Tổng hợp các bài toán về hàm số

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ 
1. Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 2 3 3 1 y x mx m x m m = - + + - + - 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Tìm k để phương trình  3 2 3 2 3 3 0 x x k k - + + - =  có 3 nghiệm phân biệt 
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
2. Cho hàm số ( ) 4 2 2 9 10 y mx m x = + - + 
a) Khảo sát khi m = 1 
b) Tìm m để hàm số có ba cực trị 
3. Cho hàm số 
( )  2 2 1 
1 
m x m 
y 
x 
- - 
= 
- 
a) Khảo sát  và vẽ đồ thị hàm số  khi m = ­1 . Gọi đồ thị là ( C ) 
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và hai trục tọa độ 
c) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x 
4. Cho hàm số  4 2  1 y x mx m = - + - 
a) Khảo sát khi m = 8 
b) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt 
5. Cho hàm số 
2  2 
2 
x x m 
y 
x 
- + 
= 
- 
a) Xác định m để hàm số nghịch biên trên đoạn [­1;0] 
b) Khảo sát khi m = 1 
6. Cho hàm số  3 2 
1 1 
2 2 
3 3 
y x mx x m = + - - - 
a) Cho 
1 
2 
m =  : 
+Khảo sát hàm số 
+Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  : 4 2 d y x = + 
b) Tìm m thuộc khoảng 
5 
0; 
6 
æ ö 
ç ÷ 
è ø 
sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và các đường x = 0 , x = 2 , y 
= 0 có diện tích bằng 4 
7. Cho hàm số ( ) 3  3 y x m x = - - 
a) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ bằng 0 
b) Khảo sát khi m = 1 
c) Tìm k để hệ sau có nghiệm 
( ) 
3 
3 2 
2 2 
| 1| 3 0 
1 1 
log log 1 1 
2 3 
x x k 
x x 
ì - - - < 
ï 
í 
+ - £ ï î 
8. Cho hàm số 
2 
1 
x mx 
y 
x 
+ 
= 
- 
a) Khảo sát khi m = 0 
b) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu . Với m nào thì khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm 
số bằng 10 
9. Cho hàm số 
2 
1 
mx x m 
y 
x 
+ + 
= 
- 
a) Khảo sát khi m = ­1 
b) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương 
10. a) Khảo sát hàm số 
( ) 
2 2 4 3 
2 1 
x x 
y 
x 
- - 
= 
- 
b) Tìm m để phương trình  2 2 4 3 2 | 1| 0 x x m x - - + - =  có hai nghiệm phân biệt
1
11. Cho hàm số 
( ) 
( ) 
2 2 2 1 4 
2 
x m x m m 
y 
x m 
+ + + + + 
= 
+ 
a) Tìm m để hàm số có cực trị và tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
b) Khảo sát khi m = 0 
12. Cho hàm số  3 2 3 y x x m = - + 
a) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ 
b) Khảo sát khi m = 2 
13. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) ( ) 2 1 y x x mx m = - + +  cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt 
14. Cho hàm số 
2 1 
1 
x 
y 
x 
- 
= 
- 
a) Khảo sát hàm số 
b) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận , tìm m sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường 
thẳng IM 
15. Cho hàm số 
2  2 4 
2 
x x 
y 
x 
- + 
= 
- 
a) Khảo sát hàm số 
b) Tìm m để đường thẳng  : 2 2 m d y mx m = + -  cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt 
16. Cho hàm số 
2 2 5 6 
3 
x x m 
y 
x 
+ + + 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 1;+¥ 
17. a) Khảo sát hàm số  3 2 2 3 1 y x x = - - 
b) Gọi dk  là đường thẳng đi qua điểm ( ) 0; 1 M -  và có hệ số góc k. Tìm k để  k d  cắt đồ thị tại 3 điểm phân 
biệt 
18. Cho hàm số 
( ) 
2  3 3 
2 1 
x x 
y 
x 
- + - 
= 
- 
a) Khảo sát hàm số 
b) Tìm m để đường thẳng  y m =  cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B sao cho  1 AB = 
19. Cho hàm số  3 2 
1 
2 3 
3 
y x x x = - + 
a) Khảo sát hàm số 
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn. Chứng minh tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc 
nhỏ nhất 
20.Cho hàm số 
1 
y mx 
x 
= + 
a) Khảo sát hàm số khi 
1 
4 
m = 
b) Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến tiệm cận xiên của đồ 
thị bằng 
1 
2 
21. Cho hàm số 
( ) 2  1 1 
1 
x m x m 
y 
x 
+ + + + 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Chứng minh với mọi m đồ thị hàm số luôn có điểm cực đại và cực tiểu và khoảng cách giữa chúng bằng 
20
2
22. Cho hàm số  3 2 
1 1 
3 2 3 
m 
y x x = - + 
a) Khảo sát hàm số khi m = 2 
b) Gọi M là điểm thuộc đồ thị co hoành độ bằng ­1. Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị tại M song song với 
đường thẳng  5 0 x y - = 
23. Cho hàm số 
2  1 
1 
x x 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số 
b) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm ( ) 1;0 M -  và tiếp xúc với đồ thị 
24. Cho hàm số 
2 2 2 1 3 x mx m 
y 
x m 
+ + - 
= 
- 
a) Khảo sát khi m = 1 
b) Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị nằm về hai phía so với trục tung 
25. Cho hàm số 
2  2 2 
1 
x mx 
y 
x 
- + 
= 
- 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Tìm m để đồ thị  hàm số có hai điểm cực trị A, B và chứng minh khi đó đường thẳng AB song song với 
đường thẳng  2 10 0 x y - - = 
26. Cho hàm số 
2  2 2 
1 
x x 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số 
b) Gọi I là giao hai tiệm cận . Chứng minh không có tiếp tuyến nào của ( C ) đi qua điểm I 
27. a) Khảo sát hàm số  3 2 2 9 12 4 y x x x = - + - 
b) Tìm m để phương trình sau  có  6 nghiệm phân biệt  3 2 2 | | 9 | | 12 | | x x x m - + = 
28. a) Khảo sát hàm số 
2  2 5 
1 
x x 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
b) Dựa vào đồ thị hàm số trên , tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 
( )( ) 2 2 2 5 2 5 1 x x x m x + + = + + + 
29. a) Khảo sát hàm số ( ) 
2 
2 2 1 
2 
x 
y x = - - 
b) Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm ( ) 0; 2 A  và tiếp xúc với đồ thị. 
30. Cho hàm số  3  3 2 y x x = - + 
a) Khảo sát hàm số 
b) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm ( ) 3;20 A  có hệ số góc m. Tìm m để d cắt đồ thị hàm số tại 3 điểm phân 
biệt 
31. Cho hàm số 
3 
2  11 3 
3 3 
x 
y x x = - + + - 
a) Khảo sát hàm số 
b) Tìm trên đồ thị hai điểm phân biệt M,N đối xứng nhau qua trục tung 
32. Cho hàm số 
3 
1 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
a) Khảo sát hàm số 
b) Chứng minh với M là điểm bất kì thuộc đồ thị thì tiếp tuyến của  đồ thị tại M cắt hai tiệm cận tại A, B thì 
M là trung điểm của đoạn AB 
33.Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 2 2 y x m x m x m = + - + - + + 
a) Khảo sát khi m = 2 
b) Tìm các giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực tiểu , đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
3
34. Cho hàm số  4 2 2 2 1 y x m x = - + 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Tìm m để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân 
35. Cho hàm số  3 2 2 2 2 y x mx m x = - + - 
a) Khảo sát khi m = 1 
b) Tìm m để hàm sô đạt cực tiểu tại x = 1 
36. Cho hàm số 
1 
x 
y 
x 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số 
b) Tìm điểm M trên đồ thị biết khoảng cach từ M đến đường thẳng  3 4 0 x y + =  bằng 1 
37. Cho hàm số 
2  4 
1 
x x 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
a) Khảo sát hàm số 
b) Viết phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  3 3 0 x y - + = 
38. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 2 1 y x m x m m x = - + + + + 
a) Khảo sát hàm số khi m = 1 
b) Chứng minh hàm số ( C ) luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại 
các điểm có hoành độ dương. 
39. Cho hàm số ( ) 3 2 2 1 1 y x m x m = - + + - - 
a) Khảo sát hàm sô khi m = 1 
b) Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng  2 1 y mx m = - - 
40. a) Khảo sát hàm số 
2  3 3 
1 
x x 
y 
x 
+ + 
= 
+ 
b) Tìm m để phương trình 
2  3 3 
1 
x x 
m 
x 
+ + 
= 
+ 
có 4 nghiệm phân biệt 
41. Tìm trên hai nhánh đồ thị hàm số 
2 
1 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
hai điểm A, B sao cho khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất. 
42. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 1 2 1 2 y x m x m x m = + - - + + - 
a) Chứng minh với mọi m , đồ thị hàm số ( ) m C  luôn đi qua 1 điểm cố định 
b) Chứng minh mọi đường cong ( ) m C  tiếp xúc nhau tại một điểm cố định. Viết phương trình tiếp tuyến 
chung của các đường cong ( ) m C  tại điểm đó. 
( HD: Chứng minh có 1 điểm cố định ( ) 0 0 , M x y  và ( ) 0 f x hs =  không đổi ) 
43. Cho hàm số 
2 1 
1 
x 
y 
x 
+ 
= 
- 
. Tìm m để đường thẳng  y x m = +  cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm 
quỹ tích trung điểm I của AB khi m thay đổi 
44. Chứng minh hai đồ thị sau tiếp xúc nhau , xác định tiếp điểm và viết phương trình tiếp tuyên chung 
2 4 , 2 
2 
x 
y y x 
x 
+ 
= = + 
+ 
45. Tìm m để đồ thị hàm số ( ) 3  2 1 1 y x m x = - + +  cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt 
46. Xét vị trí tương đối của hai đồ thị  3 2 2 3 3 2, 4 2 y x x x y x x = + - - = - +
4