Tuyển chọn bài tập trong không gian Oxyz - Laisac

không gian Oxyz cho mặt cầu (I ;R) có phương trình :
x2+y2+z2−2x+4y−6z−11 = 0 và mặt phẳng (P) có phương trình 2x+2y−z+17 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) và cắt mặt cầu theo giao
tuyến là đường tròn có bán kính bằng 3.
Bài 4.Trong không gian Oxyz cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật
,AC cắt BD tại gốc tọa độ O. biếtA(−√2;−1; 0);B(√2;−1; 0);S(0; 0; 3).
1.Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB,song song với hai đường
thẳng AD và SC .
2. Gọi (P) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC. Tính diện tích thiết diện của
hình chóp SABCD với mặt phẳng (P).
Bài 5.Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz ,cho điểm A(1;2;1) và đường thẳng (d)
có phương trình :
x
3
=
x− 1
4
=
z + 3
1
.
1.Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và chứa (d).
2.Tìm tọa độ các điểm B,C,D sao cho tứ giác ABCD theo thứ tự đó là một hình
vuông,biết rằng hai điểm B,D thuộc đường thẳng (d).
Bài 6.Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(1;1;0) ,B(0;2;0),C(0;0;2).
1. Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông .Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp
tứ diện OABC.
2. Xác định tọa độ điểm M sao cho MA2 +MB2 +MC2 +MO2 là nhỏ nhất
Bài 7.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trình :
x +y + z + 3 = 0 và các điểm A(3;1;1);B(7;3;9);C(2;2;2).
1. Tính khoảng cách từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (ABC).
2. Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
∣∣∣−−→MA+ 2−−→MB + 3−−→MC∣∣∣ nhỏ nhất.
Bài 8.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho hai mặt phẳng
(P) :x -y + z + 5 = 0 và (Q) :2x + y + 2z + 1 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc mặt phẳng (P) và tiếp xúc mặt phẳng (Q) tại
M(1;-1;-1)
Bài 9.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P) x − 2y + 2z + 2 = 0 và hai điểm
A(4;1;3);B(2;-3;-1).Hãy tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 +MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Bài 10.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có
A(1;2;2); B(-1;2;-1);C(1;6;-1);D(-1;6;2).
1
1.Tính số đo góc giữa mặt (DBC) và mặt (ABC).
2.Giả sử VT , VC lần lượt là thể tích tứ diện ABCD và thể tích hình cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD .Tính tỉ số K =
VC
VT
Bài 11.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) :2x+ y− z+1 = 0
và hai điểm A(1;1;3), B(0;2;1)
Tìm M(1;y;z) thuộc (P) sao cho MA = MB.
Bài 12.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) 3x−8y+7z−1 = 0
và hai điểm A(0;0;-3),B(2;0;-1).
Tìm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác AMB đều.
Bài 13.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng
(d):
x− 1
−1 =
y + 2
1
=
z
2
và hai điểm A(1; 4;2), B(-1;2;4).Tìm điểm M thuộc (d) sao cho:
1.MA2 +MB2 là nhỏ nhất.
2. Diện tích tam giác AMB là nhỏ nhất.
Bài 14.Trong không gian Oxyz ,cho hai điểm H(3; 5; 4) và G(1; 2; 3). Lập phương trình
mặt phẳng đáy ABC của tứ diện OABC trong các trường hợp , biết.
1. H là trực tâm của tam giác ABC.
2. G là trọng tâm của tam giác ABC.
B. ĐƯờNG THẳNG.
Bài 15.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,viết phương trình đường thẳng (∆)
đi qua M(1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng
(d1)
{
x+ y − z − 3 = 0
2x− y + 6z − 2 = 0 , (d2)
{
2x+ y + 1 = 0
z = 0
Bài 16.Trong không gian hệ trục Đềcác vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng :
d1 :
x
1
=
y + 1
2
=
z
1
và d2 :
{
3x− z + 1 = 0
2x+ y − 1 = 0
1. Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau và vuông góc nhau.
2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả hai đường thẳng d1 và d2 và
song song với đường thẳng∆ :
x− 4
1
=
y − 7
4
=
z − 3
−2
Bài 17.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng đi qua
M(1; 4; -2) và song song với hai mặt phẳng :
(P) 6x + 6y +2z + 3 = 0; (Q) : 3x− 5y − 2z − 1 = 0 .
Bài 18.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng nằm
trong mặt phẳng (P) y + 2z = 0 và cắt hai đường thẳng
(d1) :

x = 1 − t
y = t
x = 4t
(d2) :

x = 2 − t
y = 4 + 2t
z = 1
Bài 19.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng qua
M(0; 1; 1) vuông góc với đường thẳng (d1) :
x− 1
3
=
y + 2
1
=
z
1
và cắt đường thẳng
(d2) :
{
x+ y − z + 2 = 0
x+ 1 = 0
Bài 20.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,lập phương trình đường thẳng lần
lượt cắt hai đường thẳng (d) :

x = 1 + t
y = −2 + 3t
z = t
và (d′) :
{
x− 2y + 3 = 0
4y − z − 9 = 0 và vuông góc
với mặt phẳng (P) x+ y + z = 0.
2
Bài 21.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng qua
O cắt (d):
{
2x − y − z = 0
x+ 3z − 5 = 0 và song song với mặt phẳng (P) 3x− y + 5z + 4 = 0
Bài 22.Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :
x− 1
−1 =
x+ 3
2
=
z − 3
1
và mặt
phẳng (P) :2x+ y − 2z + 9 = 0
1.Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2 .
2.Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P),biết di qua A và vuông góc với d.
Bài 23. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
d1 :
x
1
=
y
1
=
z
2
và d2 :

x = −1− 2t
y = t
z = 1 + t
1.Xét vị trí tương đối của d1 và d2 .
2.Tim tọa độ các điểm M và N lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 và d2 sao cho
đường thẳng MN song song với mặt phẳng (P): x− y + z = 0 và MN = √2.
Bài 24.Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
(d1) :
{
2x+ y + 1 = 0
x− y + z − 1 = 0 ; (d2) :

x = t
y = 1 + 2t
z = 4 + 5t
1.Hai đường thẳng trên có cắt nhau không?
2. Gọi B và C là các điểm đối xứng của điểm A(1;0;0) qua d1 và d2 .Tính diện tích tam
giác ABC.
Bài 25. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,viết phương trình đường thẳng (d)
vuông góc mặt phẳng (P):x+ y + z − 1 = 0 và cắt cả hai đường thẳng
(d1) :
x− 1
2
=
y + 1
−1 =
z
1
; (d2) :
{
x− 2y + z − 4 = 0
2x− y + 2z + 1 = 0
Bài 26.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
(d1) :
x
1
=
y − 1
−2 =
z
a
và (d2) :
{
3x + y − 5z + 1 = 0
2x + 3y − 8z + 3 = 0
1. Định a để hai đường thẳng vuông góc nhau.
2. Lập phương trình mp (P) qua d1và song song d2
Bài 27. Trong không gian với hệ tục toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng
(d1) :
x− 2
2
=
y − 3
3
=
z + 4
−5 và (d2) :
x+ 1
3
=
y − 4
−2 =
z − 4
−1 .
a. Chứng minh hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau từ đó lập phương trình đường
vuông góc chung của chúng.
b. Tìm giao điểm của hai hình chiếu vuông góc của hai đường thẳng (d1) và (d2) xuống
mặt phẳng Oxy.
Bài 28.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxy ,cho hai điểm A(1;-1;2).,B(3;1;0) và
mặt phẳng (P) có phương trình x− 2y − 4z + 8 = 0
1.Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:(d) nằm
trong mặt phẳng (P),(d) vuông góc với AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng
AB với mặt phẳng (P).
2.Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P) sao cho CA = CB và mặt phẳng (ABC)
vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 29. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho hai đường thẳng
(d1) :
{
2x+ y + 1 = 0
x− y + z − 1 = 0 và (d2) :
{
3x+ y − z + 3 = 0
2x− y + 1 = 0
Chứng minh hai đường thẳng cắt nhau,từ đó lập phương trình các đường phân giác của
góc tạo bỡi hai đường thẳng (d1) và (d2)
3
Bài 30.Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trình
x+ 2y − 3z − 5 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình
{
x+ y − 3 = 0
2y + z − 2 = 0
1.Lập phương trình mặt cầu có bán kính bằng
√
14, tâm thuộc đường thẳng (d) và tiếp
xúc mặt phẳng (P).
2.Lập phương trình hình chiếu (d′) của (d) trên (P).
Bài 31. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện SABC có các đỉnh
S(-2;2;4); A(-2;2;0); B(-5;2;0); C(-2;1;1).
1. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối diện SA ,BC .
2. Tính số đo góc của cạnh bên SA với đáy (ABC).
Bài 32. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho hai đường thẳng :
(d1) :
x
0
=
y − 1
−1 =
z − 2
1
và (d2) :
{
2x− y − 1 = 0
y + z + 1 = 0
a. Chứng minh rằng hai đường thẳng (d1) và (d2) chéo nhau.
b. Lập phương trình mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng (d1) và (d2).
Bài 33. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
(∆) :
x− 2
2
=
y − 1
1
=
z + 1
−2 và điểm A(2; 3; 1).
1. Tìm tọa độ hình chiếu A′ của A trên ∆.
2. Tìm M thuộc ∆ sao cho MA = 4.
Bài 34. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho đường thẳng
(d)

x = 2 + 3t
y = −2t
z = 4 + 2t
và hai điểm A(1; 2; -1), B(7; -2; 3 ).
Tìm trên đường thẳng (d) những điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến A và B
là nhỏ nhất.
Bài 35. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S) :x2+ y2+ z2− 6x+2y− 2z+2 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến với (S) đi qua điểm
A(1; 1; -2) và song song với mặt phẳng (P) x+ 2y − 2z + 1 = 0 .
Bài 36. Trong không gian hệ trục Oxyz, cho đường thẳng (d1)

x = 1 + t
y = 1 + 2t
z = 1 + 2t
Đường thẳng d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P):2x− y − 1 = 0 và (Q):2x+ y + 2z − 5 = 0.
1.Chứng minh d1 và d2 cắt nhau.Viết phương trình mặt phẳng α chứa d1 và d2
2. Gọi I là giao điểm của d1 và d2 viết phương trình đường thẳng d3 đi qua A(2; 3; 1) và
tạo với hai đường thẳng d1 , d2 một tam giác cân đỉnh I.
C. BàI TậP KHó, HAY.( Của Nguyễn Lái. GVTHPT chuyên Lương văn Chánh.)
Bài 37. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(- 1 ; - 3 ; -2 );đường cao BK
và trung tuyến CM lần lượt nằm trên các đường thẳng
(d1)
x+ 1
2
=
y − 1
3
=
z − 4
4
; (d2)
x− 1
2
=
y + 2
−3 =
z − 5
1
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB , AC của tam giác ABC.
Bài 38. Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng
(d1) :
{
x+ 2y − 4 = 0
z − 3 = 0 và (d2) :
{
y + z = 0
x− 1 = 0
Lập phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng trên.
Bài 39. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3 ) nằm trong miền
4
góc t̂′It tạo bỡi hai tia It’ và It lần lượt nằm trên hai đường thẳng có phương trình{
x− y − 2 = 0
2x− z − 4 = 0 và
{
2x+ y − 1 = 0
3x+ z − 1 = 0
Qua M(1; 2; 3) lập phương trình đường thẳng (d) cắt hai tia It’ và It lần lượt tại A và
B (khác điểm I )sao cho diện tích tam giac IAB nhỏ nhất.
Bài 40. Trong