Ứng dụng của đạo hàm vào việc giải phương trình, bất phương trình - Nguyễn Quang Hoàng

m số f(x) là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K (K là kí hiệu chung cho đoạn, khoảng, 
nửa khoảng), khi đó: 
2.1) Phương trình ( )f x a có nhiều nhất một nghiệm trên K. (Dùng giải PT bằng PP đạo hàm) 
2.2) Nếu f(u) = f(v) với ;u v K thì u = v (Dùng cho giải HPT bằng đạo hàm) 
2.3) Nếu f(x) đồng biến thì ( ) ( )f u f v u v   ; Nếu f(x) nghịch biến thì ( ) ( )f u f v u v   (Dùng 
cho giải BPT bằng đạo hàm) 
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO VIỆC GIẢI PT- BPT-HPT 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
3. Bài tập vận dụng: 
3.1. Ứng dụng giải phương trình. 
3.1.1. Ví dụ: Giải các phương trình sau: 
a) 
24 1 4 1 1   x x b) 3 sin 2 sin 1   x x 
c) 
3
1 4 5    x x x d) 2 21 1 1 1        x x x x x x 
Hướng dẫn giải: 
a) 
24 1 4 1 1   x x 
Điều kiện: 
2
4 1 0
4 1 0
 

 
x
x
1
2
 x 
Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số 
2
4 1 4 1   y x x và 1y . 
Xét hàm số 
2
4 1 4 1   y x x . Miền xác định: 
1
;
2
 
 
 
D . 
 Minh họa đồ thị 
Đạo hàm 
/
2
2 4 1
0 
24 1 4 1
    
 
x
y x
x x
. 
Do hàm số liên tục trên 
1
;
2
 

 
 nên hàm số đồng biến trên 
1
;
2
 

 
. 
Dễ thấy 
1
2
x thỏa (1). Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 
1
2
x . 
b) 3 sin 2 sin 1   x x . TXĐ: D R . 
Đặt sint x , điều kiện 1t 
x
y
O 1
2
1
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
Khi đó phương trình có dạng : 3 2 1   t t 3 1 2    t t (2) 
Dễ thấy: 
+ Hàm số ( ) 3 f t t là hàm đồng biến trên  1;1 D 
+ Hàm số ( ) 1 2  g t t là hàm nghịch biến trên  1;1 D 
Từ (*) suy ra : ( ) ( )f t g t nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất 
Ta thấy 1t là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2
2

   x x k 
c) 
3
1 4 5    x x x (3) 
TXĐ:  1;D   . 
Xét hàm số ( ) 1 f x x có /
1
( ) 0 1
2 1
   

f x x
x
 nên hàm số đồng biến trên  1; 
Và hàm số 
3
( ) 4 5   g x x x . Đạo hàm : / 23 4 0      y x x D hàm số nghịch biến trên D . 
Phương trình (3) có dạng ( ) ( )f x g x . Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Ta 
thấy 1x thoả mãn phương trình. 
Vậy phương trình có nghiệm 1x . 
d) 
2 2
1 1 1 1        x x x x x x 
Điều kiện: 
2
2
1 0
1 1 0
    

    
x x x
x x x
2
2
1
1 1
    
 
    
x x x
x x x
+ Với 
2
2
2 2
0
1 0
1
0
1
  

      
  

  
x
x x
x x x
x
x x x
0
0

 

x
x
x
 + Với 
2
2
2 2
1 0
1 0
1 1
1 0
1 2 1
   

       
   

    
x
x x
x x x
x
x x x x
1
1
 
 
 
x
x
x
. Vậy D R 
Biến đổi phương trình về dạng : 
2 2
1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1          x x x x x x 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
2 2
1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1             x x x x x x x x (4) 
Xét hàm số 2( ) 1   f t t t t . Miền xác định D R 
Đạo hàm : 
 
/
2
2
/
2 2 2
1 2 1 2 1
( )
2 1 4 1. 1
      
 
       
t t t t t t
f t
t t t t t t t t
Nhận xét : 
2 2 2
2 1 2 1 4 4 4 2 1 (2 1) 3 2 1 2 1 2 1 0                  t t t t t t t t t t 
/ ( ) 0   f x x hàm số đồng biến trên D. 
Khi đó: (*) ( ) ( 1) 1     f x f x x x vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 
3.1.2. Sơ lược về PP giải. 
Dạng 1: 0D¹ng ( ) , víi ( ) hoÆc ®ång biÕn, hoÆc nghÞch biÕn trªn D. F x F x 
 Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng: ( ) F x 0 
 Bước 2: Xét hàm số ( )y F x 
Chỉ rõ hàm số ( )y F x đồng biến hay nghịch biến trên D. 
 Bước 3: Đoán được   F x
0
0 . Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
0
x x . 
Dạng 2:  
( ) ®ång biÕn trªn D
Ph­¬ng tr×nh (1) cã: hoÆc ng­îc l¹i 
( ) nghÞch biÕn trªn D



F x
G x
 Bước 1: Đưa phương trình (1) về dạng : ( ) ( )F x G x (1) 
 Bước 2: Xét hai hàm số ( )y f x và ( )y g x 
Chỉ rõ hàm số ( )y F x là hàm đồng biến (nghịch biến) và ( )y G x là hàm nghịch biến (đồng biến) 
 Bước 3: Đoán được    F x G x
0 0
. Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất 
0
x x . 
Dạng 3: D¹ng ph­¬ng tr×nh ( ) ( ) (*), víi ( ) hoÆc ®ång biÕn,F u F v F x 
  hoÆc nghÞch biÕn trªn ; . Lóc ®ã, (*) cã nghiÖm duy nhÊt a b u v 
 Bước 1: Đưa phương trình về dạng ( ) ( )F u F v (1) 
Bước 2: Xét hàm số: ( )y F t . 
Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên  ;a b . 
Bước 3: Khi đó: ( ) ( )  F u F v u v 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
3.1.3. Bài tập vận dụng. 
Giải các phương trình sau: 
6 8
1) 3 14
3 2x x
 
 
 3 32) x +1=2 2 1x 
3 2 33) 8x - 36x + 53x - 25 = 3 5x 3 2 34) x - 15x + 78x - 144 = 5 2 9x 
3 2 35) 27x - 27x + 13x - 2 = 2 2 1x  3 26) x +3x + 4x +2 = 3 2 3 1x x  
7) 
242 1 2 1 1 2 3x x x x x        
3.2. Ứng dụng giải bất phương trình. 
3.2.1. Ví dụ: 
Giải các bất phương trình sau: 
a) 9 2 4 5   x x b) 2 22 3 6 11 3 1        x x x x x x 
Hướng dẫn giải: 
a) 9 2 4 5   x x (1). Điều kiện: 
9 0
2
2 4 0
 
  
 
x
x
x
Xét hàm số ( ) 9 2 4    y f x x x . Miền xác định :  2;  D 
Đạo hàm 
/ 1 1( ) 0 2
2 9 2 4
     
 
f x x
x x
. Suy ra hàm số đồng biến trên D . 
Để ý rằng: (0) 5f , do đó: 
+ Nếu 0x thì ( ) (0) 9 2 4 5     f x f x x , nên 0x là nghiệm bpt. 
+ Nếu 2 0  x thì ( ) (5) 9 2 4 5     f x f x x nên 2 0  x không là nghiêm 
bpt. 
Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là  0;T   . 
b) 
2 22 3 6 11 3 1        x x x x x x (2) 
Điều kiện: 
2
2
2 3 0
6 11 0
1 3
3 0
1 0
   

  
  
 
  
x x
x x
x
x
x
 (*) 
Biến đổi bất phương trình: 
2 22 3 1 6 11 3         x x x x x x 
2 2( 1) 2 1 (3 ) 2 3         x x x x (3) 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
Xét hàm số 
2
( ) 2  f t t t . Ta thấy hàm số đồng biến trên  1;3 
Từ (3) ta có ( 1) (3 ) 1 3 2        f x f x x x x 
Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là  2;3T  . 
3.2.2. Sơ lược về PP giải. 
Dùng tương tự như giải PT, chú ý tính đồng biến nghịch biến của hàm số để lấy dấu bất phương trình. 
3.2.3. Bài tập vận dụng. 
Giải các bất phương trình sau: 
1) 1 3 4x x    2) 5 1 3 4x x    
5
3) 3 3 2 2 6
2 1
x x
x
   

 34) 8 2 ( 2) 1x x x x    
3.3. Ứng dụng giải hệ phương trình. 
3.3.1. Ví dụ: 
Giải các hệ phương trình sau: 
a) 
 
3
4
1 1
1
    

 
x y x
x y
 b) 
2
2
3 2 3
3 2 3
    

   
x x y
y y x
c) 
 
 
 
3 2
3 2
3 2
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
      


     

     
x x x x y
y y y y z
z z z z x
Hướng dẫn giải: 
a) 
 
3
4
1 1
1
    

 
x y x
x y
 (I) . Điều kiện: 
1 0 1
0 0
   
 
 
x x
y y
Ta có (I) 
 
 
2 3
4
1 1 1
1
     
 
 
x x x
x y
Từ phương trình :  
2 31 1 1    x x x 3 21 2 2      x x x x (1) 
Ta thấy hàm số ( ) 1 f x x là hàm đồng biến trên  1; 
Xét hàm số 
3 2
( ) 2 2    g x x x x . Miền xác định:  1; D 
Đạo hàm 
/ 2
( ) 3 2 2 0       g x x x x D . Suy ra hàm số nghich biến trên D. 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
Từ (1) ta thấy 1x là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất. 
Vậy hệ có nghiệm  1;0 . 
b)
2
2
3 2 3
3 2 3
    

   
x x y
y y x
 (II). Điều kiện: 
0
0



x
y
Ta có (II) 
2
2
3 2 3
3 3 2
    
 
   
x x y
x y y
Cộng vế theo vế ta có: 
2 23 3 3 3 3 3      x x y y (2) 
Xét hàm số 
2
( ) 3 3 3   f t t t . Miền xác định:  1; D 
Đạo hàm: 
/
2
3
( ) 1 0 
23
     

t
f t x D
tt
. Suy ra hàm số đồng biến trên D. 
Từ (*) ta có ( ) ( )  f x f y x y 
Lúc đó: 
23 3  x x (3) 
+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D. 
+ VP (3) là hàm hằng trên D. 
Ta thấy 1x là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện) 
Suy ra phương trình có nghiệm 1x là nghiệm duy nhất. 
Vậy hệ có nghiệm  1;1 
c) 
 
 
 
3 2
3 2
3 2
3 3 ln 1
3 3 ln 1
3 3 ln 1
      


     

     
x x x x y
y y y y z
z z z z x
Xét hàm số  3 2( ) 3 3 ln 1     f t t t t t 
Lúc đó hệ có dạng: 
( )
( )
( )



 
f x y
f y z
f z x
. Miền xác định: D R 
Đạo hàm : 
/ 2
2
2 1
( ) 3 3 0
2 1

     
 
t
f x t x R
t t
. Suy ra hàm số đồng biến trên D 
Ta giả sử  ; ;x y z là nghiệm của hệ và  max , ,x x y z khi đó ta suy ra: 
Nguyễn Quang Hoàng- Tổ Toán- THPT Vĩnh Định 
( ) ( ) ( ) ( )      y f x f y z z f y f z x . Vậy      x y z x x y z . 
Thay vào hệ ta có :  3 23 3 ln 1     x x x x x  3 22 3 ln 1 0      x x x x (3) 
Ta thấy 1x là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R) 
Vậy hệ có nghiệm  1;1;1 
3.3.2. Các bước giải như sau: 
Bước 1. Đặt điều kiện cho PT và chặn miền biến của biến nếu được. 
Bước 2: Biến đổi một về hoặc phối hợp cả hai vế của HPT để làm xuất hiện hàm số đặc trưng. 
Bước 3: Xét hàm số đặc trưng f(t) (trên TXĐ; trên miền biến chặn được) và chứng minh rằng hàm số f(t) đồng 
biến hoặc nghịch biến trên khoảng đang xét. 
Bước 4: Vận dụng kiến thức 2.2 để giải; sau khi dùng hàm số, ta thu được một PT mới. PT này có thể giải tiếp 
bằng PP hàm số, PP lượng liên hợp, lượng giác hóa, đặt nhân tử chung hoặc đặt ẩn phụ đưa về PT đa thức, 
3.3.3. Bài tập vận dụng. 
Giải các hệ phương trình sau. 
5 4 10 6
2
1) 
4 5 8 6
x xy y y
x y
   

   
3 3 2
2
3 4 2
2) 
1 2 1
y y x x x
x y y
     

    
3 3
8 4
5 5
3) 
1
x x y y
x y
   

 
  2 2
2
1 1 1
4) 
4 2 22 3 8
x x y y
x x y
     

     
3 2 2
2 2 2
(4 y 1) 2(