Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để giải một số toán về phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình

2x + = 0 (1)
Điều kiện: x 
(1) m( 2tg4x + 5tg2x + 4 ) = - tg4x
Xét: f(t) = với t 0
 f ’(t) = 0 , t 0
Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm -0,5 < m 0 
Ví dụ 6: 
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 9x – m 33 + 2m + 1 = 0 (1) 
	(1) 
 (vì t = 2 không phải là nghiệm của pt)
Xét hàm số f(t) = ta có:
 	f ’(t) = 
 f ’(t) = 0 = 0 
Dựa vào bảng biến thiên phương trình có nghiệm khi m < - 0,5 hoặc m 
Ví dụ 7: 
 Tìm a để phương trình: + a (1) có nghiệm duy nhất
	(1) a = 
Xét hàm số : f(x) = xác định trên (0,5; +)
Ta có f’(x) = > 0 x 0,5 f đồng biến trên (0,5; +)
 Dựa vào bảng biến thiên ta có đường thẳng y = a cắt đồ thị hàm số f(x) tại một điểm duy nhất a. Vậya phương trình (1) luôn có nghiệm duy nhất
Ví dụ 8: 
 Giải phương trình: x + = 3x-1+1 (1)
	(1) x – 1 + = 3x – 1
 (*)
Xét f(a) = ln() – aln3
	f ’(a) = - ln3 < 0 , a
Vậy f(a) nghịch biến trên R và f(0) = 0 nên (*) nghiệm duy nhất a = 0 .Do đó phương trình (1) có một nghiệm x = 1
Ví dụ 9
 Giải phương trình : + = 1 (1)
	Điều kiện: x 0,5
	Xét: f(x) = + với x 0,5 
	f ’(x) = + > 0 , x 0,5
 f đồng biến trên (0,5; +)
Do f liên tục và đồng biến trên (0,5; +) , f(0,5) = 1 nên (1) f(x) = f(0,5)
	 x = 0,5
Ví dụ 10:
 Giải phương trình: 3x + 5x = 6x + 2 (*)
	Xét: f(x) = 3x + 5x – 6x – 2 
	f ’(x) = 3xln3 + 5xln5 – 6 
f ”(x) = 3xln23 + 5xln25 > 0,x f’(x) đồng biến, liên tục và đổi dấu (f’(0) 0 Nên phương trình f’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = a 
Dựa vào bảng biến thiên f(x) cắt trục hoành tới 2 lần phương trình (*) có tối đa hai nghiệm. Ta thấy x = 0, x = 1 là 2 nghiệm của (*). Ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( do nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 , x = 1
III) Các bài tập:
Định m để phương trình có nghiệm thuộc tập hợp cho trước
x3 – 3x = m với 2 x 3
x2- 6lnx – m = 0 với 1 < x < e
4sin6x + cos4x – a = 0
Biện luận số nghiệm phương trình:
3x4 – 10x3 + 6x2 = m
2 + = m
X3 + mx + m = 0
Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm: + - = m
 Tìm điều kiện m để phương trình sau có đúng một nghiệm ( đề dự bị ĐH 2007)
a) + x – 1 = 0
b) - = m
5) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: + 3 tg2x + m(tgx + cotgx) = 1
6) Tìm m để phương trình sau có nghiệm 
7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – sin24x = m 
8) biện luận theo k số nghiệm x của phương trình: 4k(sin6x + cos6x – 1) = 3sin6x 
9) Tìm tất cả giá trị m để phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn 
	2cosx .cos2x.cos3x m = 7 cos2x
10) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
a) x +3 = m
 b) x + m = m 
	c) + 4m + (m + 3) = 0 
11) xác định m để phương trình sau có nghiệm:
a) = 2m
b) = 6
 12) Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
 a) = m
 b) = m
13) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 a) tan2x + cot2x +m(tanx + cotx) + 3 = 0 
 b) 
 c) 2x + = m
 14) Tìm m để phương trình : sinx + 2 cos = m( cosx + 2sin) có nghiệm trong đoạn {0 ; }
B) 	Bất phương trình:
1) Ví dụ 1: 
Tìm m để bất phương trình m( + 1) + x(2- x) 0 có nghiêm thuộc [0; 1+]
	Đặt t = với x [0; 1+]
	t’x = , 
 t’x = 0 x = 1 
 Với x [0; 1+] thì t [1; 2]
Bất phương trình trở thành: m(t + 1) t2 – 2 
	 m 
	 m Maxf(t) với f(t) = 
Ta có f ’(t) = > 0 , t[1; 2]
Vậy bất phương trình có nghiệm x [0; 1+] m = f(2) 
	m 
Ví dụ 2: 
 Vớùi giá trị nào của m thì bất phương trình sin3x + cos3x m , x (1)
Đặt t = sinx + cosx = , điều kiện : 
Bất phương trình trở thành: t(1 – ) m, t [-;]
	3t – t3 2m, t [-;]
Xét: f(t) = 3t – t3 
	f ’(t) = 3 – 3t2 
	f ’(t) = 0 3 – 3t2 = 0 t = 1 v t = -1
Dựa vào bảng biến thiên ta có : Bất phương trình (1) có nghiệm x 2m -2 
	 m - 1
Ví dụ 3: 
 Tìm m để bất phương trình mx4 – 4x + m 0 , x (1)
	(1) m(x4+ 1) 4x , x 
 m , x 
Xét : f(x) = 
 Ta có : f ’(x) = 
 f ’(x) = 0 = 0 x = v x = - 
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình có nghiệm x m Maxf(x) 
 m 
Ví dụ 4:
 Cho bất phương trình x3 -2x2 + x – 1 + m < 0 (1)
Định m để bất phương trình (1) có nghiệm thuộc [0; 2]
Định m để bất phương trình (1) thoả x [0; 2]
Ta có: (1) -x3 + 2x2 – x + 1 > m
Xét: f(x) = -x3 + 2x2 – x + 1 , x [0; 2]
	f’(x) = -3x2 + 4x – 1 
	f’(x) = 0 x = 1 v x = 
 (1) có nghiệm thuộc [0; 2] Maxf(x) > m m < 1
(1) có nghiệm x [0; 2] Minf(x) > m m < -1
Ví dụ 5: 
 Tìm điều kiện p, q để bất phương trình sau có nghiệm thoả x [0; 1]	
	px + 1 qx + 1 (1)
 x = 0 (1) thoả
 x (0; 1] ta có (1) p q
Đặt f(x) = 
	f ’(x) = 
	f ’(x) = 0 x = y = 2	
Dựa vào bảng biến thiên ta có: p minf(x) và q maxf(x)
	 p 2 và q 2
Ví dụ 6: 
 Cho bất phương trình: (1) với a > b > c 
chứng minh bất phương trình luôn có nghiệm
Giải bất phương trình: (2)
(1) > 0
Đặt: f(x) = với x a 
 	f’(x) = > 0 , x > a ( vì < < )
 f đồng biến khi x > a. Hơn nữa f(a) = < 0 và do đó (1) luôn có nghiệm 
Tập nghiệm là: (xo, +) với f(xo) = 0
 Với a = 4, b = 1, c = -4 . 
Aùp dụng chứng minh trên (2) có nghiệm là: (xo, +) vơùi f(xo) = 0
Ta có f(5) = = 0 VaÄy bất phương trình (2) có nghiệm là ( 5; +)
Ví dụ 7: 
 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm đúng với x > 0
	(3m +1)12x + (2 – m)6x + 3x < 0 (1) 
 (1) (3m +1)4x + (2 – m)2x + 1 < 0
Xét: f(t) = ,vơùi t > 1
f ’(t) = > 0 , t > 1
Dựa vào bảng biến thiên ta có bất phương trình (1) có nghiệm với x > 0
 bất phương trình (2) có nghiệm với t > 1
 m -2
Ví dụ 8:
 Giải bất phương trình : < 181 – 4x 
	Điều kiện: x 
Đặt: f(x) = + 4x
 f ’(x) = + 4 > 0 , x 
 Vậy f(x) đồng biến trên (; +) và f(6) = 181
Khi x < 6 thì f(x) < f(6) f(x) < 181
	Vậy nghiệm bất phương trình là S = [; 6)
Ví dụ 9: 
 Giải bất phương trình: > 
	Điều kiện: - 2 x 4
Xét hàm số f(x) = - 
	f ’(x) = > 0 , x (-2; 4)
Suy ra f đồng biến trong khoảng (-2; 4)
Do đó nếu x > 1 thì f(x) > f(1) = 
	 - > 
	 > + . 
	Vậy khoảng nghiệâm của bất phương trình là : (1; 4)
2) BaØi tập: 
1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 32x+1 – (m + 3) 3x – 2(m + 3) < 0
2) Xác định m sao cho x đều là nghiệm bất phương trình:
 	22+cos2x + m 
3) Xác định m để bất phương trình sau có nghiệm
	 (1)
Hướng dẫn: Đặt t = điều kiện thì = 
có dạng: t + 
Xét f(t) = với ) 
C. Hệ phương trình
1) Hệ phương trình dạng: 
Hướng dẫn học sinh có thể tìm lời giải theo hai hướng sau:
Hướng 1: (1) f(x) – f(y) = 0 (3)
Tìm cách đưa (3) về một phương trình tích
Ví dụ 1:
 Giải hệ : 
Ta có: (1) x – y – () = 0 (x – y) = 0 
 Thay vào (2) và giải 
Hươùng 2: Xét hàm số f(t) . Ta thường gặp hàm số liên tục trong tập xác định của nó. 
+) Nếu hàm số f(t) đơn điệu thì (1) suy ra x = y. Khi đó bài toán đưa về giải và biện luận
phương trình theo x
+) Nếu hàm số f(t) có một cực trị t = a thì nó thay đổi chiều biến thiên một lần khi qua a. Từ (1) suy ra x = y hoặc x, y nằm về hai phía của a
Ví dụ 2: 
	Giải hệ: với x, y R 
	Đặt: a = x – 1 , b = y – 1 ta có hệ mới 
Xét hàm số f(t) = , t R
	f ’(t) = + 3tln3 
 = + 3tln3 > 0 , t (vì > 0 , t)
do đó hàm số đồng biến trên R
từ (2) ta có f(a) = f(b) nên a = b. Thay vào (1) ta được: 
	 = 3a 
 ln() = aln3
Xét : g(a) = ln() – aln3 (*)
	g’(a) = - ln3 < 0 , a 
Vậy hàm số g(a) nghịch bến trên R. Nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất a = 0 
	Do đó hệ có nghiệm duy nhât x = y = 1
Ví dụ 3: 
 Chứng minh rằng hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0	
	 (*) ( đề dự bị 2007)
Điều kiện: 
	(*)
Xét hàm số: f(t) = , t > 1
	f ’(t) = > 0 , t > 1
Vậy f(t) đồng biến trên (1; +)
Từ (2) ta có f(x) = f(y) x = y . Thay vào (1) ta có: 
Xét hàm số : g(x) = = 0 (*)
	g’(x) = ex - 
	g”(x) = ex + > 0 , x > 1 
 g’(x) đồng biến và liên tục trên (1; +) và đổi dấu.
Vì và g’(2) = e2 – > 0 
Nên g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy g(x) cắt trục hoành tối đa 2 lần 
phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm
hệ phương trình có đúng 2 nghiệm (x, y) thoả x > 0, y > 0	
Ví dụ4: 
 Giải hệ : 
Xét: f(t) = et + et + t 
	 	f ’(t) = et + e + 1 > 0 , t 
	Vậy f(t) đồng biến trên R
	Từ (2) ta có: f(x) = f(y) x = y 
Thay vào (1) ta được: ex = ex – x +1 (*)
Xét hàm số g(x) = ex - ex + x – 1
	g’(x) = ex – e + 1
	g”(x) = ex > 0 , x
Do đó f’(x) đồng biến và liên tục trên R và đổi dấu
Vì g’(0) = 2 – e 0 nên phương trình g’(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 
Dựa vào bảng biến thiên g(x) cắt trục hoành tối đa hai lần 
phương trình (*) có tối đa 2 nghiệm
	Ta thấy x = 0 hoặc x = 1 là hai nghiệm của phương trình (*) ngoài ra (*) không thể có nghiệm nào khác( vì nó chỉ có tối đa 2 nghiệm)
Vậy hệ có hai nghiệm ( (0; 0) và ( 1; 1)	
Ví dụ 5: 
Giải hệ phương trình: (*) ( Đề dự bị khối D 2006)
Điều kiện: x > -1, y > -1
(*) 
Xét hàm số f(t) = ln(1+t) – t 
	f ’(t) = 
ta thấy f’(t) = 0 t = 0
Ta có (2) f(x) = f(y) x = y nếu x,y thuộc cùng một khoảng đơn vị
hoặc xy < 0 nếu x,y không cùng thuộc một khoảng đơn vị
Nếu xy < 0 thì vế trái của (1) luôn dương, phương trình không thoả mãn
Nếu x = y thay vào (1) ta được nghiệm của hệ là x = y = 0
Ví dụ 6: 
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
	 (I) 
	Điều kiện: -1 x , y 3
(I) 
Xét hàm số f(t) = 
	f’(t) = > 0 , t (-1; 3)
 	Vậy f đồng biến trên (-1; 3). Do đó f(x) = f(y) x = y
Thay vào (1) ta