Vận dụng phương trình tham số của đường thẳng vào bài toán: Tìm tọa độ của điểm - Võ Thanh Lam

g:
 	Bài toán 5: Tìm tọa độ điểm M ' đối xứng với điểm M(6; -1; -5) qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Bài toán này ta viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P), lấy M ' d (M 'M) , khi đó M ' đối xứng với M qua (P) khi và chỉ khi d(M;(P))=d(M ';(P))	
	 Hướng dẫn giải: Đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) có phương trình:
 Gọi M '(6+2t; -1+t; -5-2t)d và M 'M t 0
 M ' đối xứng với M qua (P) d(M;(P))=d(M ';(P))
 t = - 4 t = 0 (loại)
Vậy M '(-2; -5; 3)
 	Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	 Nhận xét: Ta có d // (P) nên ta lấy M d, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và song song với d.	
	 Hướng dẫn giải: 
	Ta có: d qua điểm M(6; -1; -5), có VTCP = (4; -2; 3)
 mp(P) có VTPT = (2; 1; -2)
 . = 0 và M(P) nên: d //(P) 
 Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P) suy ra: M '(-2; -5; 3).( bài toán5)
 Đường thẳng d ' qua M ' và song song với d nên có phương trình: 
 	Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mp(P): 2x + y - 2z - 3 = 0.
 	Nhận xét: Ta có d cắt (P) nên tìm giao điểm A của d và (P) sau đó lấy Md, tìm M ' đối xứng với điểm M qua (P), khi đó đường thẳng d ' qua M ' và có VTCP .
 	 Hướng dẫn giải: 
 	Gọi A là giao điểm của d và (P).
 	Ta có: A d suy ra: A(6-5t; -1+2t; -5+5t) 
	A (P) 2(6-5t) + (-1+2t) - 2(-5+5t) - 3 = 0
 t = 1
 	Do đó A(1; 1; 0)
 	Ta lại có: M(6; -1; -5) d 
 	 Gọi M ' đối xứng với điểm M qua (P)
suy ra: M '(-2;-5;3) ( bài toán5) 
Đường thẳng d ' qua M ', có VTCP = (-3; -6; 3) = 3(-1; -2; 1) nên có phương trình: 
	Bài toán 8: Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A(1 ; -2 ; -5) qua đường thẳng d có phương trình : 
 	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, H là hình chiếu của A lên đường thẳng d khi và chỉ khi . = 0 ( là VTCP của d), ta có H là trung điểm của AA/ từ đó suy ra tọa độ của A/ 
	 Hướng dẫn giải: 
 	Đường thẳng d có VTCP = (2; -1; 2). 
 Gọi Hd suy ra: H(1+2t ; -1-t ; 2t) 
	nên: =(2t ; 1-t ; 2t-5) 
 H là hình chiếu của A trên d . = 0 
 2(2t) - (1- t) + 2(2t + 5) = 0 t = -1
 	suy ra: H(-1;0;-2)
	Ta có H là trung điểm của AA/ nên: Vậy: A/ (-3 ; 2 ; 1).
 	Kết luận: Từ 4 bài toán nêu ra ta thấy, với các bài toán dạng này, ta lấy điểm cho trước hoặc chọn điểm trên đường thẳng cho trước sau đó tìm điểm đối xứng của điểm đó qua đường thẳng hay mặt phẳng. Từ đó kết luận (nếu bài toán tìm điểm đối xứng) hoặc viết phương trình đường thẳng đối xứng dựa vào điểm đối xứng vừa tìm được và vị trí tương đối của đường và mặt, đường và đường.
	 Một số bài tập tham khảo:
 Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng : 
 a/ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng .
 b/ Tìm tọa độ điểm A/ đối xứng với A qua đường thẳng .
 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 2; 3) và 2 đường thẳng: d1: ; d2 :
	 a/ Tìm tọa độ A/ đối xứng với A qua đường thẳng d1.
 b/Viết phương trình đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng d1 và cắt đường thẳng d2. (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2006)
 Bài 3: Cho điểm M(2; 1; 0) và mặt phẳng () : x + 3y - z - 27 = 0. Tìm tọa độ điểm M/ đối xứng với M qua mặt phẳng ().
 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d ' đối xứng với đường thẳng d: qua mặt phẳng () : x + y + z - 1 = 0.
 Bài 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1: và d2: 
 	 a/ Tìm tọa độ giao điểm của d1 và d2.
 	 b/ Viết phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d1 qua d2.
 C. Các bài toán về cắt nhau, vuông góc, song song:
 Bài toán 9: Cho đường thẳng d và mp (P) có phương trình: d: ; (P): 2x + z - 5 = 0
 a/ Xác định tọa độ giao điểm A của d và (P).
 b/ Viết phương trình đường thẳng d ' đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d.
 	 Nhận xét: Bài toán này ta tìm tọa độ của A, khi đó đường thẳng d ' qua A và có véctơ chỉ phương ; trong đó là VTCP của d, là VTPT của mp(P).
 	Hướng dẫn giải: 
 a/ A = d (P). Ta có Ad A(1 + t; 2 + 2t; 3 + 2t)
Vì A(P) 2(1 + t) + (3 + 2t) - 5 = 0 t = 0
Vậy: A(1; 2; 3)
 b/ d có VTCP = (1; 2; 1); mp(P) có VTPT = (2; 0; 1) 
 Đường thẳng d ' (P) và d 'd nên d ' có véctơ chỉ phương = (2; 1; -4).
 Đường thẳng d ' qua A có VTCP nên có phương trình : 
 Bài toán 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d : và mặt phẳng (P) : 2x + y - 2z + 9 = 0
 a/ Tìm tọa độ điểm Id sao cho khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2.
 b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P).Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp(P),biết đi qua A và vuông góc với d.
 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2005)
 Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, câu a ta lấy Id và sử dụng công thức khoảng cách, câu b cùng cách làm của bài toán 9.
 	Hướng dẫn giải: 
 	a/ Đường thẳng d có phương trình tham số: 
 Id suy ra: I(1-t; -3 + 2t; 3+t)
 Khoảng cách từ I đến mp(P) bằng 2 nên: 
 	 Vậy có 2 điểm I1 (-3; 5; 7), I2 (3; -7; 1)
 b/ Vì Ad suy ra: A(1-t; -3 + 2t; 3+t).
 Ta có A(P) 2(1-t) + (-3 + 2t) - 2(3 + t) + 9 = 0 
 t = 1
 Do đó A(0; -1; 4)
 Đường thẳng d có VTCP = (-1; 2; 1), mp(P) có VTPT =(2; 1; -2) 
 Đường thẳng (P) và d nên có véctơ chỉ phương =(-5; 0; -5)
 Phương trình của đường thẳng : 
 	Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng qua I(-1; -2; 4) vuông góc và cắt đường thẳng d: 
 	Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó H khi và chỉ khi . = 0 ( là VTCP của d); đường thẳng qua I và có VTCP 
	 Hướng dẫn giải: 
 	Đường thẳng d có VTCP = (3; -2; 1). 
 	Gọi Hd suy ra: H(-2 + 3t; 2 - 2t; 1 + t) nên:
	=(-1 + 3t; 4 - 2t; -3 + t) 
 	H .= 0 3(-1 + 3t) - 2(4 - 2t) + (-3 + t) = 0 t = 1
 suy ra H(1; 0; 2)
 Đường thẳng qua I và có VTCP =(2; 2; -2) nên có phương trình : 
 Bài toán 12: Viết phương trình đường thẳng qua A(2; 1; -3) cắt đường thẳng d1: và vuông góc với đường thẳng d2: 
 	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd1, khi đó H khi và chỉ khi .= 0 (là VTCP của d2); đường thẳng qua I và có VTCP 
	 Hướng dẫn giải: 
 	Đường thẳng d2 có VTCP = (4; 1; 1). 
 Gọi Hd1 suy ra: H(3+t; -1-2t; 4+t) nên:
	 =(1+t; -2-2t; 7+t) 
 H . = 0 
 4(1+t) + (-2-2t) + (7+t) = 0 
 t = -3 suy ra H(0; 5; 1)
 Đường thẳng qua A và có VTCP =(2; -4; -4) = 2(1; -2; -2) nên có phương trình : 
 	Bài toán 13: Viết phương trình đường thẳng cắt 2 đường thẳng d1: ; d2: và song song với đường thẳng d: 
	 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Ad1, Bd2 khi đó A, B khi và chỉ khi hai vectơ , cùng phương (là VTCP của d), đường thẳng qua A và có VTCP 	Hướng dẫn giải: 
 	 Đường thẳng d có VTCP = (3; 2; 1). 
 	 Gọi Ad1 suy ra: A(t; -2-3t; 1+t)
 	 Bd2 suy ra: B(1+2t/ ; -1+3t/ ; 4-t/ )
 nên: = (2t/ - t + 1; 3t/ + 3t + 1; -t/ - t + 3) 
 A, B và cùng phương 
 suy ra A(-1;1;0) .
 Đường thẳngqua A và có VTCP = (3;2;1) nên có phương trình : 
 Bài toán 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng d1: và d2: 
 Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt 2 đường thẳng d1 , d2 (Đề thi ĐHCĐ khối A năm 2007)
 	 Nhận xét: Đây là đề thi ĐHCĐ, ngoài cách giải của đáp án, tôi thấy tương tự bài toán 13, ta có thể giải nhanh hơn bằng cách lấy Ad1, Bd2 khi đó A, Bd khi và chỉ khi , cùng phương (là VTCP của d); đường thẳng d qua A và có VTCP 
	 Hướng dẫn giải: 
 	 Đường thẳng d (P) nên d có VTCP = (7; 1; -4). 
 	 Đường thẳng d1 có phương trình tham số: 
 	 Gọi Ad1 suy ra: A(2t/ ; 1- t/ ; -2+ t/ )
 Bd2 suy ra: B(-1+ 2t ; 1+ t ; 3)
 nên: = (2t - 2t/ - 1; t + t/ ; 5 - t/ ) 
 A, B , cùng phương 
 suy ra A(2; 0; -1).
 Đường thẳng d qua A và có VTCP = (7; 1; -4) nên có phương trình : 
 Bài toán 15: Viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau d: và d/ : 
 	 Nhận xét: Bài toán này học sinh lấy Ad1, Bd2; AB là đường vuông góc chung của d và d/ khi và chỉ khi ; đường vuông góc chung qua A và có VTCP 
	Hướng dẫn giải: 
	 Đường thẳng d có VTCP = (3; 1; 1). 
 	Đường thẳng d/ có VTCP = (1; 3; -1).
 Gọi Ad suy ra: A(5+3t; 2+t; t)
 Bd/ suy ra: B(-2+t/ ; -7+3t/ ; 4-t/ )
 nên: =(t/ - 3t - 7; 3t/ - t - 9; -t/ - t + 4) 
 AB là đường vuông góc chung của d và d/ 
 suy ra: A(2; 1; -1); =(-1; 1; 2) 
 Đường vuông góc chung qua A và có VTCP =(-1; 1; 2) nên có phương trình : 
	Kết luận: Từ các bài toán nêu ra ta thấy các bài toán dạng này có độ " khó" hơn. Tuy nhiên, ta thấy được phương pháp chung để giải là: Chọn điểm hoặc các điểm (có chứa tham số) trên đường thẳng hoặc các đường thẳng bị cắt (cho trước), sau đó dựa vào các yếu tố song song, vuông góc để tìm tham số. Từ đó viết phương trình đường thẳng theo yêu cầu bài toán.
	 Một số bài tập tham khảo:
 	 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình d1, d2 và d3 là:
 d1 ; d2: ; d3: 
 Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(-4;-2;4) và đường thẳng d: , Viết phương trình đường thẳng đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d.
 (Đề thi ĐHCĐ khối B năm 2004)
 Bài 3: Cho hai đường thẳng: d 1: và d2: . Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
 Bài 4: Cho hai đường thẳng: d: và d': 
 a.Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d'.
 b. Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d'. 
 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt 2 đường thẳng d : ; d/ : 
 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : và mặt phẳng (P) : x + 2y - 3z + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) sao cho d cắt và vuông góc với đường thẳng 
 (Đề thi ĐHCĐ khối D năm 2009)
D. Các bài toán về cực trị tọa độ không gian:
 Bài toán 16: Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz cho điểm M(1; 3; -2) và đường thẳng d: Tìm tọa độ điểm H d sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất. 
 Nhận xét: Bài toán này ta lấy Hd, khi đó độ dài MH nhỏ nhất khi và chỉ khi MH d . = 0 ( là VTCP của d)
	 Hướng dẫn giải: 
 Đường thẳng d có VTCP = (3; 1; -1). 
 Gọi Hd suy ra: H(5 + 3t; 2+ t; -2 - t) nên:
	 =(4 + 3t; -1 + t; - t) 
 MH nhỏ nhất MH d 
	 . = 0 
 3(4+3t) + (-1 + t) - (- t) = 0 t = - 1
 	Vậy H(2; 1; -1)
 Bài t