Ứng dụng của đạo hàm trong giải bài tập

Trang 1 
Ứng dụng của đạo hàm 
A . Lý thuyết 
1. Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì 
* '( ) 0, ( , )f x a b> "Î Û f(x) đồng biến trên khoảng (a,b) 
* '( ) 0, ( , )f x a b< "Î Û f(x) nghịch biến trên khoảng (a,b) 
Khi đó (a,b) được gọi là khoảng đơn điệu 
2. Cực trị của hàm số 
Giả sử f(x) xác định trên khoảng (a,b) và x0 thuộc khoảng (a,b) 
Dấu hiệu 1 : 
a. 0 0 0
0 0
'( ) 0, ( , )
'( ) 0, ( , )
f x x x h x
x
f x x x x h
> " Î -ì
Þí < " Î +î
là điểm cực đại của hàm số f(x) 
b. 0 0 0
0 0
'( ) 0, ( , )
'( ) 0, ( , )
f x x x h x
x
f x x x x h
< " Î -ì
Þí > " Î +î
là điểm cực tiểu của hàm số f(x) 
Dấu hiệu 2 : 
 a. 0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=ì
Þí >î
là điểm cực tiểu của hàm số f(x) 
b. 0
'( ) 0
''( ) 0
f x
x
f x
=ì
Þí <î
là điểm cực đại của hàm số f(x) 
3. Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại 
[a,b][a,b]
ax f(x);min f(x)m 
4. Tiệm cận 
Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f(x) 
 a. Tiệm cận đứng 
Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của (C) khi thỏa mãn một trong các điều kiện sau 
+ + - -0 0 0 0
x x x x x x x x
lim f(x)=+ ; lim f(x)=- ; lim f(x)=+ ; lim f(x)=-
® ® ® ®
¥ ¥ ¥ ¥ 
b. Tiệm cận ngang 
Đường thắng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của (C) nếu thỏa mãn một trong hai điều 
kiện sau 
0 0lim ( ) ; lim ( )x xf x y f x y®+¥ ®-¥= = 
5. Khảo sát hàm số 
Sơ đồ khảo sát hàm số chung 
Bước 1 : Tìm tập xác định của hàm số 
Bước 2 : - Xét sự biến thiên của hàm số 
 - Tìm các cực trị của hàm số 
 - Tìm các giới hạn vô cực 
 - Tìm các đường tiệm cận (Nếu có ) 
Bước 3 : - Lập bảng biến thiên 
 - Kết luận về bảng biến thiên 
Bước 4 : Vẽ đồ thị và các yếu tố đã nêu . 
 Trang 2 
B. Phương pháp giải toán 
 1 . Sự đồng biến nghịch biến của hàm số 
Phương pháp: 
Cho hàm số xác định trên (a,b) 
Ta thực hiện tính đơn điệu của hàm số qua các bước sau 
Bước 1 :Tìm tập xác định của hàm số 
Bước 2 : Tính f’(x) Giải phương trình f’(x) = 0 
Tìm các nghiệm xi và các điểm làm cho f’(x) không xác định 
Bước 3 :Sắp xếp các điểm xi và các điểm làm cho f’(x) không xác định theo thứ tự tăng dần . 
Lập bảng biến thiên (Bảng xét dấu f’(x) ) 
Bước 4 :Dựa vào bảng biến thiên (Bảng xét dấu f’(x) ) để kết luận tính đơn điệu của hàm số trên 
mỗi khoảng 
Bài tập 1 :Xét tính đơn điệu của các hàm số sau : 
= - -2. 3 4a y x x 
= + - -3 2
1. 3 7 2
3
b y x x x 
= - +4 2. 2 3c y x x 
+
=
-
3 1.
1
xd y
x
 +=
-
2 2.
1
x xe y
x
 = - -
2. 20f y x x 
=
- 2
.
16
xg y
x
Giải 
= - -2. 3 4a y x x 
TXĐ : =D R 
= -' 2 3y x 
= Û - = Û =
3' 0 2 3 0
2
y x x 
Vậy Hàm số đồng biến trên æ ö+¥ç ÷
è ø
3 ;
2
Hàm số ngịch biến trên æ ö-¥ç ÷
è ø
3;
2
Bảng xét dấu 
= + - -3 2
1. 3 7 2
3
b y x x x 
TXĐ : =D R 
= + -2' 6 7y x x 
=é
= Û + - = Û ê = -ë
2 1' 0 6 7 0
7
x
y x x
x
Vậy Hàm số đồng biến trên 
( ) ( )-¥ - È +¥; 7 1; 
Hàm số ngịch biến trên ( )-7;1 
Bảng xét dấu 
= - +4 2. 2 3c y x x 
TXĐ : =D R 
= -3' 4 4y x x 
Bảng xét dấu 
 Trang 3 
( )
=é
ê= Û - = Û =ê
ê = -ë
2
0
' 0 4 1 0 1
1
x
y x x x
x
Vậy 
Hàm số đồng biến trên ( ) ( )- È +¥1,0 1; 
Hàm số ngịch biến trên ( ) ( )-¥ - È; 1 0;1 
+
=
-
3 1.
1
xd y
x
TXĐ : { }= \ 1D R 
( )
= >
- 2
4' 0
1
y
x
Vậy 
Hàm số đồng biến trên ( ) ( )-¥ È +¥;1 1; 
Bảng xét dấu 
+
=
-
2 2.
1
x xe y
x
TXĐ : { }= \ 1D R 
( )
- + -
=
-
2
2
2 2'
1
x xy
x
= Û - + - =2' 0 2 2 0( )y x x VN 
Vậy < " Î' 0;y x D 
Vậy 
Hàm số nghịch biến trên ( ) ( )-¥ È +¥;1 1; 
Bảng xét dấu 
= - -2. 20f y x x 
TXĐ : ( ) ( )= -¥ - È +¥; 4 5;D 
-
=
- -2
2 1'
2 20
xy
x x
= Û - = Û =
1' 0 2 1 0
2
y x x 
Vậy Hàm số đồng biến trên ( )+¥5; 
Hàm số ngịch biến trên ( )-¥ -; 4 
Bảng xét dấu 
=
- 2
.
16
xg y
x
TXĐ : ( )= -4; 4D 
( )
= >
- -2 2
16' 0;
16 16
y
x x
Vậy 
Hàm số đồng biến trên ( )-4; 4 
Bảng xét dấu 
 Trang 4 
Bài tập 2: Chứng minh rằng hàm số =
+2 1
xy
x
 đồng biến trên khoảng ( )-1;1 , nghịch biến trên các 
khoảng ( ) ( )-¥ - È +¥; 1 1; . 
Giải . 
 Ta có : =
+2 1
xy
x
TXĐ : =D R 
( )
-
=
+
2
22
1'
1
xy
x
= Û - = Û = ±2' 0 1 0 1y x x 
Vậy hàm số =
+2 1
xy
x
 đồng biến trên khoảng 
( )-1;1 , nghịch biến trên các khoảng 
( ) ( )-¥ - È +¥; 1 1; . 
Bảng xét dấu 
Bài tập 3: Chứng minh rằng hàm số = - 22y x x đồng biến trên khoảng ( )0;1 , nghịch biến trên 
khoảng ( )1; 2 . 
Giải . 
Ta có: 
 = - 22y x x 
TXĐ : [ ]= 0;2D 
-
=
- 2
1'
2
xy
x x
= Û - = Û =' 0 1 0 1y x x 
Vậy hàm số = - 22y x x đồng biến trên 
khoảng ( )0;1 , nghịch biến trên khoảng 
( )1; 2 . 
Bảng xét dấu 
Bài tập 4 : Xác định giá trị của b để hàm số sin -y x bx c= + nghịch biến trên toàn trục số. 
Giải 
Ta có: 
 = s inx-bx+cy 
TXĐ : =D R 
=' osx-by c 
để hàm số = s inx-bx+cy nghịch biến trên toàn trục số thì 
= £ " Î
Û £ " Î
' osx-b 0;
osx b;
y c x D
c x D
Điều này luôn luôn đúng khi và chỉ khi ³ 1b 
Vậy khi ³ 1b thì hàm số = s inx-bx+cy nghịch biến trên toàn trục số. 
Bài 5 :Chứng minh các bất đẳng thức sau : 
. tan sin ;(0; )
2
a x x p> . tan ; (0; )
2
b x x x p> " Î > +
3
. tan
3
xc x x trên p(0; )
2
Giải 
 Trang 5 
p
>
Û - >
. tan sin ;(0; )
2
tan sin 0
a x x
x x
Đặt = -tan siny x x 
Ta có = + -2' tan 1 osy x c x 
Do ³
- ³
2tan 0
1 os 0
x
c x
Nên = + - ³2tan 1 os 0y x c x 
Do đó = -tan siny x x là hàm luôn luôn đồng 
biến trên p(0; )
2
Mặt khác ta có = - =(0) tan(0) sin(0) 0y 
Nên p= - > " Îtan sin 0; (0; )
2
y x x x 
Hay >tan sin ( )x x dccm 
. tan ; (0; )
2
tan 0
b x x x
x x
p
> " Î
Û - >
Đặt = -tany x x 
Ta có = + - =2 2' tan 1 1 tany x x 
Do ³2tan 0x 
Do đó = -tany x x là hàm luôn luôn đồng biến 
trên p(0; )
2
Mặt khác ta có =(0) 0y 
Nên p= - > " Îtan 0; (0; )
2
y x x x 
Hay >tan ( )x x dccm 
> +
3
. tan
3
xc x x trên p(0; )
2
Đặt = - -
3
tan
3
xy x x 
Ta có 
( )( )
= + - -
= - = - +
2 2
2 2
' tan 1 1
' tan tan tan
y x x
y x x x x x x
Do - >tan 0x x (câu b) 
 + >tan 0x x trên p(0; )
2
Nên y’ > 0 trên p(0; )
2
Do đó = - -
3
tan
3
xy x x là hàm luôn luôn đồng 
biến trên p(0; )
2
Mặt khác ta có =(0) 0y 
Nên = - - >
3
tan 0
3
xy x x 
Hay > +
3
tan ( )
3
xx x dccm 
ỨNG DỤNG ðẠO HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN ðẠI SỐ 
Giải phương trình : ( )10 10 81 81sin cos *
256
x x+ = 1.
2.
3.
4.
Giải phương trình : 
2 21. 3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0x x x x x+ + + + + + + = 
2tan2. osx=2 , - ;
2 2
xe c x
π π 
+ ∈  
 
 . 
3. 2003 2005 4006 2x x x+ = + 
3
4. 3 1 log (1 2 )x x x= + + + 
Giải phương trình : ( ) ( )
23 1
2
3
1
log 3 2 2 2 *
5
x x
x x
− −
 
− + + + =  
Giải hệ phương trình : 
1.
2 3 4 4 (1)
2 3 4 4 (2)
x y
y x
2.
( )
( )
3
3
2 1
2 2
x x y
y y x
 + =

 + =
3.
3 3
6 6
3 3 (1)
1 (2)
x x y y
x y
 − = −

+ =
Giải hệ phương trình : 
1.
2
1 1
 (1)
2 1 0 (2)
x y
x y
x xy
 − = −
 − − =
2.
3
1 1
 (1)
 2 1 (2)
x y
x y
y x
 − = −
 = +
5
 Trang 6