
lim
12x 7 2. x 7 4

 
   
Ví dụ 4: Tìm: 
x 2
2x 5 3
lim
x 2 2
 
 
Giải: 
   
   
  
  
 
x 2 x 2 x 2 x 2
2x 5 3 2x 5 3 x 2 2 2x 5 9 x 2 2 2 x 2 22x 5 3 4
lim lim lim lim
3x 2 2 2x 5 3x 2 2 x 2 2 2x 5 3 x 2 4 2x 5 3   
            
   
            
Ví dụ 5: Tìm: 
3
x 1
x 3x 2
lim
x 1
 

Giải: 
 Nguyễn Xuõn Thọ Trường THPT Lờ Hồng Phong 
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 
7 
   
  
3
3 3
2
x 1 x 1 x 1 x 1
2
x 1
x 1 3x 2 1x 3x 2 x 1 3x 2 1 3x 2 1
lim lim lim lim x x 1
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 3x 2 1
3 3 3
lim x x 1 3
2 23x 2 1
   

                    
          
 
       
  
Ví dụ 6: Tìm: 
4
3x 1
x 2 1
lim
x 2 1
 
 
Giải: 
Đặt 12 1212t x 2 x 2 t x t 2,khi x 1 t 1 đó thì           . Do đó: 
  
      
23 24
4 2 23x 1 t 1 t 1 t 1
t 1 t t 1x 2 1 t 1 t t 1 3
lim lim lim lim
4t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1x 2 1   
      
   
      
Ví dụ 7: Tìm: 
3
x 1
x 7 x 3
lim
x 1
  

Giải: 
   
      
 
3
3 3
x 1 x 1 x 1
3
2x 1 3 3
2x 1 33
x 7 2 x 3 2x 7 x 3 x 7 2 x 3 2
lim lim lim
x 1 x 1 x 1 x 1
x 7 2 x 3 4
lim
x 1 x 3 2x 1 x 7 2. x 7 4
1 1 1 1 1
lim
12 4 6x 3 2x 7 2 x 7 4
  


            
   
    
 
    
  
         
    
 
      
      
2. Khi tìm giới hạn dạng 
 
 x
P x
lim
Q x
, ta l-u ý: 
• Đặt mx (m là bậc cao nhất) làm nhân tử chung ở tử P(x) và mẫu Q(x) 
• Sử dụng kết quả: 
x
1
lim 0
x
 ( với 0  ) 
Ví dụ 1: Tìm: 
2
2x
3x 4x 1
lim
2x x 1
 
  
Giải: 
2 2
2x x
2
4 1
3
3x 4x 1 3x xlim lim
1 1 22x x 1
2
x x
 
 
 
  
  
  
Ví dụ 2: Tìm: 
2
x
x x 1 3x
lim
2 3x
  

Giải: 
2 2
x x
1 1
1 3
x x 1 3x 1 3 4x x
lim lim
22 3x 3 3
3
x
 
   
    
  
 

Ví dụ 3: Tìm: 
3 3 2
2x
8x 3x 1 x
lim
4x x 2 3x
  
  
Giải: 
3
3 3 2 33
2x x
2
3 1
8 1
8x 3x 1 x 8 1x x
lim lim 1
1 2 4 34x x 2 3x
4 3
x x
 
  
   
  
   
   
C. Bài tập tự luận 
1. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
 Nguyễn Xuõn Thọ Trường THPT Lờ Hồng Phong 
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 
8 
1. 
2
2x 3
x 5x 6
lim
x 8x 15
 
 
 2. 
2
21
x
2
8x 1
lim
6x 5x 1

 
 3. 
3 2
2x 3
x 4x 4x 3
lim
x 3x
  

4. 
4 3 2
4 3 2x 1
2x 5x 3x 1
lim
3x 8x 6x 1
  
  
 5. 
3
4x 1
x 3x 2
lim
x 4x 3
 
 
 6. 
3 2
4 2x 2
x 2x 4x 8
lim
x 8x 16
  
 
7. 
3
5x 1
x 2x 1
lim
x 2x 1
 
 
 8.    
x 0
1 x 1 2x 1 3x 1
lim
x
   
 9.      
x 0
1 x 1 2x 1 3x ... 1 nx 1
lim
x
    
2. Tìm các giới hạn hàm số sau: 
1. 
x 2
x 2
lim
3 x 7

 
 2. 
x 1
2x 7 3
lim
x 3 2
 
 
 3. 
2
x 0
1 x 1
lim
x
 
4. 
2x 2
x 7 3
lim
x 4
 

 5. 
3
x 2
4x 2
lim
x 2


 6. 
3 2
2x 0
1 x 1
lim
x
 
7. 
 
3 2 3
2x 1
x 2 x 1
lim
x 1
 

 8. 
3
x 0
x 1
lim
x 1


 9. 
x 2
x 2 x 7 5
lim
x 2
   

10. 
3 3
x 0
1 x 1 x
lim
x
  
 11. 
  2
2x 1
3x 2 4x x 2
lim
x 3x 2
   
 
 12. 
x 1
2x 2 3x 1
lim
x 1
  

13. 
2 2
2x 3
x 2x 6 x 2x 6
lim
x 4x 3
    
 
 14. 
x 0
x 9 x 16 7
lim
x
   
 15. 
3 23
2x 1
x 2 x x 1
lim
x 1
   

3. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
1. 
3
2x 1
x 7 x 3
lim
x 3x 2
  
 
 2. 
3
x 0
2 1 x 8 x
lim
x
  
 3. 
3
x 0
1 x 1 x
lim
x
  
4. 
3
2x 2
x 11 8x 43
lim
2x 3x 2
  
 
 5. 
3 3 2
x 1
7 x 3 x
lim
x 1
  

 6. 
23
x 1
x 7 5 x
lim
x 1
  

7. 
3
x 0
1 4x 1 6x 1
lim
x
   8. 
3
2x 0
1 2x 1 3x
lim
x
   
4. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
1. 
3 2
4 3 2x
2x 3x 4x 1
lim
x 5x 2x x 3
  
   
 2. 
2
2x
x x 1
lim
2x x 1
 
 
 3. 
   
  
2 3
3 2x
2x 3 4x 7
lim
3x 1 10x 9
 
 
4. 
   
 
20 30
50x
2x 3 3x 2
lim
2x 1
 

 5. 
2
2x
x 2x 3x
lim
4x 1 x 2
 
  
 6. 
x
5x 3 1 x
lim
1 x
 

5. Tìm giới hạn của các hàm số sau: 
1. 2 2
x
lim x x 1 x x 1

     
 
 2.   2
x
lim 2x 5 4x 4x 1

    
 
 3. 
x
lim x x x

  
  
4. 2
x
lim x. x 1 x

  
 
 5. 2
x
lim x 4x 9 2x

  
 
 6. 2 4 4
x
lim x 3x 5 3x 2

   
 
7. 3 3 2
x
lim x 2 x 1

   
 
 8. 32 3
x
lim x 4x 5 8x 1

   
 
D. Bài tập trắc nghiệm 
Dãy số có giới hạn 0 
1. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 
 a. 
1
n
 b. 
1
n
 c. 
2n 1
n

 d. 
cos n
n
2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 
 a. 
n
5
3
 
 
 
 b. 
n
1
3
 
 
 
 c. 
n
5
3
 
 
 
 d. 
n
4
3
 
 
 
3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? 
 a.  
n
0,909 b.  
n
1,012 c.  
n
1,013 d.  
n
1,901 
4. Dãy số nào sau đây không có giới hạn? 
 a.  
n
0,99 b.  
n
1 c.  
n
0,99 d.  
n
0,89 
5. Gọi 
 
n
1
L lim
n 4



. Khi đó L bằng 
 Nguyễn Xuõn Thọ Trường THPT Lờ Hồng Phong 
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 
9 
 a. 
1
5
 b. 
1
4
 c. – 1 d. 0 
6. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0? 
 a. 
1
2n
 b. 
1
n
 c. 
n
4
3
 
 
 
 d. 
 
n
1
n

Dãy số có giới giạn hữu hạn 
7. Cho 
n
1 4n
u
5n

 . Khi đó un bằng 
 a. 
3
5
 b. 
3
5
 c. 
4
5
 d. 
4
5
 
8. Cho 
n n
n n
2 5
u
5

 . Khi đó limun bằng 
 a. 0 b. 1 c. 
2
5
 d. 
7
5
9. Gọi 
cos2n
L lim 9
n
  thì L bằng số nào sau đây? 
 a. 0 b. 3 c. 3 d. 9 
10. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
n 1
n
11 1 1
, , ,..., ,...
2 4 8 2


 là 
 a. 1 b. 
1
3
 c. 
1
3
 d. 
2
3
 
11. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
n 1
n
11 1 1
, , ,..., ,...
3 9 27 3


 là 
 a. 
1
4
 b. 
1
2
 c. 
3
4
 d. 4 
12. Tổng của cấp số nhân vô hạn 
 
n 1
n 1
11 1 1
, , ,..., ,...
2 6 18 2.3



 là 
 a. 
8
3
 b. 
3
4
 c. 
2
3
 d. 
3
8
13. Tổng của cấp số nhân vô hạn: 
 
n 1
n 1
11 1 1
1, , , ,..., ,...
2 4 8 2



  là 
 a. 
2
3
 b. 
2
3
 c. 
3
2
 d. 2 
Dãy số có giới hạn vô cực 
14. Kết quả  3L lim 5n 3n  là 
 a.  b. – 4 c. – 6 d.  
15. Biết  2L lim 3n 5n 3   thì L bằng 
 a.  b. 3 c. 5 d.  
16.  3 2lim 3n 2n 5   bằng 
 a.  b. – 6 c. – 3 d.  
17. 
2
3
lim
4n 2n 1

 
 bằng 
 a.  b. 
3
4
 c. – 1 d. 0 
18. 
4
2
lim
5n 2n 1 
 bằng 
 a. 
2
5
 b. 
1
2
 c. 0 d.  
19. 
3
4
3n 2n 1
lim
4n 2n 1
 
 
 bằng 
 a. 0 b.  c. 
3
4
 d. 
2
7
 Nguyễn Xuõn Thọ Trường THPT Lờ Hồng Phong 
Điện Thoại: 0914 379466; 031 3677101 
10 
20. 
4
4
2n 2n 2
lim
4n 2n 5
 
 
 bằng 
 a. 0 b.  c. 
1
2
 d. 
3
11
21. 
2 4
4