Bài giảng Toán Lớp 9 - Bài: Hệ thức vi-et và các ứng dụng của vi-et - Phạm Thu Hà

KIỂM TRA BÀI CŨ: 
Nêu công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a khác 0) trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 và x 2 . Tính tổng x 1 + x 2 và tích x 1 .x 2 
Xét phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
  = b 2 – 4ac 
Nếu  > 0, thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 
HỆ THỨC VI-ET 
VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA VI-ET 
Giáo viên thực hiện: PHẠM THU HÀ 
Học viện Toán T ư Duy 
Ngõ 71, khu dịch vụ 3 Văn Phú 
Email: thuhak52@gmail.com 
Điện thoại: 0834198000 
Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì: 
Định lý Vi-ét: 
Chú ý: 
Muốn vận dụng được định lí Vi-ét thì phải chứng tỏ phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức là 
 ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0. 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
I/ Hệ thức Vi-ét: 
Dạng 1: Không giải phương trình, tính tổng và tích của các nghiệm 
Phương pháp: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Chú ý: Nếu chưa cho sẵn là phương trình có 2 nghiệm cần chứng minh phương trình có 2 nghiệm đã rồi mới tính tổng và tích hai nghiệm 
Bài toán 1: 
Biết phương trình x 2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm Tính tổng và tích của 2 nghiệm đó 
HD: 
Phương trình x 2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et: 
Bài toán 2: 
Biết phương trình x 2 + 3x – 7 = 0 có hai nghiệm Tính tổng và tích của 2 nghiệm đó 
Dạng 2: Nhẩm nghiệm của phương trình 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 3 : Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trình sau: 
HD: 
a) Phương trình x 2 + 5x + 6 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et: 
Phương trình x 2 + 5x + 6 = 0 có hai nghiệm: 
a) 
b ) 
Phương pháp: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 
Chú ý: Nếu chưa cho sẵn là phương trình có 2 nghiệm cần chứng minh phương trình có 2 nghiệm đã rồi mới tính tổng và tích hai nghiệm 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Chú ý: Một vài biến đổi cơ bản 
Bài toán 4: 
Biết phương trình x 2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm Tính: 
a) 
HD: 
Phương trình x 2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et: 
Ta có: 
Phương pháp: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 4: 
Biết phương trình x 2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm Tính: 
a) 
HD: 
Phương trình x 2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm thỏa mãn hệ thức Vi-et: 
Ta có: 
b ) 
Chú ý: Một vài biến đổi cơ bản 
Phương pháp: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức liên hệ giữa 2 nghiệm 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 4: 
Biết phương trình x 2 – 5x – 1 = 0 có hai nghiệm Tính: 
c ) 
d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Chú ý: Một vài biến đổi cơ bản 
Phương pháp: Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn: 
Chú ý: 
Muốn vận dụng được định lí Vi-ét thì phải chứng tỏ phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm, tức là  ≥ 0 hoặc ’ ≥ 0. 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Khi đó: 
Với: 
t a có: Nếu 
Hay phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 
Mặt khác: 
t ức là a và c trái dấu. Hay 
Kết luận: Với ac < 0 thì phương trình bậc hai luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 
Dạng 4: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp: 
Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 5: Cho PT: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 . Tìm m để phương trình: 
+ có 2 nghiệm phân biệt 
+ có nghiệm 
+ có 2 nghiệm trái dấu 
+ có 2 nghiệm cùng dấu 
 2 nghiệm cùng dương 
 2 nghiệm cùng âm 
a) có nghiệm 
b ) có 2 nghiệm trái dấu 
c) có 2 nghiệm cùng dương 
HD: 
a) Để phương trình: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 có nghiệm thì: 
b ) Để phương trình: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 có 2 nghiệm trái dấu thì: 
c ) Để phương trình: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 có 2 nghiệm cùng dương thì: 
Dạng 4 : Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp: 
Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 5: Cho PT: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 . Tìm m để phương trình: 
+ có 2 nghiệm phân biệt 
+ có nghiệm 
+ có 2 nghiệm trái dấu 
+ có 2 nghiệm cùng dấu 
 2 nghiệm cùng dương 
 2 nghiệm cùng âm 
d) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn: 
HD: 
d) Để phương trình: x 2 – 2 x + m + 4 = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì: 
Khi đó theo hệ thức Vi-et ta có: 
Để 
t hì: 
KL: 
Dạng 4 : Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 
Phương pháp: 
Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 6 : Cho PT: x 2 – 2x – m = 0 . Tìm m để phương trình: 
+ có 2 nghiệm phân biệt 
+ có nghiệm 
+ có 2 nghiệm trái dấu 
+ có 2 nghiệm cùng dấu 
 2 nghiệm cùng dương 
 2 nghiệm cùng âm 
d) có 2 nghiệm dương phân biệt thỏa mãn: 
a) có nghiệm 
b ) có 2 nghiệm trái dấu 
c) có 2 nghiệm cùng âm 
Dạng 5: Xác định m để pt có 1 nghiệm x = x 0 , tìm nghiệm còn lại 
Phương pháp: 
Thay x = x 0 vào phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) để tìm m . Sau đó áp dụng hệ thức Vi-et để tính nốt nghiệm còn lại 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 7: Với giá trị nào của m thì phương trình x 2 – mx + 18m = 0 có một nghiệm x = – 3 Tính nghiệm còn lại 
HD: 
Vì phương trình x 2 – mx + 18m = 0 có một nghiệm x = – 3 nên ta có: 
KL: 
Vì phương trình x 2 – mx + 18m = 0 có hai nghiệm thỏa mãn: 
Bài toán 8: Với giá trị nào của m thì phương trình mx 2 – x – 5m 2 = 0 có một nghiệm x = – 2 Tính nghiệm còn lại 
?2 
Cho phương trình 2x 2 – 5x + 3 = 0. 
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c 
c) Dùng định lí Vi-ét để tìm x 2. 
b) Chứng tỏ rằng x 1 = 1 là một nghiệm của phương trình. 
Cho phương trình: 3x 2 + 7x + 4 = 0. 
a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c 
b) Chứng tỏ rằng x 1 = -1 là một nghiệm của phương trình. 
c) Tìm nghiệm x 2 . 
?3 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia là 
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = -1 , còn nghiệm kia là 
Nếu x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ) 
thì 
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = 1, còn nghiệm kia là 
Trường hợp 1: 
Trường hợp 2: 
Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a - b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm là x 1 = -1, còn nghiệm kia là 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
 VD: Cho ph ư ơng trình 	(1) 
Tìm m để ph ư ơng trình có hai nghiệm thoả mãn: 
a ) 
b ) 
c ) Một nghiệm gấp ba nghiệm kia 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Ta có : 
Suy ra phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: 
và nghiệm còn lại 
a) 
HD: 
Bài toán: Tìm hai số biết tổng của chúng bằng S và tích của chúng bằng P. 
Gọi số thứ nhất là x 
x(S - x) = P 
Theo đề bài ta có phương trình 
Nếu  = S 2 – 4P ≥ 0 thì phương trình (1) có nghiệm. 
Các nghiệm này chính là hai số cần tìm. 
thì số thứ hai là S - x 
hay x 2 – Sx + P = 0 (1) 
Nếu biết tổng và tích của hai số thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào ? 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
II/ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: 
Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là nghiệm của phương trình 
 x 2 – Sx + P = 0. 
Điều kiện để có hai số đó là S 2 – 4P ≥ 0. 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Dạng 6: Tìm hai số khi biết tổng và tích 
Phương pháp: 
Nếu với điều kiện 
 thì a , b là nghiệm của phương trình: 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 9: Tìm 2 số a, b trong các trường hợp sau 
HD: 
KL: Vậy 
h oặc 
b) a + b = – 5 và a.b = – 24 
a) a + b = 14 và a.b = 40 
Ta có: 
Nên 2 số a, b là nghiệm của phương trình: 
c ) a + b = 4 và a.b = 5 
d) a + b = 2 và a.b = – 1 
Bài toán 10: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có diện tích là 156m 2 và chu vi là 50m. Tìm các kích thước của vườn hoa? 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Giải 
Gọi các kích thước của vườn là a, b(m) 
Theo đề ta có: a + b = 25; a.b = 156 
a 
b 
Ta có: S 2 – 4P = 25 2 – 4 . 156 = 1 > 0 
Nên hai số a, b là nghiệm của phương trình 
 x 2 – 25x + 156 = 0. 
Giải ra ta được x 1 = 13; x 2 = 12 
Vậy các kích thước của vườn hoa là 13m, 12m 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 10: Vườn hoa trường là một hình chữ nhật, có diện tích là 156m 2 và chu vi là 50m. Tìm các kích thước của vườn hoa? 
Dạng 7 : Lập phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện 
Phương pháp: 
Nếu với điều kiện 
 thì a , b là nghiệm của phương trình: 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 11: Lập PT bậc hai có 2 nghiệm: 
HD: 
a) ; 
Ta có: S = 18; P = 80 
Phương trình bậc hai nhận ; 
 là nghiệm là: 
b) ; 
Dạng 7 : Lập phương trình bậc 2 có nghiệm thỏa mãn điều kiện 
Phương pháp: 
Nếu với điều kiện 
 thì a , b là nghiệm của phương trình: 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Vì x 1 , x 2 là nghiệm của PT: x 2 – 6x + 2 = 0 nên 
HD: 
Ta có: 
Phương trình bậc hai nhận là nghiệm là: 
Hoặc 
Bài toán 12: Biết x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình: 
x 2 – 6x + 2 = 0. Lập phương trình bậc hai nhận là nghiệm 
Dạng 8 : Tìm hai số khi biết tổng và tích 
Phương pháp: 
 Cách 1: 
 HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG 
Bài toán 13: Cho phương trình: 
HD: 
KL: Vậy 
l à hệ thức cần tìm 
+ Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiệm 
x 2 – (m + 2)x + (2m – 1) = 0	(1). Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm độc lập với m 
Để phương trình (1) có 2 nghiệm thì 
Theo hệ thức Vi-et ta có: 
+ Bước 2: Tính hệ thức vi-et 
+ Bước 3: Khử tham số trong hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức giữa S và P, đó là hệ thức độc lập giữa các nghiệm của phương trình 
+ Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiệm 
+ Bước 2: Giải pt tìm nghiệm 
+ Bước 3: Tìm hệ thức (khử tham số 
 Cách 2: