Tổng hợp lí thuyết - Đại số 9

Giao điểm của (P) với trục hoành ( nếu có) , hoành độ các điểm này là nghiệm của PT ax2 + bx + c = 0.
b/ Nhận xét : 
 - Hàm số y = f(x) = ax2 + bx + c (a 0).
	. Nếu a > 0 Thì Min f(x) = với x0 =
 	. Nếu a < 0 Thì Max f(x) = với x0 =
Trong 1số tr. hợp, x không nhận giá trị thuộc R mà chỉ thuộc 1 tập con của R . Chẳng hạn, x hoặc nằm ngoài khoảng .
Trong trường hợp x0 = không thuộc khoảng đang xét của x ta cũng tìm được GTLN , GTNN của f(x) căn cứ vào đồ thị của hàm số y = f(x) và xét các giá trị f() ; f()./.
C/ Một số dạng bài toán liên quan đến hàm số .
Bài toán1. Lập PT đường thẳng y = ax + b thoả mãn đ.kiện cho trước (Tức là tìm a, b).
1/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có hệ số góc bằng k:
B1: Xác định a: Theo đề bài ta có a = k.
B2: Xác định b : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + b b
KL: Thay a, b tìm được vào công thức ta được PT cần tìm.
2/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB )
B1: Đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và B(xB , yB ) nên ta có : a ; b.
3/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và có tung độ gốc là h:
 B1: Xác định b: Theo đề bài ta có b = h.
B2: Xác định a : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = kxA + h a
4/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và // trục hoành Ox (Hoặc trục tung Oy)
	- Đường thẳng song song với trục hoành thì x = xA y = b = yA
	( Nếu đgt // trục tung Oy thì y = yA x = xA = b )
5/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và vuông góc với đgt d, có PT y = a,x + b,
Đường thẳng d d, nên a.a, = - 1 .Từ đó suy ra a.
Thay toạ độ của A vào PT trên suy ra b.
6/ Lập PT đường thẳng (d) // (d,) : y = a,x + b, và đi qua A(xA , yA ) .
Khi b b, : - Xác định a: Theo đề bài ta có a = a, .
 - Xác định b : Đường thẳng đi qua A nên ta có yA = a, xA + b b.
 	 - KL: Thay a, b tìm được vào công thức ta được PT cần tìm.
7/ Lập PT đường thẳng (d) cắt trục Ox tại A(xA , 0 ) và cắt trục Oy tại B( 0, yB ).
B1: Xác định b: (d) cắt Oy tại B( 0, yB ) nên b = yB 
B2: Xác định a : (d) cắt Ox tại A(xA , 0 ) nên a = b/ xA 
8/ Lập PT đường thẳng (d) có hệ số góc bằng k và tiếp xúc với đường cong (P): y = f(x). 
B1: Xác định a : Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b (*) 
B2: Xác định b : PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.
 Vì (d) tiếp xúc với (P) nên PT (*) có nghiệm kép ( = 0) b. 
9/ Lập PT đường thẳng (d) đi qua A(xA , yA ) và tiếp xúc với đường cong (P): y = f(x).
- PT hoành độ điểm chung của (d) và (P ) là f(x) = ax + b. (*)
- Đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) PT (*) có nghiệm kép .
	Từ ĐK này ta tìm được 1 hệ thức liên hệ giữa a và b . Ta được (**)
- Đường thẳng (d) đi qua A nên ta có yA = axA + b (***)
- Từ (**) và (***) suy ra a và b.
10/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại 2 điểm phân biệt.
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b 
PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
- Đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi PT (*) có > 0 b. 
11/ Lập PT đgt (d) có hệ số góc bằng k và cắt đcong (P): y = f(x) tại A có hoành độ xA:
- Theo đề bài ta có a = k . PT có dạng y = kx + b 
PT hoành độ điểm chung của (d) và (P) là f(x) = kx + b.(*)
Đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ xA khi xA là nghiệm của PT (*).
 Khi đó ta có f(xA ) = kxA + b b. 
* Chú ý :
 1. Bài toán lập PT đường cong y = ax2 đi qua điểm A(xA, yA ) tức là xác định hệ số a.
 Giải tương tự bài toán lập PT đgt.
 2. Hoành độ giao điểm của đường cong y = ax2 (P) và đgt y = mx+ n (d) là nghiệm 
của PT ax2 = mx +n (1)
Nếu PT (1) vô nghiệm thì (d) không giao với (P) 
Nếu PT (1) có 2 nghiệm phân biệt thì (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. 
Nếu PT (1) có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P). 
Bài toán với hàm số y = ax2 + bx + c giải tương tự bài toán với hàm số y = ax2 
( Theo các bài toán 1 --> 5 )
Khi vẽ đồ thị hàm số y = ax + b trong đó a, b là số vô tỉ a = , b = ta cần sử dụng định lí Pitago trong tam giác vuông.
Bài toán 2 .Xác định vị trí tương đối giữa: Đường thẳng-đường thẳng; Đường thẳng – Parbol.
1. Xác đinh vị trí tương đối của 2 đường thẳng y = ax + b (d) và y = a,x + b, (d,)
* d // d, a = a, và b b, 
* d d, a a, 
* d d, a = a, và b = b, 
* d d, a.a, = 1 
2. Xác đinh vị trí tương đối của đường thẳng y = ax + b (d) và y = ax2 (P)
PT hoành độ giao điểm chung nếu có của (d) và (P) là ax + b = ax2 (1)
	* (d) (P) tại 2 điểm phân biệt PT(1) có 2 nghiệm phân biệt ( > 0 )
	* (d) và (P) chỉ có 1 điểm chung PT (1) có nghiệm kép ( 0 )
	* (d) và (P) không có điểm chung PT (1) vô nghiệm ( < 0 ).
Bài toán 3. Bài toán chứng minh: 
a. Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định.
- Gọi C(x0 , y0 ) là điểm cố định của đường thẳng (d)
- ĐK cần và đủ để đường thẳng luôn đi qua C(x0 , y0 ) với mọi tham số m là : Am = B
 ( Biến đổi PT đgt khi C(x0,y0) (d) )
 Trong đó : A là biểu thức chứa x0, y0 hoặc x0 hoặc y0 .
 B là biểu thức chứa x0 hoặc y0 hoặc x0 ; y0 .
- GPT A = 0 ; B = 0 với tham số m x0 ; y0 C(x0; y0 ) .
VD: CMR đường thẳng (d) có PT y = mx + luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi m? 
G: Gọi C(x0; y0 ) là điểm cố định của (d) C (d) với mọi m
 Ta có y0 = mx0 + 2y0 - 1= 2mx0 , với mọi m 2y0 - 1= 2x0 m, với mọi m 2y0 – 1 = 0 và 2x0 = 0 x0 = 0 ; y0 = 0.
Vậy (d) luôn đi qua điểm cố định C( 0; ) .
b. Chứng minh (d) luôn tiếp xúc (hoặc không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) :
 Đường thẳng (d) luôn tiếp xúc ( không cắt hoặc cắt (P) tại 2 điểm p.biệt) 
PT hđộ gđiểm ax + b = ax2 có N0 kép ( hoặc vô nghiệm hoặc có 2 nghiệm phân biệt).
VD: CMR với mọi m thì đgt (d) có PT y = mx + và (P) y = x2 luôn cắt nhau tại 2
 điểm phân biệt ?
G : PT hoành độ giao điểm của (d) và (P) là mx + = x2 ...x2 – 2mx – 1 = 0
 có , = m2 + 1 > 0 với mọi m.
	Vậy với mọi m (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
Bài toán 4. Xác định toạ độ giao điểm 2 đường thẳng trên cùng 1 hệ trục toạ độ.
	Giả sử điểm M(x0 , y0 ) là giao điểm 2 đường thẳng (d) : y = ax + b và y = a,x + b, (d, )
	B1: Tìm hoành độ giao điểm x0 thoả mãn nghiệm đúng PT ax + b = a,x + b, .
	B2: Tìm tung độ giao điểm y0 bằng cách thay x0 vào 1 trong 2 hàm số đã cho.
Bài toán 5. Xác định điểm M( xM, yM ) cho trước có thuộc đồ thị của HSố cho hay không.
Cách giải : Đồ thị của hàm số đi qua M khi toạ độ của M thoả mãn nghiệm đúng PT của (d) : M (d) yM = f(xM)
 Do đó tính f(xM) : Nếu f(xM) = yM Thì (d) đi qua M
 Nếu f(xM) yM Thì (d) không đi qua M
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------
Phần III / Hệ phương trình
1)Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn
- Định nghĩa :
Cho hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ax+by =c và a’x+b’y=c’.
Khi đú ta cú hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn (I)
- Nếu hai phương trỡnh cú nghiệm chung (x0;y0) thỡ nú được gọi là nghiệm của hệ (I)
- Nếu hai phương trỡnh ấy khụng cú nghiệm chung thỡ ta núi hệ vụ nghiệm.
2)Quan hệ giữa số nghiệm của hệ và đường thẳng biểu diễn tập nghiệm
	- Nếu (d) cắt (d’) hệ cú nghiệm duy nhất
	- Nếu (d) song song với (d’) thỡ hệ vụ nghiệm.
	- Nếu (d) trựng (d’) thỡ hệ vụ số nghiệm
3)Hệ phương trỡnh tương đương:
Hai HPT được gọi là tương đương với nhau nếu chỳng cú cựng tập nghiệm 
4) Một số PP giải HPT:
 * Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp thế.
+ Từ 1 PT của hệ đó cho ta b.diễn1 ẩn kia rồi thế vào PT thứ 2 để được 1 PT mới 
(chỉ cú1 ẩn)
+ Dựng PT mới ấy thay thế cho một trong hai PT của hệ (và giữ nguyờn PT kia )
* Giải hệ phương trỡnh bằng phương phỏp cộng đại số.
+ Nhõn 2 vế của mỗi PT với 1 số thớch hợp (nếu cần ) sao cho cỏc hệ số của 1 ẩn nào đú bằng nhau hoặc đối nhau.
+ Dựng quy tắc cộng đại số để được hệ mới trong đú cú 1 PT bậc nhất 1 ẩn.
+ Giải PT 1 ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ. 
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP đặt ẩn phụ.
* Giải hệ phương trỡnh bằng PP dựng đồ thị
Số nghiệm của hệ là số giao điểm của 2 đường thẳng (d) và (d’) 
5/ Biện luận và Giải hệ phương trỡnh :
B1. Dựng PP cộng hoặc thế đưa hệ về dạng Mx = N (*)
B2. Xột cỏc trường hợp:
+ Nếu M0 thỡ (*) trở thành x = thay vào y ở 1 trong 2 PT của hệ ta tỡm được y. Do đú hệ cú nghiệm duy nhất (x;y).
+ Nếu M = 0 thỡ: 	+(*) vụ nghiệm khi N 0,Do đú hệ vụ nghiệm.
	+ (*) cú vụ số nghiệm khi N = 0.
 Nghiệm TQ Hoặc x;y Hoặc x = 0; Hoặc y = 0 
B3. Kết Luận
6) Một số bài toỏn về hệ cú chứa tham số:
Xỏc định cỏc giỏ trị của tham số thoả món ĐK cho trước 
1/ Nghiệm thoả món cỏc ĐK về số nghiệm : 
Cú nghiệm duy nhất- Vụ số nghiệm - Vụ nghiệm. 
PP: Nếu 
PP: 	 Nếu ab’ – ba’ 0 Hay thỡ (**) cú nghiệm duy nhất.
Nếu Hoặc thỡ (**) cú vụ số nghiệm.
Nếu Hoặc thỡ (**) vụ số nghiệm.
2/ Nghiệm thoả món hệ đẳng thức, bất đẳng thức liờn hệ giữa cỏc giỏ trị của nghiệm.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
	+ B3: Cho nghiệm thoả món đẳng thức, bất đẳng thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm từ đú tỡm được giỏ trị của tham số.
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
3/ Nghiệm của hệ là số nguyờn.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
 	+ B3: Xột cỏc giỏ trị của nghiệm thoả món là số nguyờn
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
4/ Tỡm GTLN – GTNN của biểu thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm.
	+ B1: Tỡm ĐK để hệ cú nghiệm.
	+ B2: Tỡm nghiệm của hệ( bằng PP cộng hoặc thế ) 
 	+ B3: Xột cỏc giỏ trị của biểu thức giữa cỏc giỏ trị của nghiệm. 
	+ B4: KL: Xột giỏ trị của tham số tỡm được so với ĐK cú nghiệm và trả lời.
--------------------------------------------------@@@------------------------------------------------
Phần IV / phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 ( a 0 )(1)
Công thức nghiệm của PT bậc 2:
- Nếu < 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu = 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 = 
- Nếu > 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt : 
- Nếu < 0 Thì PT vô nghiệm.
- Nếu = 0 Thì PT có N0 kép: x1= x2 = 
- Nếu > 0 Thì PT có 2 N0 phân biệt : 
Nhận xét :
*Nếu a + b + c = 0 thì : 
*Nếu a - b + c = 0 thì : 
* Nếu c = 0 thì : 
*Nếu x1,