Bài tập Giải tích 12 - Chuyên đề 1: Phương trình mũ - Logarit - Huỳnh Đức Khánh

; 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ < <
≥ ⇔ < ≤
 (nghịch biến) 
● a 1> 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a a
a a
log f x log g x 0 f x g x
log f x log g x 0 f x g x
> ⇔ 
≥ ⇔ < ≥
 (ñồng biến) 
Tổng quát ta có: 
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >

> ⇔ > >

 − − >  
 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
a a
a 0
log f x log g x f x 0; g x 0
a 1 f x g x 0
 >
≥ ⇔ > >

 − − ≥  
CHUYEÂN ÑEÀ 2. BAÁT PHÖÔNG TRÌNH 
 MUÕ – LOGARIT 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
1. PHÖÔNG PHAÙP ÑÖA VEÀ CUØNG CÔ SOÁ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 2
x x 1
x 2x 13
3
− −
−
 ≥  
 
Lời giải: 
- ðiều kiện: x 0≤ hoÆc x 2≥ . 
- Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 
2 x x 1x 2x 23 3 x 2x x x 1− −− ≥ ⇔ − ≥ − − (1) 
 + NÕu x 0≤ th× x 1 1 x− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 2x 1⇔ − ≥ − (®óng v× x ≤ 0) 
 + NÕu x 2≥ th× x 1 x 1− = − , khi ®ã bpt ( ) 21 x 2x 1⇔ − ≥ 
2 x 1 2
 x 2x 1 0 
x 1 2
 ≤ −
⇔ − − ≥ ⇔ 
≥ +
- KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn ta ®−îc x 1 2≥ + . 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )2xlog 5x 8x 3 2− + > 
Lời giải: 
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 
2 2 2
2
2 2
2
0 x 1
0 x 1 0 x 1 1 3
x 15x 8x 3 x 4x 8x 3 0 2 2 x
235x 8x 3 0 3
x x 1x x 1
55x 1
x 1x 15x 8x 3 x
1 34x 8x 3 0
x x
2 2
   
    < <
   < < < <    < <  − + < − + <   <   
− + > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔     >   >>  − + >     − + >   
3
5
3
x
2

<

 >

Lưu ý: Víi bÊt phương trình d¹ng ( )( )log f x g x a> , ta xÐt hai tr−êng hîp cña c¬ sè 
( )0 1f x< < và ( )1 .f x< 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( )
2
3 3log x log x3 x 6+ ≤ 
Lời giải: 
- ðiều kiện: x 0> 
- Ta sö dông phÐp biÕn ®æi ( ) ( )2 33 3 3log xlog x log x log x3 3 x= = . Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng 
 víi 3 3 3log x log x log xx x 6 x 3+ ≤ ⇔ ≤ . 
- LÊy l«garit c¬ sè 3 hai vÕ, ta ®−îc: ( )3log x3 3 3 3log x log 3 log x.log x 1 ≤ ⇔ ≤ 
 ( )23 3 1 log x 1 1 log x 1 x 3.3⇔ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤ 
- VËy ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 
1
x 3
3
≤ ≤ . 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: 1 2
3
1 2xlog log 0
1 x
+ 
> + 
Lời giải: 
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 
2
2
1 2x 1 2x xlog 0 1 0
x 1 x 01 x 1 x 1 x
 x 0
1 2x 1 2x 1 x 1log 1 2 0
1 x 1 x 1 x
+ + 
> > >    + + +⇔ ⇔ ⇔ ⇔ >   
+ + − > −  < < <
 + + + 
- VËy x 0> lµ nghiÖm cña bÊt ph−¬ng tr×nh. 
BAØI TAÄP 
 Giải các bất phương trình sau: 
 1) 
2
0,7 6
x xlog log 0
x 4
 +
< 
+ 
 2) ( )23x xlog 3 x 1− − > 
 3) ( ) ( ) ( ) ( )21 1 255 5
5 25
log x 5 3log x 5 6log x 5 4log x 50 2 0− + − + − − − + ≤ 
2. PHÖÔNG PHAÙP ÑAËT AÅN PHUÏ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: 
x x 2
x x
2.3 2 1
3 2
+
− ≤
−
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0≠ . 
- Chia cả tử và mẫu cho x2 , ta ñược: 
x
x x 2
xx x
32. 4
2.3 2 21 1
3 2 3 1
2
+
 
− 
−  ≤ ⇔ ≤
−  
− 
 
- §Æt ( )
x3
t , 0 t 1
2
 
= < ≠ 
 
. Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi 
2t 4 1 0
t 1
−
− ≤
−
x
3
2
t 3 3
 0 1 t 3 1 3 0 x log 3
t 1 2
−  
⇔ ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ ⇔ < ≤ 
−  
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm 3
2
0 x log 3< ≤ . 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( ) ( )
3
4 2 2
2 1 2 12
2 2
x 32log x log 9log 4log x
8 x
   
− + <   
  
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0> . 
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 
( ) ( )
( ) ( )
( ) [ ] [ ] ( )
1 1
3
4 2 2
2 2 22 2
24 3 2 2
2 2 2 2 2 2
24 2
2 2 2 2
x 32
 log x log 9 log 4 log x
8 x
 log x log x log 8 9 log 32 log x 4 log x
 log x 3log x 3 9 5 2log x 4 log x
− −
   
⇔ − + <   
  
   ⇔ − − + − <   
⇔ − − + − <
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- §Æt ( )2t log x= , bÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi 
4 2 2
2
2
 t 13t 36 0 4 t 9 
1 13 log x 23 t 2 x
 8 42 log x 32 t 3 4 x 8
− + < ⇔ < <
  
− < < −− < < − < <  ⇔ ⇔ ⇔  < << <
< <  
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( )1 1, 4,8
8 4
 
∪ 
 
. 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: 2x 10 3 x 2 x 5 1 3 x 25 4.5 5− − − − + −− < 
Lời giải: 
- §Æt x 5 3 2X 5 0, Y 5 0x− −= > = > .Khi ®ã bÊt ph−¬ng tr×nh cã d¹ng 
2X 4X 5Y
Y
− < (1) 
- Do Y 0> nªn 
( ) ( )( )2 2 2 2
x 5 1 3 x 2
1 X 4XY 5Y X 4XY 5Y 0 X Y X 5Y 0
 X 5Y 0 X 5Y 5 5
 x 5 1 3 x 2 x 6 3 x 2
− + −
⇔ − < ⇔ − − < ⇔ + − <
⇔ − < ⇔ < ⇔ <
⇔ − < + − ⇔ − < −
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau 
 ( ) x 2 0I 2 x 6
x 6 0
− ≥
⇔ ≤ <
− <
 ( ) ( ) ( )2 2
x 6 0 x 6 x 6
II 6 x 18
x 21x 54 0 3 x 189 x 2 x 6
− ≥  ≥ ≥
⇔ ⇔ ⇔ ≤ <  
− + < < <
− > −  
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 2 x 18≤ < . 
BAØI TAÄP 
 Giải các bất phương trình sau: 
 1) ( ) ( )x x x15 1 5 1 24+ + − = 
 2) ( )2 2 22 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3+ − > −
 3) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − > . 
3. PHÖÔNG PHAÙP SÖÛ DUÏNG TÍNH ÑÔN ÑIEÄU CUÛA HAØM SOÁ 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )5 4log 3 x log x+ > 
Lời giải: 
- ðiều kiện x 0> . 
- §Æt t4t log x x 4= ⇔ = , bÊt ph−¬ng tr×nh trë thµnh ( )t5log 3 2 t+ > 
t
t t
t
3 23 2 5 1
5 5
 
⇔ + > ⇔ + > 
 
- Hµm sè ( )
t
t
3 2
t
5 5
f  = +  
 
nghÞch biÕn trªn ℝ vµ ( )1 1.f = 
- BÊt ph−¬ng tr×nh trë ( ) ( )t 1 t 1f f> ⇔ < , ta ®−îc 4log x 1 0 x 4.< ⇔ < < 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 0 x 4< < . 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: 
2
2
3 2
x x 1log x 3x 2
2x 2x 3
+ +
> − +
− +
Lời giải: 
- §Æt ( )2 2u x x 1; v 2x 2x 3 u 0, v 0= + + = − + > > . Suy ra 2v u x 3x 2− = − + . 
- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 
( )3 3 3 3 3ulog v u log u log v v u log u u log v v 1
v
= − ⇔ − = − ⇔ + > + 
- XÐt hµm sè ( ) ( )'3 1t log t t, ta co: t 1 0, t 0t ln 3f f= + = + > ∀ > nªn hàm số ñång biÕn khi 
t 0.> Tõ (1) ta cã ( ) ( )f u f v u v> ⇔ > 
2 2
2
 x x 1 2x 2x 3
 x 3x 2 0
 1 x 2.
⇔ + + > − +
⇔ − + <
⇔ < <
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 1 x 2< < . 
Lưu ý: 
1. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log loga bu v< , ta th−êng gi¶i nh− sau: 
§Æt logat u= (hoÆc logbt v= ) ®−a vÒ bÊt ph−¬ng tr×nh mò vµ sö dông chiÒu biÕn thiªn cña 
hµm sè. 
2. Víi bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng log log loga a a
u
v u u u v v
v
< − ⇔ + < + . Ta xÐt hµm sè 
( ) logaf t t t= + ®ång biÕn khi 0t > , suy ra ( ) ( ) .f u f v u v< ⇔ < 
BAØI TAÄP 
 Giải các bất phương trình sau: 
 1) ( )3 x6 64log x x log x+ ≥ 
 2) x x x2.2 3.3 6 1.+ > − 
 3) x x x x16 3 4 9 .− < + 
4. PHÖÔNG PHAÙP VEÕ ÑOÀ THÒ 
Ví dụ . Giải bất phương trình: 
x
5 xlog
5 x 0
2 3x 1
+
− <
− +
Lời giải: 
- BÊt ph−¬ng tr×nh trªn t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ 
( )
x
5 xlog 0
I 5 x
2 3x 1 0
+
>
−

− + <
 vµ ( )
x
5 xlog 0
II 5 x
2 3x 1 0
+
<
−

− + >
- Gi¶i hÖ (I) 
 + 
5 x 5 x 2xlog 0 1 0 0 x 5
5 x 5 x 5 x
+ +
> ⇔ > ⇔ > ⇔ < <
− − −
 + x2 3x 1< − , ta vÏ ®å thÞ cña hai hµm sè xy 2= vµ y 3x 1= − trªn cïng mét hÖ trôc to¹ ®é. 
Khi ®ã ta ®−îc nghiÖm lµ 1 x 3.< < 
- Do ®ã hÖ (I) cã nghiÖm 1 x 3.< < 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
- Gi¶i hÖ (II) 
 + 
5 x 5 5 x 55 x 5 xlog 0 0 1 5 x 02x
x 0 x 55 x 5 x 0
5 x
− < <
− < <+ + 
< ⇔ < < ⇔ ⇔ ⇔ − < < 
− − < 
−
. 
 + x2 3x 1> − x 1⇔ . 
- Do ®ã hÖ (II) cã nghiÖm 5 x 0.− < < 
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm ( 5,0) (1,3)− ∪ . 
BAØI TAÄP 
 Giải bất phương trình sau: 
1 x
x
2 2x 1 0
2 1
−
− + ≤
−
. 
5. MOÄT SOÁ PHÖÔNG PHAÙP KHAÙC 
Ví dụ 1. Giải bất phương trình: ( )2 3 1log x 2 4 log 8
x 1
 
− + ≤ + 
− 
Lời giải: 
- §iÒu kiÖn x 2.≥ 
- Ta cã nhËn xÐt sau: 
 + ( )2x 2 4 4 log x 2 4 2 VT 2.− + ≥ ⇔ − + ≥ ⇔ ≥ 
 + 
1
x 2 x 1 1 x 1 1 1 
x 1
≥ ⇔ − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤
−
 3
1 1
 8 9 log 8 2 VP 2
1 1x x
 
⇔ + ≤ ⇔ + ≤ ⇔ ≤ 
− − 
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm khi vµ chØ khi 
VT 2 x 2 0
 x 2
VP 2 x 2
 =
− = 
⇔ ⇔ = 
= = 
. 
- VËy bÊt ph−¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 2. 
Ví dụ 2. Giải bất phương trình: ( )xx 9log log 3 9 1 − <  
Lời giải: 
- §Ó ( )x9log 3 9− cã nghÜa, ta cÇn cã x x 23 9 3 3 x 2.> ⇔ > ⇔ > 
- Víi ®iÒu kiÖn trªn bÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi 
( )
( )
9 x x
9
x 2
3x 9 1
log 3x 9 0 
3 9 9
log 3x 9 x
 >
− >
− > ⇔ 
− <
− <
- §Æt ( )x3 t, t 0= > , ta cã hÖ x 32 t 10 t 0 3 10 x log 10t t 9 0
>
⇔ > ⇔ > ⇔ >
− + >
. 
Ví dụ 3. Giải bất phương trình: ( )2 3 4 2 22 25x 6x x x log x x x log x 5 5 6 x x+ − − > − + + + − 
Lời giải: 
- ðiều kiện: 2
x 0
 0 x 3
6 x x 0
>
⇔ < ≤
+ − ≥
- BÊt ph−¬ng tr×nh ®· cho t−¬ng ®−¬ng víi ( )( ) ( )22x log x 5 6 x x 1 x 0 *− + − + − > 
- Do 2 2 2x 3 x log x 3log 3 log 32 5≤ ⇒ ≤ < = . VËy khi 0 x 3< ≤ th× 2xlog x 5 0,− < do ®ã 
Biên soạn: GV HUỲNH ðỨC KHÁNH 
( ) 22
0 x 3 0 x 3 5
* x 3
2x 3x 5 0 26 x x 1 x 0
< ≤ < ≤
⇔ ⇔ ⇔ < ≤ 
− − >+ − + − < 
- VËy nghiÖm 
5
x 3.
2
< ≤ 
Ví dụ 4. Giải bất phương trình: ( )2 2 x x 1 24x 8 2 x 4 x x .2 x.2 2 x++ − > + − + − 
Lời giải: 
- ðiều kiện: 2 x 2− ≤ ≤ (1) 
- BÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng víi ( )( )x 24 x.2 x 1 2 2 x 0− − + − > (2) 
- Tõ (1) ta cã 
3
x 2 2x 2 x.2 2.2 2.2 4.≤ ⇒ ≤ < = . Do ®ã (2) t−¬ng ®−¬ng víi 
 2
2
2 x 2
 2 2 x 1 x
x 1 2 2 x 0

− ≤ ≤
⇔ − > −
− + − >
 (3) 
- (3) t−¬ng ®−¬ng víi hai hÖ sau 
 + ( )
22 x 0
I : 1 x 2
1 x 0
 − ≥
⇔ < ≤
− <
 + ( ) ( ) ( )2 22
x 11 x 0 x 1
II : 1 x 175x 2x 7