15 Bộ đề Toán cấp tốc năm 2009 - Đoàn Vương Nguyên

 
 
 
  . 
Chú ý: 1) ( ) 01 2 1 2d d d , d 0⇒ =	 . 2) 1 2 1 2d d u .u 0⊥ ⇔ =
 
. 
b) Góc giữa hai mặt phẳng: ( ) ( )( ) 
P Q
P Q
P Q
n .n
cos P , Q cos n , n
n n
 = =  
 
 
  . 
Chú ý: 1) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0P Q P , Q 0⇒ =	 . 2) ( ) ( ) P QP Q n .n 0⊥ ⇔ =
 
. 
c) Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng: ( )( ) 
d P
d P
d P
u .n
sin d, P cos u , n
u n
 = =  
 
 
  . 
Chú ý: 1) ( )d ⊂ α hoặc ( ) d Pd P u .n 0⇒ =
 
	 . 2) ( ) d Pd P u , n 0 ⊥ ⇔ =  
  
. 
V. MẶT CẦU 
1. Phương trình chính tắc của mặt cầu 
Mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R có phương trình chính tắc là: (S): (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 
2. Phương trình tổng quát của mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 
Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c), bán kính 2 2 2R a b c d 0= + + − > . 
3. Vị trí tương ñối của mặt phẳng và mặt cầu 
Cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) tâm I, bán kính R ta có: 
a) Mặt phẳng không cắt mặt cầu d I,(P) R ⇔ >  . 
b) Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu d I,(P) R ⇔ =  . 
c) Mặt phẳng cắt mặt cầu theo giao tuyến là ñường tròn d I,(P) R ⇔ <  . 
Chú ý: Khi ( )I P∈ thì giao tuyến là ñường tròn lớn có bán kính bằng bán kính mặt cầu. 
. 
E. TÍCH PHÂN 
I. NGUYÊN HÀM 
1. Tính chất 
1) ( )/f(x)dx f(x)=∫ ; 2) a.f(x)dx a. f(x)dx (a 0)= ≠∫ ∫ ; 3) f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx ± = ± ∫ ∫ ∫ . 
2. Bảng nguyên hàm 
Nguyên hàm của hàm số cơ bản Nguyên hàm mở rộng, u = u(x) 
1) a.dx ax C, a= + ∈∫ ℝ 
2) 
1x
x dx C, 1
1
α+
α = + α ≠ −
α +∫ 
3) dx ln x C, x 0
x
= + ≠∫ 
4) 
2
dx 1
C
xx
= − +∫ 
1) adu au C, a= + ∈∫ ℝ 
2) 
1u
u du C, 1
1
α+
α = + α ≠ −
α +∫ 
3) du ln u C, u 0
u
= + ≠∫ 
4) 
2
du 1
C
uu
= − +∫ 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 19 
5) dx 2 x C
x
= +∫ 
6) x xe dx e C= +∫ 
7) 
x
x aa dx C
ln a
= +∫ 
8) cos xdx sin x C= +∫ 
9) sin xdx cos x C= − +∫ 
10) 
2
1
dx tan x C
cos x
= +∫ 
11) 
2
1
dx cotx C
sin x
= − +∫ 
5) du 2 u C
u
= +∫ 
6) u ue du e C= +∫ 
7) 
u
u aa du C
ln a
= +∫ 
8) cosudu sinu C= +∫ 
9) sin udu cosu C= − +∫ 
10) 
2
du
tan u C
cos u
= +∫ 
11) 
2
du
cotu C
sin u
= − +∫ 
ðặc biệt 
Nếu f(x)dx F(x) C= +∫ thì 
1
f(ax b)dx F(ax b) C
a
+ = + +∫ . 
Các công thức thường gặp: 
1) 
11 (ax b)
(ax b) dx . C
a 1
α+
α ++ = +
α +∫ ; 2) 
dx 1
.ln ax b C
ax b a
= + +
+∫ ; 
3) ax b ax b1e .e C
a
+ += +∫ ; 4)
1
cos(ax b)dx .sin(ax b) C
a
+ = + +∫ ; 
5) 1sin(ax b)dx .cos(ax b) C
a
+ = − + +∫ ; 6) 2
dx 1
.tg(ax b) C
acos (ax b)
= + +
+∫
. 
II. PHƯƠNG PHÁP ðỔI BIẾN SỐ 
1. ðịnh nghĩa 
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng ( ); α β và F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó, với ( )a, b ; ∈ α β ta gọi 
hiệu F(b) F(a)− là tích phân từ a ñến b của f(x). 
Ký hiệu: 
b
b
a
a
f(x)dx F(b) F(a) F(x)= − =∫ (công thức Newton - Leibniz). 
Nhận xét: 
b b b
a a a
f(x)dx f(t)dt f(u)du ... F(b) F(a)= = = = −∫ ∫ ∫ . 
2. Tính chất 
Cho hai hàm số f(x), g(x) liên tục trên khoảng ( ); α β và ( )a, b, c ; ∈ α β ta có: 
1) 
a
a
f(x)dx 0=∫ ; 2) 
b a
a b
f(x)dx f(x)dx= −∫ ∫ ; 
3) 
b b
a a
k.f(x)dx k f(x)dx k= ∀ ∈∫ ∫ ℝ ; 4) 
b c b
a a c
f(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫ . 
5) 
b b b
a a a
[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ ; 
6) 
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0 ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥  ∫ , 
b
a
f(x) 0 x a; b f(x)dx 0 ≤ ∀ ∈ ⇒ ≤  ∫ ; 
7) 
b b
a a
f(x) g(x) x a; b f(x)dx g(x)dx ≥ ∀ ∈ ⇒ ≥  ∫ ∫ ; 
8) 
b
a
m f(x) M x a; b m(b a) f(x)dx M(b a) ≤ ≤ ∀ ∈ ⇒ − ≤ ≤ −  ∫ ; 
9) Nếu t biến thiên trên [a; b] thì 
t
a
G(t)= f(x)dx∫ là một nguyên hàm của f(t) thỏa G(a) = 0. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 20 
3. Các kết quả cần nhớ 
1) Với a > 0 , hàm số f(x) lẻ và liên tục trên ñoạn [–a; a] thì 
a
a
f(x)dx 0
−
=∫ . 
2) Với a > 0 , hàm số f(x) chẵn và liên tục trên ñoạn [–a; a] thì 
a a
a 0
f(x)dx 2 f(x)dx
−
=∫ ∫ . 
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 
1. Công thức 
b b
b
a
a a
udv uv vdu= −∫ ∫ (1) 
2. Phương pháp giải toán 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
f(x)g(x)dx∫ ta thực hiện như sau: 
Bước 1. ðặt u f(x), dv g(x)dx= = (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân /du u (x)dx= không 
quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân 
b
a
vdu∫ phải tính ñược. 
Bước 2. Thay vào công thức (1) ñể tính kết quả. 
ðặc biệt: 
1) 
b b b
ax
a a a
P(x)sin axdx, P(x)cosaxdx, e .P(x)dx∫ ∫ ∫ , (P(x): ña thức) ta ñặt u P(x)= . 
2) 
b
a
P(x)ln xdxα∫ ta ñặt u ln xα= . 
 Chú ý: a
ln x
log x
ln a
= . 
IV. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ðỐI 
Phương pháp giải toán 
Giả sử cần tính tích phân 
b
a
I f(x) dx= ∫ , ta thực hiện các bước sau: 
Bước 1 
Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên ñoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD: 
x a x1 x2 b 
f(x) + 0 – 0 + 
Bước 2 
Tính 
1 2
1 2
x xb b
a a x x
I f(x) dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx= = − +∫ ∫ ∫ ∫ . 
Chú ý: Nếu trong khoảng (a; b) phương trình f(x) = 0 không có nghiệm thì: 
b b
a a
f(x) dx f(x)dx=∫ ∫ 
V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 
1. Tính diện tích hình phẳng 
1.1. Trường hợp 1 
Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các ñường y f(x), y g(x), x a, x b= = = = là: 
b
a
S f(x) g(x) dx= −∫ 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 21 
1.2. Trường hợp 2 
Diện tích hình phẳng S giới hạn bởi các ñường y f(x), y g(x)= = là: 
S f(x) g(x) dx
β
α
= −∫ 
Trong ñó , α β là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của f(x) = g(x). 
Chú ý: 
1) Nếu trong khoảng ( ); α β phương trình f(x) g(x)= không có nghiệm thì: 
f(x) g(x) dx f(x) g(x) dx
β β
α α
 − = − ∫ ∫ 
2) Nếu tích S giới hạn bởi x = f(y) và x = g(y) thì ta ñổi vai trò x cho y trong công thức trên. 
2. Tính thể tích khối tròn xoay 
2.1. Trường hợp 1 
Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường y f(x) 0= ≥ x a; b ∀ ∈   , y = 0, x = a và x = b 
(a < b) quay quanh trục Ox là: 
b
2
a
V f (x)dx= π∫ 
2.2. Trường hợp 2 
Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường x g(y) 0= ≥ y c; d ∀ ∈   , x = 0, y = c và y = d 
(c < d) quay quanh trục Oy là: 
d
2
c
V g (y)dy= π∫ 
2.3. Trường hợp 3 
Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường y = f(x), y g(x)= , x = a và x = b 
(a b, f(x) 0, g(x) 0 x a; b ) < ≥ ≥ ∀ ∈   quay quanh trục Ox là: 
b
2 2
a
V f (x) g (x) dx= π −∫ 
2.4. Trường hợp 4 
Thể tích khối tròn xoay V do hình phẳng giới hạn bởi các ñường x = f(y), x g(y)= , y = c và y = d 
(c d, f(y) 0, g(y) 0 y c; d ) < ≥ ≥ ∀ ∈   quay quanh trục Oy là: 
d
2 2
c
V f (y) g (y) dy= π −∫ 
.. 
E. ðẠI SỐ TỔ HỢP 
Chương I. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
I. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN 
1. Quy tắc ñếm 
1.1. Quy tắc 
Với ñiều kiện là khoảng cách giữa các số bằng nhau (cách ñều), ta có: 
1
−
= +
soá lôùn nhaát soá nhoû nhaásoá caùc soá
khoaûng caùch giöõa 2 soá lieàn ke
t
à
. 
1.2. Các dấu hiệu chia hết 
1) Chia hết cho 2: số có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8. 
2) Chia hết cho 3: số có tổng các chữ số chia hết cho 3. 
3) Chia hết cho 4: số có 2 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 4. 
4) Chia hết cho 5: số có chữ số tận cùng là 0, 5. 
5) Chia hết cho 6: số chia hết cho 2 và 3. 
6) Chia hết cho 8: số có 3 chữ số tận cùng lập thành số chia hết cho 8. 
ThS. Ñoaøn Vöông Nguyeân 15 Boä ñeà toaùn caáp toác naêm 2009 
 Trang 22 
7) Chia hết cho 9: số có tổng các chữ số chia hết cho 9. 
8) Chia hết cho 10: số có chữ số tận cùng là 0. 
9) Chia hết cho 11: số có hiệu của tổng các chữ số ở hàng lẻ và tổng các chữ số ở hàng chẵn chia hết cho 11 
(ví dụ 1345729 vì (1 + 4 + 7 + 9) – (3 + 5 + 2) = 11). 
10) Chia hết cho 25: số có 2 chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75. 
2. Quy tắc cộng 
1) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược một trong hai cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m 
kết quả và cách thứ hai cho n kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m + n kết quả. 
2) Nếu một quá trình (bài toán) có thể thực hiện ñược k cách (trường hợp) loại trừ lẫn nhau: cách thứ nhất cho m1 kết quả, cách 
thứ hai cho m2 kết quả, , cách thứ k cho mk kết quả. Khi ñó việc thực hiện quá trình trên cho m1 + m2 +  + mk kết quả. 
2. Quy tắc nhân 
1) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo hai giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m cách thực hiện giai ñoạn 
thứ nhất, ñồng thời ứng với mỗi cách ñó có n cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai. Khi ñó có mn cách thực hiện quá trình trên. 
2) Nếu một quá trình (bài toán) ñược thực hiện theo k giai ñoạn (bước) liên tiếp nhau sao cho có m1 cách thực hiện giai ñoạn 
thứ nhất, với mỗi cách ñó có m2 cách ñể thực hiện giai ñoạn thứ hai, , có mk cách thực hiện giai ñoạn thứ k. Khi ñó, toàn bộ 
quá trình có m1.m2mk cách thực hiện. 
II. HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 
1. Hoán vị 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách sắp xếp n phần tử của X theo một thứ tự nào ñó ñược gọi là một 
hoán vị của n phần tử. Số các hoán vị của n phần tử ñược ký hiệu là Pn. 
Pn = n! = 1.2n 
2. Chỉnh hợp 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách chọn ra k ( )0 k n≤ ≤ phần tử của X và sắp xếp theo một thứ tự 
nào ñó ñược gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử. Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là knA . 
k
n
n!
A
(n k)!
=
−
3. Tổ hợp 
ðịnh nghĩa 
Cho tập hợp X gồm n phần tử phân biệt ( )n 0≥ . Mỗi cách chọn ra k ( )0 k n≤ ≤ phần tử của X ñược gọi là một tổ hợp 
chập k của n phần tử. Số các tổ hợp chập k của n phần tử ñược ký hiệu là knC . 
k
n
n!
C
k!(n k)!
=
−
Nhận xét: 
1) ðiều kiện ñể xảy ra hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là n phần tử phải phân biệt. 
2) Chỉnh hợp và tổ hợp khác nhau ở chỗ là sau khi chọn ra k trong n phần tử thì chỉnh hợp có sắp thứ tự còn tổ hợp thì 
không. 
4. Phương pháp giải toán 
4.1. Phương pháp 1. 
Bước 1. ðọc kỹ các yêu cầu và số liệu của ñề bài. Phân bài toán ra cá