Tuyển tập 100 hệ phương trình luyện thi đại học

    
Giải 
Lấy ( 1 ) – ( 2 ) 
 Ta có 2 23 2 2 4 2 2 1x x x y y y        
2 2( 1) ( 1) 2 4 2 2 1x x x y y y          
Xét hàm số : 2( ) 1f t t t t    
1
'( ) 2 1
2 1
f t t
t
  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
  1 1 3 12 1 1 1
2 24 1 4 1
t
t t
      
 
Suy ra  ' 0f t  
Vậy  f t là hàm đồng biến 
Suy ra 1 2x y  
Thay 2 1x y  vào phương trình ( 2 ) ta có    
2
22 1 2 2 2 1 2 0y y y y       
 2
1 1
6 7 1 0 1 2
6 3
y x
y y
y x
   
        
Vậy hệ có nghiệm  
2 1
1;2 , ;
3 6
S
              
Bài 47 Giải hệ phương trình: 
 
3
3 2 2 2 1 0
2 2 2 5
x x y y
x y
     
    
Giải 
Điều kiện 
1
2;
2
x y  
Phương trình ( 1) tương đương :    2 2 2 2 1 2 1 2 1x x x y y y         
    2 2 1 .f x f y    
Xét hàm số   3f t t t  ta có   2' 3 1 0f t t   sauy ra hàm số  f t đơn điệu tăng . 
Từ đó suy ra    2 2 1 2 2 1f x f y x y       3 2x y   thay vào phương trình (2) 
Ta có 3 5 2 2 2 5y y    ( * ) 
 Đặt 
 
3 5 2
2 0
u y
v y v
  
   
(*) 3 2
2 5
2 9
u v
u v
   
  
1; 2
3 65 23 65
;
4 8
65 3 23 65
;
4 4
u v
u v
u v
     
  
    
2
233 23 65
32
233 23 65
32
y
y
y

 

  

  
Vậy hệ có nghiệm 
  23 65 185 233 23 65 23 65 185 233 23 651;2 , ; , ;
16 32 16 32
S
                                
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
Bài 48 Giải hệ phương trình: 
   
2 3 4 6
2
2 2
2 1 1
x y y x x
x y x
   
    
Giải 
Với 0x  thay vào hệ phương trình ta có 
0
3
4
y
y
 
  
 ( mâu thuẫn ) 
Chia hai vế phương trình ( 1) cho 3x ta có 
3
32 2
y y
x x
x x
       
 yf f x
x
      
Xét hàm số   3 2f t t t  có   2' 3 2 0f t t   sauy ra hàm số  f t đơn điệu tăng . 
Từ đó suy ra  2 0
y
x x y y
x
    Thay vào phương trình ( 2) ta có 
   
2
22 1 1x x x    .(*) 
Đặt 
 2 1 0
u x
v x v
 
   
(*)   22 2u v v u      2 2 2 0 2 0v uv v u v u v         2 3v x     
Vậy hệ có nghiệm     3;3 , 3;3S   . 
Bài 49 Giải hệ phương trình: 
   2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x
     
    
Giải 
Điều kiện : 
3
4
5
2
x
y
 

 
Phương trình ( 1 ) biến đổi ta có      
33
38 2 6 2 5 2 2 2 5 2 5 2x x y y x x y y          
Xét hàm số   3f t t t  ta có   2' 3 1 0f t t   suy ra hàm số  f t đơn điệu tăng . 
Từ đó suy ra    2 5 2f x f y    2 5 2x y   
25 4
0
2
x
y x

   
Thay vào Phuong trinh ( 2) ta có 
2
2
2 5 44 2 3 4 7 0
2
x
x x
          
. Với 
3
0;
4
x
 
 
 
 
 . Nhận xét 
3
0 ;
4
x x  đều không là nghiệm 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
 
2
2
2 5 44 2 3 4 7
2
x
g x x x
          
 Khi đó    2 4' 4 4 3 0
3 4
g x x x
x
   

 với 
3
0;
4
x
      
Ta có 
1 1
0 ; 2
2 2
g x y
         
là nghiệm duy nhất của hệ. 
Bài 50 Giải hệ phương trình:
 
2
2
2
3
1 1
2
2 5 1 2 2 4 2
y y y x
x x x x y
     

       
Giải 
Điều kiện 2 4 2 0x y   
Phương trình ( 1 ) tương đương 
 2 2 22 4 2 1 2 1x y y y y y        
2
22 4 2 1x y y y      (*) 
Thay vào phương trình (2) ta có 
   
22
21 1 1 2 1x x y y      
2
21 1 1 1
2 2
x x
y y
            
Xét hàm số 2( ) 1.f t t t   Khi dó 
2
'( ) 1 0
1
t
f t
t
  

 suy ra hàm số  f t đơn điệu tăng . 
Từ đó suy ra  1
2
x
f f y
       
 1 1 2 1
2 2
x x
f f y y x y
            
 thay vào phương trinh 
(*)ta được 
 
22
2
2
1 2 3
1 4
41 2
y y
y y y
y y

  
     
    
5
2
x  
Vậy hệ có nghiệm 
5 3
;
2 2
     
Bài 51 Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 5 3 4
3 3 1 0
x x x y y
x y x y
      
     
Giải 
Cộng hai phương trình ta có 
   
2 2 2 2
2 2
2 2
2 1 2 5 4
1 1 4 4
x x x x y y
x x y y
       
       
Xét hàm số    4 0f t t t t    Khi đó   1' 1 0
2 4
f t
t
  

 suy ra hàm số  f t đơn điệu 
tăng . 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
Từ đó suy ra      
2 2
2 21 1f x f y x y
        
1
1
y x
y x
     
Với 1y x  thay vào phuong trình hai ta có 
   2 2 2 1 3 3 1 1 0x x x x x        1 1
2 2
x y

    
Với 1y x  thay vào phương trình hai ta có 
   2 2 2 1 3 3 1 1 0x x x x x        3 1
4 4
x y   
Bài 52 Giải hệ phương trình: 
   2 2
2 2
2 4 1 2 2 1 32
1
2
x x y y y
x y x y
     

    
Giải 
Xét phương trình thứ hai của hệ : 2 2
1
0
2
x x y y     
Phương trình có nghiệm khi 2 21 4 4 2 3 4 4 0y y y y         
3 1
2 2
y

   
Phương trình thứ hai của hệ biến đổi theo biến y 
2 2 1 0
2
y y x x     
Phương trình có nghiệm khi 
2 21 4 4 2 3 4 4 0x x x x         
1 3
2 2
x

   
Phương trình thứ nhất ta có 
3 2 3 28 2 4 2 32x x y y y      
Xét hàm số 
  3 28 2f x x x  Khi đó   2' 24 4f x x x  với  
0
' 0 1
6
x
f x
x
 
   
Ta có   1 1 1 1 3 630 0; ; ;
2 2 6 54 2 2
f f f f
                              
Xét hàm số 
  3 24 2 32g y y y y     khi đó   2' 12 4 1g y y y    với  
1
6' 0
1
2
y
g y
y

 

  
 

Ta có 
1 63 1 1733 1 63 3 79
; ; ;
2 2 6 54 2 2 2 2
g g g g
                                          
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
Vậy hệ phương trình có hai căp nghiệm 
3 1 3 1
; ; ;
2 2 2 2
              
Bài 53 Giải hệ phương trình: 
3 2
2 1 3
4 1 9 8 52 4
x y
x x y x y xy
   
       
 ,x y  
Giải 
§K: 1y  . 
3 2
2
3 2 1
4 1 4 4 13 8 52 0
3 2 1
( 2 1) 13 8 52 0
3 2 13 2 1
2 13 0 1 5
x y
HPT
x x y xy x x y
x y
x x y x y
x yx y
x y y y
    
        
    
      
          
         
2
3 2 1
5
11 24 0
3 2 1
7
5
3
3
8
x y
y
y y
x y
x
y
y
y
y
   
 
   
         
     
 Vậy hệ có nghiệm là (7,3). 
www.VNMATH.com 
Bài 54 Giải hệ phương trình: 
 
   
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
     
    
 ,x y  
Giải 
Biến đổi phương trình thứ hai của hệ ta có
2 2 2 2 2
2 2
( ) 2 2 ( ) ( ) ( 1) 2( 1)( 1) 0
( 1)( 2) 0
xy x y x y x y x y xy xy xy
xy x y
           
    
+) 1xy  , thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn ta được: 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
2 2 3 23 6 3 0 ( ) 0.x y xy y y x y      
Vì xy = 1 nên 0y  , do đó x = y. Do đó x = y =1 hoặc x = y = -1.
+) 2 2 0.x y  thay vào phương trình thứ nhất và rút gọn ta được: 
3 2 2 3 24 5 2 0 ( 2 )( ) 0
2
x x y xy y x y x y
x y
x y
       
   
Từ đó giải được các nghiệm
2 2 2 2
(1;1),( 1, 1),(2 ; ),( 2 ; )
5 5 5 5
    
Bài 55 Giải hệ phương trình: 
2 2
2 2
2 5 3 4 (1)
3 3 1 0 (2)
x x x y y
x y x y
      
     
 ,x y  
Giải 
Từ (1): 
2 2
2 2
2 1
3
2 5 4
x y x
y x
x x y
  
 
   
, thay (2) vào ta được 
2 2
1
( 3 )( 1) 0
2 5 4
x y
x x y
  
   
3x y  
Với x = 3y thay vào (2) giải được: 
3 1 3 1
( , ) ( ; );( ; )
2 2 4 4
x y  
Bài 56 Giải hệ phương trình: 
4 4 2 2
2 2 2
1 25 2 (1)
1 (18 ) (2)
x y y x
x y y x
    

    
Giải 
Dễ thấy với 0y  hệ pt vô nghiệm 
Xét 0y  .Chia (1) cho 2y , chia (2) cho y ta được hệ 
4 2
2
2 2 2
2
2
1
2 25
1
18
x x
y
y y y
x
y x
y y
    
    
2
2 2
2
2
1
( ) 2( 1) 25
1
18
x
y x
y
x
y x
y
      
    
Đặt 
2
2
1x
a y
y
b x
   

 
 ta được hệ 
2
7
112 27
18 9
27
a
ba b
a b a
b
 
            
 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
+ Với 
7
11
a
b
 

 
 ta giải ra được 
2 11
3
x
y
 

 
 hoặc 
2 11
4
x
y
 

 
+ Với 
9
27
a
b
  

 
 vô nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm 
2 11
3
x
y
 

 
 hoặc 
2 11
4
x
y
 

 
Bài 57 Giải hệ phương trình: 
3 3
2 2
8 65
2(2 3 ) (1 3 ) 4 5.
x y
y x x y xy
  

      
Giải 
Hệ 
2 2 2
2 2 2 2
(2 )(4 2 ) 65 (2 )[(2 ) 6 ] 65
(2 )[3 (2 )] 5.4 4 6 3 5.
x y x xy y x y x y xy
x y xy x yx xy y x y xy
            
            
3
3 2
22
2 5(2 ) 6 (2 ) 65
(2 ) 2(2 ) 75 0
(2 ) 3(2 ) 15 0( )2.(2 ) +6 (2 ) 10
x yx y xy x y
x y x y
x y x y VNx y xy x y
                         
Thay y = 2x – 5 vào (1) ta có 3 3 2
2; 1
8 (2 5) 65 6 15 6 0 1
; 4
2
x y
x x x x
x y
   
       
   
Vậy hệ có 2 nghiệm 
1
(2; 1);( ; 4)
2
  . 
Bài 58 Giải hệ phương trình: 
22 2( 1) 2
1
2( ) 1
1
y x x
y x
x
    

    
Giải 
ĐK: 1x  
Hệ phương trình đã cho trở thành 
22 2( 1) 2
1
2 ( 1)
1
y x x
y x x
x
    

     
Đặt 
2
1
a y x
b x
  

  
. Khi đó hệ đã cho trở thành 
www.VNMATH.com 
www.VNMATH.com 
2 2 2
1( )
2 2