Bài giảng Hình học 7 - Chương II - Bài: Ôn tập chương 2

 nhau hoặc 2 góc bằng nhau là tam giác cân. 
 cân tại A có: 
AB= AC: cạnh bên 
BC: cạnh đáy 
 : góc ở đỉnh 
 ở đáy 
b) Tam giác vuông cân 
Định nghĩa: 
+) Tam giác vuông cân là tam giác vừa vuông vừa cân 
+) Tam giác vuông cân là tam giác cân có một góc vuông 
+) Tam giác vuông cân là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng nhau 
- Tính chất: 
Tam giác vuông cân có mỗi góc nhọn bằng 
DHNB: 
+ Tam giác vuông có 1 góc nhọn bằng là tam giác vuông cân 
+ Tam giác cân có một góc vuông là tam giác vuông cân 
+ Tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông bằng nhau là tam giác vuông cân 
c) Tam giác đều 
Định nghĩa: Tam giác đều là tam giác có 3 cạnh bằng nhau 
- Tính chất: Tam giác đều có 3 góc bằng nhau, mỗi góc bằng 
DHNB: 
+) Tam giác có 3 cạnh bằng nhau hoặc 3 góc bằng nhau là tam giác đều 
+) Tam giác cân có 1 góc bằng là tam giác đều 
 ABC vuông tại A 
BC 2 =AB 2 + AC 2 
 GT 
 KL 
 ABC 
 GT BC 2 =AB 2 +AC 2 
KL ABC vuông tại A 
A 
B 
C 
A 
B 
C 
Định lý 
Py-ta-go 
Thuận 
Đảo 
Định lý 
Py-ta-go 
Thuận 
Đảo 
4. Định lý Pytago 
Định lý Pytago thuận: 
A 
B 
C 
Hay: 
Hay: = 
 ABC vuông tại B có: = lý pytago) 
b) Định lý Pytago đảo 
A 
B 
C 
 ABC có: = 
=> ABC vuông tại B lý pytago đảo) 
II. Bài tập: 
Bài 1. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC . Kẻ BH, CK vuông góc với AM. 
CMR : BH // CK; BH = CK. 
CMR : BK // CH; BK = CH. 
c) Gọi E là trung điểm của BK, F là trung điểm của CH. CMR : E, M, F thẳng hàng. 
d) CMR : tam giác AEF cân. 
GT 
 , MB=MC 
BH ⊥AM, CK⊥AM 
KL 
cmr : BH // CK; BH = CK. 
cmr: BK // CH; BK = CH. 
c) BE=EK, CF=FH. 
cmr : E, M, F thẳng hàng. 
d) CMR : tam giác AEF cân. 
Xét MBH và MCK có: 
 = = (BH AM, CK AM) 
BM=CM (gt) 
 = (đối đỉnh) 
=> MBH = MCK (ch-gn) 
=>BH=CK (2 cạnh tg ứng) 
Có BH AM (gt) 
 CK AM (gt) 
=> BH//CK (từ vg góc đến song song) 
b) Vì MBH = MCK (cmt) 
=> MH=MK (2 cạnh tg ứng) 
Xét MCH và MBK có: 
BM=CM (gt) 
 = (đối đỉnh) 
=> MCH = MBK (c-g-c) 
=> BK=CH (2 cạnh tg ứng) 
MH=MK (cmt) 
 = (2 góc tg ứng) 
Có = (cmt), mà 2 góc này ở vtri slt 
=> BK//CH (2 cạnh tg ứng) 
c) Có EB=EK= (gt) 
 FH=FC= (gt) 
 BK=HC (cmt) 
=> EB=EK=FH=FC 
Xét MBE và MCF có: 
BM=CM (gt) 
 = (cmt) 
=> = MCF (c-g-c) 
=> ME=MF (2 cạnh tg ứng) 
BE=FC (cmt) 
 = (2 góc tg ứng) 
Lại có: + = ) 
=> + = 
 = 
=> E, M, F thẳng hàng 
d) Nối BF 
Xét và có: 
 = (slt, BK//HC) 
BF chung 
=> = (c-g-c) 
BE=FH (cmt) 
=> = (2 góc tg ứng), mà 2 góc này ở vị trí slt 
=> EF//BH (từ vg góc đến song song) 
Lại có: BH (gt) 
=> AK (từ song song đến vg góc) 
=> = 
Xét và có: 
AM chung 
=> = (c-g-c) 
ME=MF (cmt) 
 = 
=> AE=AF (2 cạnh tg ứng) 
=> AEF cân tại A (dhnb cân) 
Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và CB lấy theo thứ tự điểm D và E sao cho BD = CE. 
a) CMR : tam giác ADE cân 
b) Gọi M là trung điểm của BC. CMR : AM là tia phân giác của và 
c) Từ B và C kẻ BH, CK theo thứ tự vuông góc với AD và AE. CMR : BH = CK. 
d) CMR : HK // BC. 
e) Cho HB cắt CK ở N. CMR : A, M, N thẳng hàng. 
a) Vì ABC cân tại A (gt) 
=> AB=AC (đn tgc); tgc) 
Xét và có: 
AB=AC (cmt) 
 (cmt) 
=> = ACE (c-g-c) 
BD=EC (gt) 
Có = ) 
 = ) 
Mà (cmt) 
=> 
=> AD=AE (2 cạnh t.ư) 
=> ADE cân tại A (dhnb tgc) 
b) Có MD=MB+BD 
ME=MC+CE 
Mà MB=MC (gt), BD=CE (gt) 
=> MD=ME 
Xét và có: 
AD=AE (cmt) 
MD (cmt) 
=> = AME (c-c-c) 
AM chung 
=> , (các góc t.ứ) 
Có (cmt) => AM là pg của 
Có = ) 
Mà (cmt) 
=> = 
=> AM 
c) Vì = ACE (cmt) => góc t.ư) 
Xét và có: 
 (BH ; CK ) 
AB (cmt) 
=> = AKC (ch-gn) 
 (cmt) 
=> BH =CK (2ctu) 
d) Có = AKC (cmt) 
=> AH =AK (2ctu) 
=> AHK cân tại A (dhnb tgc) 
=> (tctgc) (1) 
Có ADE cân tại A (cmt) 
=> (tctgc) (2) 
Từ (1) và (2) => = , mà 2 góc này ở vị trí đv 
=> HK // DE (dhnb 2dt //) 
e) 
Xét và có: 
 (BH ; CK ) 
AN chung 
=> = AKN (ch-cgv) 
 (cmt) 
=> (2gtu) 
=> AN là pg của 
Mà AM là pg của (cmt) 
=> A, M, N thẳng hàng. 
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, d là đường thẳng bất kỳ qua A (d không cắt đoạn BC). Từ B và C kẻ BD và CE cùng vuông góc với d. 
a) CMR : BD // CE. 
b) CMR : . 
c) CMR : . 
d) Gọi M là trung điểm của BC. 
CMR : và tam giác DME vuông cân. 
Có BD d (gt) 
 CE d (gt) 
=> BD//CE (từ vg góc đến song song) 
b) Có 
=> 
=> = 
 ABC vuông tại D (BD d )=> (tctgv) 
=> (tcbc) 
Xét và có: 
 (BD ; CE ) 
AB ( ABC vuông cân tại A) 
=> = (ch-gn) 
 (cmt) 
c) Vì = (cmt) 
=> BD =AE, DA = EC (các ctu) 
=> BD+EC = AE+DA=DE 
d) => AB=AC (tc tgvc) 
=> = (c-c-c) 
=> gtu) 
Lại có: ) 
=> = :2 = 
 (2 gtu) 
 (cmt) => = :2 = 
 = 
 = 
Mà = ( = ) 
=> = (tcbc) 
 MAC có: = :2 = vuông cân ở M 
=> MA =MC (tctgvc) 
Xét DAM và có: 
MA=MC (cmt) 
 = (cmt) 
=> = (c-g-c) 
 =EC(cmt) 
=>DM =ME (2ctu); = gtu) 
Có = + 
Mà = (cmt) 
=> = + = 
DM =ME (cmt) => tại M, mà = 
=> DME vuông cân tại M (dhnb tgvc) 
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A ( ), lấy M . Từ M kẻ MH // AB (H ), kẻ MI // A C (I ). 
a) CMR : . 
b) CMR : AI = HC. 
c) Lấy N sao cho HI là trung trực của MN. 
CMR : IN = IB. 
d) Gọi giao điểm NH và AB là D. CMR : Chu vi không phụ thuộc vào vị trí điểm M trên BC. 
a) Xét và có: 
 (slt; MI//AC) 
IH chung 
=> = (g-c-g) 
 (slt, MH//AB) 
b) = (cmt) => AI = HM (2 ctu) (1) 
MH//AB (gt) => (đv) 
Lại có: ( ABC cân tại A) 
=> = (tcbc) 
=> C cân tại H (dhnb tgc) 
=> HM =HC (đn tgc) (2) 
Từ (1) và (2) => HC =AI 
 IN =IB 
IN =IM 
IB=IM 
 = (c-g-c) 
 IBM cân tại I 
 ( ABC cân tại A) 
 = (đv, MI//AC) 
c) Gọi K là giao điểm của HI và NM 
=> HK là đttruc của NM 
d) Chu vi ADH không đổi 
AD+ AH +DH không đổi 
AH=IB (=IM) 
 = 
AH=IM 
DH=DI 
 DHI cân tại D 
 NIH = 
NI=AH (=IM) 
IH chung 
NH=AI (=HM) 
NH=HM 
 = chung, chung) 
Bài 5. Cho đoạn thẳng BC. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là BC, vẽ các tia Bx, Cy cắt nhau tại A sao cho . Kẻ . Trên tia đối của tia Bx, lấy E sao cho BE = BH. Gọi D là giao điểm của EH và AC. 
a) CMR : và cân. 
b) Trên cạnh BC lấy B’ sao cho H là trung điểm của BB’. CMR : cân. 
c) CMR : cân. 
d) CMR : AE = HC. 
a) cân tại D 
 là góc ngoài của BEH cân tại B) 
BH=BE (gt) 
 cân tại D 
 = 
 cân tại D 
b) ’ cân tại A 
AB = AB’ 
 = ’H (c-g-c) 
c) cân tại B’ 
( là góc ngoài của 
 = 
 . (gt) 
 . 
d) AE =HC 
AB = B’C (=AB’) 
B’C = AB’ 
 cân tại B’ (cmt) 
Bài 6. Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia AM lấy điểm N sao cho MN = AM. 
a) CMR : CN // AB . 
b) CMR : 
c) Dựng ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác: tam giác ABD và tam giác ACE vuông cân tại A. CMR : BE = CD và 
d) CMR : AN = DE và . 
e) Kẻ . CMR : AH đi qua trung điểm của DE. 
a) CN//AB 
 = (c-g-c) 
b) 
BC chung 
AB =CN 
 = 
 = 
c) BE = CD 
 (= 
 BE 
Gọi BE = , AB = 
 (đđ) 
 + 
 = 
 AND vuông tại A 
d) AN = DE 
AB=AD 
AE =BN 
 = 
BN=AC 
 = 
BN//AC 
 = 
 + = 
 AN 
Gọi AN = 
 (đđ) 
 + 
 + 
e) Gọi AH = 
Q là tđ của DE 
QD 
DE=AN 
QD =AM 
MA 
 = 
AD =AB 
 = 
 + 
 = 
 ABH vuông tại H 
Bài 7. Cho đoạn thẳng AB và điểm M nằm giữa A và B. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tam giác đều MAC và MBD. Các tia AC và BD cắt nhau tại O. 
a) CMR : đều 
b) CMR : MC = OD; MD = OC. 
c) CMR : AD = BC. 
d) Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AD và BC. CMR : MI = MK và đều. 
e) Gọi E là giao điểm của AD và BC. Tính 
a) 
AM = AC = CM (đn đều) 
 đều) 
DM = DB = BM (đn đều) 
 đều) 
 => đều (dhnb 
b) Có 
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 
MC//BO (dhnb 2 đt //) 
Có 
Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 
MD//AO (dhnb 2 đt //) 
Xét và có: 
OM chung 
=> = ( g-c-g ) 
 (cmt) 
MD=OC, MC=OD (các cạnh tương ứng) 
c) 
Có OD = OB - DB 
AC = OA - OC 
Có OC =MD (cmt), MD = DB (cmt) => OC = DB (tc bc) 
Mà OB = OA (cmt), OC = DB (cmt) 
=> OD = AC 
Xét và có: 
OD = AC (cmt) 
=> = ( c-g-c ) 
 (cmt) 
OA = AB 
AD=BC (các cạnh tương ứng) 
d) MI=MK 
 = 
 MB=MD (cmt) 
DI=BK 
DI= BK=KC= 
AD = BC (cmt) 
 = 
MD//AO 
 = 
e) 
 = 
Bài 8. Cho tam giác ABC đều. M, N là trung điểm của AB và AC. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O. 
a) CMR : ON = OM . 
b) Gọi P là trung điểm của BC. CMR : A, O, P thẳng hàng. 
c) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AD = CE. Tính 
a) 
AB = AC = BC (đn đều) 
 đều) 
Có AM=MB= 
 AN=NC= 
Mà AB=AC (cmt) 
AM = MB = AN = NC 
 MOB vuông tại M (CM 
=> 
 OC vuông tại N (BN 
=> 
Từ (1), (2) và (3) => 
Xét và có: 
BM=CN (cmt) 
=> = ( g-c-g ) 
 (cmt) 
=> OM = ON (2 cạnh tứ) 
b) A, O, P thẳng hàng 
AO là pgiac của 
AP là pgiac của 
c) 
 =? 
MD=NE 
MA=NC (cmt), AD=CE (gt) 
 = 
A 
D 
E 
B 
C 
8cm 
Bài 9. Cho hình vẽ và cho biết: 
BD = 8cm, AB = 10cm, AC = 17cm. 
a) Tính BC? 
b) Lấy K ∈AE. 
CMR : 
K 
10cm 
17cm 
A 
D 
E 
B 
C 
8cm 
a) BC =? 
BE + CE 
AE=? 
AD//BE (cùng vg góc với BD) 
17cm 
10cm 
CE=? 
K 
A 
D 
E 
B 
C 
8cm 
17cm 
10cm 
K 
 = ( 
 = ( 
 = 
 = 
 = 
 = 
 = 
= (1) 
 = 
 = (2) 
Từ (1) và (2) => 
Bài 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, D là điểm bất kỳ trên cạnh AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C vẽ tia Bx sao cho . Đường thẳng vuông góc với DC vẽ từ D cắt tia Bx tại E. CMR : vuông cân. 
 DEC vuông cân tại D 
Lấy I 
DE = DC 
 BDE = ICD 
 BD=IC 
 (cdung) 
AB = AC ( ABC vg cân) 
 DAI vuông cân tại A 
 = 
 = 
 = 
Bài 11. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB > AC. 
M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia 
MA lấy điểm D sao cho MD = MA. 
CMR : AB = DC và AB // DC. 
 . 
b) cmr: = CDA. Từ đó suy ra AM 
c) Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC. CMR : BE // AM. 
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để AC 
e) Gọi O là trung điểm của AB. CMR : Ba điểm E, O, D thẳng hàng. 
a) AB =CD 
 = 
 MA= MD (gt) 
 MC =MB (gt) 
 (đ