20 Câu hỏi ôn tập Hình học không gian lớp 12 có lời giải

 = 
° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az 
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), 
C(0; a; 0), a a a aG ; ; 0 , S ; ; x
3 3 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . 
° a a 2a a a 2aSA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x
3 3 3 3 3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − = − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
uuur uur uuur
° 
2
1
a a[SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n
3 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
uuur uur r , với 1
an 0; x;
3
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
r 
° 
2
2
a a[SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n ,
3 3
⎛ ⎞= − = − − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
uuur uuur r với 2
an x; 0;
3
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
r . 
° Mặt phẳng (SAB) có cặp vectơ chỉ phương SA, SBuuur uur nên có pháp vectơ 1nr 
z 
x 
x
y
C
B
A 
E 
F 
G 
M 
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 9 
° Mặt phẳng (SAC) có cặp vectơ chỉ phương SA, SCuuur uuur nên có pháp vectơ 2nr 
° Góc phẳng nhị diện (B; SA; C) bằng 60o. 
2
o
2 22 2
2 2
a a a0.x x.0
3 3 9cos60
9x aa a0 x x 0 99 9
+ +
⇔ = = ++ + + +
2
2 2
1 a
2 9x a
⇔ = + 
2 2 2 2 2 a9x a 2a 9x a x .
3
⇔ = = ⇔ = ⇔ = 
° Vậy, ax .
3
= 
BÀI 5 
Câu 1: 
Trong không gian Oxyz, tìm trên Ox điểm A cách đều đường thẳng 
 (d) : 
2
2z
2
y
1
1x +==− và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z = 0. 
Câu 2: 
 Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh bằng 2a 2 , SA vuông 
góc với (ABC) và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính 
góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SE và AF. 
GIẢI 
Câu 1: 
 Gọi A(a; 0; 0) Ox∈ . 
° Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α) : 
2 2 2
2a 2a
d(A; )
32 1 2
α = =+ + 
° (Δ) qua 0M (1; 0; 2)− và có vectơ chỉ phương u (1; 2; 2)=r 
° Đặt 0 1M M u=
uuuuuur r 
° Do đó: d(A; Δ) là đường cao vẽ từ A trong tam giác 0 1AM M 
 0 1
2
0AM M
0 1
[AM ; u]2.S 8a 24a 36d(A; )
M M u 3
− +⇒ Δ = = =
uuuuur r
r 
° Theo giả thiết: d(A; α) = d(A; Δ) 
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 10 
2
2 2 2
2
2a 8a 24a 36 4a 8a 24a 36 4a 24a 36 0
3 3
4(a 3) 0 a 3.
− +⇔ = ⇔ = − + ⇔ − + =
⇔ − = ⇔ =
° Vậy, có một điểm A(3; 0; 0). 
Câu 2: 
Cách 1: 
° Gọi M là trung điểm của BF ⇒ EM // AF 
 · · ·(SA; AF) (EM; AF) SEM⇒ = = 
° ΔSAE vuông tại A có: 
 2 2 2 2 2SE SA AE a 2a 3a= + = + = SE a 3⇒ = 
° 2a 2. 3AF a 6
2
= = 
 a 6EM BM MF ; BF a 2
2
⇒ = = = = 
° 2 2 2 2 2 2SB SA AB a 8a 9a SB 3a= + = + = ⇒ = 
° 2 2 2 2 2 2SF SA AF a 6a 7a SF a 7= + = + = ⇒ = 
° Áp dụng định lý đường trung tuyến SM trong ΔSBF có: 
 2 2 2 21SB SF 2.SM BF
2
+ = + 
2
2 2 2 2 21 15a9a 7a 2SM .2a SM
2 2
⇔ + = + ⇔ = 
° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF 
° Áp dụng định lý hàm Côsin vào ΔSEM có: 
 ·
2 2
2
2 2 2
3a 15a3aES EM SM 2 22 2cos cosSEM .
2.ES.EM 2 2a 62. .a 3
2
+ −+ −α = = = = − = 
 o45 .⇒ α = 
° Dựng AK ME; AH SK.⊥ ⊥ Ta có: a 2AK MF
2
= = và AH (SME)⊥ 
° Vì AF // ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.⇒ = = 
° ΔSAK vuông có: 2 2 2 2 2 21 1 1 1 2 3 a 3AH 3AH SA AK a a a= + = + = ⇒ = 
° Vậy, a 3d(SE; AF)
3
= . 
Cách 2: 
° Dựng hệ trục Axyz, với Ax, Ay, Az 
đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), 
z
a S
A
x
E M 
F y 
C 
C
S 
F
M 
B 
E K
H A 
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 11 
B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a),
a 2 a 6E ; ; 0 ; F(0; a 6; 0)
2 2
−
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
 và a 2M ; a 6; 0
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
. 
° a 2 a 6 a 2SE ; ; a ; AF (a; a 6; 0), SM ; a 6; a
2 2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
uur uuur uuur
° Gọi α là góc nhọn tạo bởi SE và AF.ta có: 
2
2 2
2 2
a 2 a 60. a 6. 0( a) 3a 22 2cos cos(SE; AF) .
2a 6.a 3a 3a0 6a 0. a
2 2
+ −
α = = = =
+ + + +
uur uuur
 o45 .⇒ α = 
° 
2 2 2 2a 6 a 3 a 3 a 3[SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n,
2 2 2 2
⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠
uur uuur r với n ( 2; 0; 1)=r 
° Phương trình mặt phẳng (SEM) qua S với pháp vectơ n : 2x z a 0.+ − =r 
° Khoảng cách từ A đến (SEM): 0 0 a a 2d(A;SEM)
32 1
+ −= =+ 
° Vì AF // EM AF //(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM)⇒ ⇒ = 
° Vậy, a 3d(SE; AF) .
3
= 
ĐỀ 6 
Câu 1: 
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): 
 (P): 2 2 2 22x 2y z m 3m 0 ; (S) : (x 1) (y 1) (z 1) 9+ + − − = − + + + − = . 
 Tìm m để (P) tiếp xúc (S). Với m tìm được xác định tọa độ tiếp điểm. 
Câu : 
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA 
vuông góc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm SC. Chứng minh ΔMAB cân và 
tính diện tích ΔMAB theo a. 
LỜI GIẢI 
Câu 1: 
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 12 
 2(P) : 2x 2y z m 3m 0+ + − − = 
 2 2 2(S) : (x 1) (y 1) (x 1) 9− + + + − = có tâm I(1; -1; 1) và bán kính R = 3. 
 (P) tiếp xúc (S) d[I, (P)] R⇔ = 
22
2
22 2 2
m 3m 1 9 m 22.1 2.( 1) 1.1 m 3m 3 m 3m 1 9
m 5m 3m 1 92 2 1
⎡ + − = =⎡+ − + − −⇔ = ⇔ + − = ⇔ ⇔⎢ ⎢ = −+ − = −⎢ ⎣+ + ⎣
° Vậy, (P) tiếp xúc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi đó (P): 2x + 2y + z – 10 = 0 
° Đường thẳng (d) qua I và vuông góc với (P) có phương trình: 
 x 1 y 1 z 1
2 2 1
− + −= = 
° Tọa độ tiếp điểm là nghiệm của hệ: 
x 32x 2y z 10 0
y 1x 1 y 1 z 1
z 22 2 1
=⎧+ + − =⎧ ⎪⎪ ⇒ =⎨⎨ − + −= = ⎪⎪ =⎩ ⎩
° Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2). 
Câu 2: 
Cách 1: 
° Ta có: SA (ABC) SA AC.⊥ ⇒ ⊥ 
 Do đó ΔSAC vuông tại A có AM là 
trung tuyến nên 1MA SC.
2
= 
° Ta lại có: SA (ABC)
AB BC ( ABC vuông tại B)
⊥⎧⎨ ⊥ Δ⎩ 
 ⇒ SB BC⊥ (định lý 3 đường vuông góc) 
 Do đó ΔSBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên 1MB SC.
2
= 
° Suy ra: MA = MB ⇒ ΔMAB cân tại M. 
° Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K AB)∈ ∈ 
 vì: 
1MH SA aSA (ABC) MH (ABC) 2
BC AB HK AB 1HK BC a
2
⎧ = =⎪⊥ ⊥⎧ ⎧ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨⊥ ⊥⎩ ⎩ ⎪ = =⎪⎩
° ΔMHK vuông tại H có: 2 2 2 2 2 2MK MH HK a a 2a MK a 2= + = + = ⇒ = 
° Diện tích ΔMAB: 
2
MAB
1 1 a 2S .MK.AB .a 2.a
2 2 2
= = = 
Cách 2: 
S 
M 
CH 
B 
K 
A 
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 13 
° ΔABC vuông tại B có: 
2 2 2 2 2 2AC AB BC a 4a 5a
AC a 5
= + = + =
⇒ = 
° Dựng BH AC (H AC),⊥ ∈ ta có: 
⋅ 
2 2AB a aAH
AC a 5 5
= = = 
⋅ 2 2 2 21 1 1 5BH AB BC 4a= + = 
 2aBH
5
⇒ = 
° Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc và 
 2a aA(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0
5 5
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
° Tọa độ trung điểm M của SC là a 5M 0; ; a
2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
° Ta có: a 5 3aMA 0; ; a MA
2 2
⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
uuuur
 2a 3a 3aMB ; ; a MB .
25 2 5
⎛ ⎞= − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
uuur
 suy ra: MA = MB ⇒ ΔMAB cân tại M. 
° Ta có: 
2 2
2 2a 2a[MA; MB] ; ; a [MA; MB] a 2
5 5
⎛ ⎞= − ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
uuuur uuur uuuur uuur
° Diện tích ΔMAB: 
2
2
MAB
1 1 a 2S [MA; MB] .a 2 .
2 2 2
= = =uuuur uuur 
BÀI 7 
Câu 1: 
Cho hình chóp đều S.ABC, đáy ABC có cạnh bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc 
bằng o o(0 90 )ϕ < ϕ < . Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh 
A đến mặt phẳng (SBC). 
Câu 2: 
. Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: 
 (d1) : ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
=
4z
ty
t2x
 ; (d2) : ⎩⎨
⎧
=−++
=−+
012z3y4x4
03yx
 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính 
là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2). 
z
S
2a
M 
C y
a 5
H 
B 
A
K
x a
5
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 14 
GIẢI 
 Câu 1: 
Cách 1: 
° Gọi H là trung điểm của BC. 
° Do S.ABC đều và ΔABC đều nên 
chân đường cao đỉnh S trùng với 
giao điểm ba đường cao là trực tâm O 
của ΔABC và có ΔSBC cân tại S. 
 suy ra: BC SH, BC AH,⊥ ⊥ nên ·SHA = ϕ . 
° Ta có: 1 a 3OH AH .
3 6
= = 
 SHOΔ vuông góc: a 3SO HO.tg tg
6
= ϕ = ϕ và HO a 3SH
cos 6.cos
= =ϕ ϕ 
° Thể tích hình chóp S.ABC: 
2 3
ABC
1 1 a 3 a 3 a tgV .SO.S . tg .
3 3 6 4 24
ϕ= = ϕ = 
° Diện tích ΔSBC: 
2
SBC
1 a 3S .SH.BC
2 12.cos
= = ϕ 
° Gọi h là khoảng cách từ A đến (SBC), ta có: 
3 2
SBC
SBC
1 3.V a tg a 3 a 3V .h.S h 3. : sin
3 S 24 12cos 2
ϕ= ⇒ = = = ϕϕ 
Cách 2: 
° Vì S.ABC là hình chóp đều 
nên chân đường cao đỉnh S trùng 
với tâm O đường tròn (ABC). 
° Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: 
- 2 a 3AO AM
3 3
= = và a 3OM
6
= 
- ·AM BC, SM BC SMA⊥ ⊥ ⇒ = ϕ 
- ΔSOM vuông có: 
a 3SO OM.tg tg
6
= ϕ = ϕ 
° Dựng hệ trục tọa độ Axyz, với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc, A(0; 0; 0), 
a a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3B ; ; 0 ,C ; ; 0 ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0 , S 0; ; tg
2 2 2 2 2 3 3 6
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ϕ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
° Thể tích hình chóp: 
3
ABC
1 a tgV .SO.S
3 24
ϕ= = 
S 
A
O 
B 
H
Cϕ 
C
ϕ 
M 
B x
A
z
S 
O y
Trường THPT Trưng Vương Đào Phú Hùng 
 Trang 15 
° Ta có: a a 3 a 3BS ; ; tg , BC ( a; 0; 0)
2 6 6
⎛ ⎞= − − ϕ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
uur uuur
° 
2 2a 3 a 3[BS; BC] 0; tg ; n
6 6
⎛ ⎞= − ϕ − =⎜ ⎟⎝ ⎠
uur uuur r
° Phương trình mặt phẳng (SBC) qua B với vectơ pháp tuyến n :r 
2 2a a 3 a 3 a 3O x tg y (z 0) 0
2 6 2 6
⎛ ⎞⎛ ⎞− − ϕ − − − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 a 3(SBC) : tg y z tg 0.
2
⇔ ϕ + − ϕ = 
° Khoảng cách d từ A đến (SBC): 
2
a 3 a 3tg .O O tg tg2 a 32d sin .1 2tg 1
cos
ϕ + − ϕ ϕ
= = = ϕϕ +
ϕ
Câu 2: 
 (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương 1u (2; 1; 0)=
r
 (d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương 2u (3; 3; 0)= −
r
 ° AB (3; 0; 4)= −uuur 
° 1 2 1 2AB.[u ; u ] 36 0 AB, u , u= ≠ ⇒uuur r r uuur r r không đồng phẳng. 
° Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau. 
° (d2) có phương trình tham số: 
/
/
x 3 t
y t
z 0
⎧ = +⎪ = −⎨⎪ =⎩
° Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) 
° 1M (d ) M(2t; t; 4)∈ ⇒ , / /2N (d ) N(3 t ; t ; 0)∈ ⇒ + − 
 / /MN (3 t 2t; t t; 4)⇒ = + − − − −uuuur 
° Ta có: 
/ / /
1
/ /
2
MN u 2(3 t 2) (t t) 0 M(2; 1; 4)t 1
N(2; 1; 0)t 13 t 2t (t t) 0MN u
⎧ ⎧⊥ + − − + = ⎧ = − ⎧⎪ ⎪⇒ ⇔ ⇒⎨ ⎨ ⎨ ⎨=+ − + + =⊥ ⎩⎪⎪ ⎩⎩⎩
uuuur r
uuuur r 
° Tọa độ trung điểm I của MN: I(2; 1; 2), bán kính 1R MN 2.
2
= = 
° Vậy, phương trình mặt cầu (S