Tổng hợp công thức và bài tập Nguyên hàm phần II - Nguyễn Thanh Trung

Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 1 2/5/2010 
NGUYÊN HÀM 
§1. NGUYÊN HÀM: 
1). Định nghĩa : 
Hàm số  F x gọi là nguyên hàm của hàm số  f x trên  ,a b nếu 
     , ,F x f x x a b    . 
Ghi nhớ : Nếu  F x là nguyên hàm của  f x thì mọi hàm số có dạng 
 F x C (C là hằng số) cũng là nguyên hàm của  f x và chỉ những hàm số có 
dạng  F x C mới là nguyên hàm của  f x . Ta gọi  F x C là họ nguyên 
hàm hay tích phân bất định của hàm số  f x và ký hiệu là  f x dx . 
Như vậy:    f x dx F x C  
2). Tính chất: 
 a.Tính Chất 1:      0;kf x dx k f x dx k   
 b. Tính Chất 2:        f x g x dx f x dx g x dx       
 c. Tính Chất 3 Nếu    f x dx F x C  thì    f u du F u C  . 
3). Nguyên hàm của những hàm số cần nhớ  a,b a 0   : 
dx x C  1 lndx ax b C
ax b a
  
 
 
1
1
1
,xx dx C

 


   
 
x xe dx e C  
sin cosxdx x C   1ax axe dx e C
a
  
cos sinxdx x C  1sin cosaxdx ax C
a
   
2 2
tan ,
cos
   
dx x C x k
x

 
1cos sinaxdx ax C
a
  
Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 2 2/5/2010 
2 cot ,sin
   
dx x C x k
x
 2
1
2
tan ,
cos
   
dx ax C x k
aax


 0ln ,dx x C x
x
   2
1 cot ,
sin
   
dx ax C x k
aax
 
4). Bài tập: 
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: 
1. 5 2 1f(x) x 3x 5
x
    
2. 
5 4 3 2
1 1 1 1f(x)
x x x x
    
3. 3f(x) x 
4. 
5 2x 3x 5x 3f(x)
x
  
 
5. f(x) ( x 1)(x x 1)    
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: 
1. x xf(x) e (1 e )  
2. 
x
x
2
ef(x) e (2 )
cos x

  
3. x xf(x) 2 3  
Bài 3: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. f(x) = sinx +2cosx 
2. 2f(x) tan x 
3. 2f(x) co t x 
4. 
2 2
1f(x)
sin x cos x


5. 2f(x) (tan x 3cot x)  
Bài 4: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. sin xA e cosxdx  
Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 3 2/5/2010 
2. 
2sin xA e sin2xdx  
3. 2A sin xcosxdx  
4. 3A sin xdx  
5. 3 5A sin x cos xdx  
6. 2 2A sin x cos xdx  
7. 3A cos xdx  
8. A sin3x cos5xdx  
9. A sin 4x cos6xdx  
10. A cos4x cos6xdx  
11. A sinx(sin x 1)dx  
12. A cosx(cosx 1)dx  
13. A sin x(cosx 2)dx  
Bài 5: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. B tanxdx  
2. B cot xdx  
3. sin x cosxB dx
sinx cosx


 
4. 
2
sin x cosxB dx
(sinx cosx)



5. 
tan x
2
eC dx
cos x
  
6. 
2
1 tan xC dx
cos x

  
7. 
2
dxC
x cos x
  
8. sin(ln x)D dx
x
  
Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 4 2/5/2010 
9. dxD
x ln x ln(ln x)
  
Bài 6: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. 
2
2xA dx
x 3


2. 
2
2x 1A dx
x x 3


 
3. 
x
x
eA dx
e 3


4. 
x x
x x
e eA dx
e e





5. 2A x x 1dx  
6. 3 2A x x 1dx  
7. A x x 1dx  
8. 
x x
dxG
e e 2

 
Bài 7: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. 3x 2B e dx  
2. xB e dx  
3. 10B (2 5x) dx  
4. B cos(2x )dx
3

  
5. 
2
dxB
cos (x )
2



 
6. 
2
dxB
(sin x cosx)


7. dxB
(1 x)(1 2x)

  
Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 5 2/5/2010 
8. 
2
(3x 7)B dx
x 4x 3


 
9. 
2
xdxB
(1 x)



10. 
2
3
(x x 1)B dx
(x 1)
 


11. 
2
3
(3x 3x 3)B dx
x 3x 2
 

 
12. 
2 2
dxB
(x 3x 2)

 
13. 
2
2
2x 41x 91B dx
(x 1)(x x 12)


  
14. 
3 2
dxB
x 2x x

 
15. 
23x 11x 9B dx
(x 1)(x 2)
 

  
Bài 8: Tìm nguyên hàm của hàm số 
1. x ln(1 x)dx 
2. 2 x(x 2x 1)e dx  
3. xsin(2x 1)dx 
4. cosx(1 x)dx 
5. xa) e sin xdx  
6. xb) e cosx dx 
Bài 9: 
1. Tìm một nguyên hàm của hàm số  
3 2
2
3 3 1
2 1
x x xf x
x x
  

 
,biết rằng 
  11
3
F  . (Đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông năm 2003) 
Nguyên hàm 
GV:Nguyễn Thanh Trung Page 6 2/5/2010 
2. Tìm một nguyên hàm của hàm số   2
1sin
cos
 f x x
x
,biết rằng 
2
4 2
 
 
 
F  .