Tổng hợp các bài tập về Số phức luyện thi Đại học năm 2011

 Vũ Ngọc Vinh 1 
CHUYÊN ĐỀ SỐ PHỨC 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Khái niệm số phức 
 Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i2 = -1 được 
gọi là số phức. 
 a là phần thực, b là phần ảo, i là đơn vị ảo. 
 Tập hợp số phức được kí hiệu là C. 
 Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C . 
 Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 
2. Biểu diễn hình học 
 Số phức z = a + bi  ,a b R được biểu diễn bởi điểm M(a; b) hay bởi  ,u a b

 trong 
mp(Oxy) (mặt phẳng phức). 
3. Hai số phức bằng nhau 
 '' ' , , ', '
'
a a
a bi a b i a b a b R
b b
     
4. Cộng và trừ hai số phức 
*      ' ' ' 'a bi a b i a a b b i       
*      ' ' ' 'a bi a b i a a b b i       
* Số đối của z = a + bi là –z = -a – bi 
5. Nhân hai số phức 
*        ' ' ' ' ' 'a bi a b i aa bb ab ba i       
*    k a bi ka kbi k R    
6. Số phức liên hợp 
* Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là z a bi  
* z z 
* ' 'z z z z   
* . ' . ' ;
' '
z zz z z z
z z
    
* 2 2.z z a b  
* z là số thực z z  
* z là số ảo z z   
7. Modul của số phức 
Cho số phức z = a + bi 
* 2 2 .z a b z z OM   

O x 
y 
b 
a 
M (a,b) 
Trục thực 
Trục ảo 
 Vũ Ngọc Vinh 2 
* 0, ; 0 0z z C z z      
* . ' . 'z z z z 
*
' '
zz
z z
 
* ' ' 'z z z z z z     
8. Chia hai số phức 
*  1 2
1 0z z z
z
   
* 
' ' '
' 1
2
. ..
.
z z z z zz z
z z zz
   
9. Căn bậc hai của số phức 
* z = x + yi là căn bậc hai của số phức w = a + bi 
2 2
2 xw
2
y az
xy b
      
* w = 0 có đúng một căn bậc hai là z = 0 
* w 0 có đúng hai căn bậc hai đối nhau 
* Hai căn bậc hai của a > 0 là a 
* Hai căn bậc hai của a < 0 là .a i  
10. Phương trình bậc hai 
 2 0 *Az Bz C   (A, B, C là các số phức cho trước, 0)A  
* Công thức nghiệm giống phương trình bậc 2 trên tập số thực 
* Nếu 0z C là một nghiệm của (*) thì 0z cũng là nghiệm của (*) 
11. Dạng lượng giác của số phức 
+)    sin 0z r cos i r    là dạng lượng giác của số phức z = a + bi 
 
2 2
0
sin
r a b
az cos
r
b
r



  
  

 
+)  là một acgumen của z,  ,Ox OM  
+) 1z z cos isin     
B. DẠNG BÀI TẬP TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CÁC NĂM QUA 
I. Dạng tìm phần thực, phần ảo của một số phức 
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức i + (2 – 4i) – (3 – 2i) 
Giải: 
Ta có: i + (2 – 4i) – (3 – 2i) = ( 0 + 2) + (1- 4)i + (-3 + 2i) = (2 – 3) + (-3 + 2)i = -1 – i 
Vậy số phức đã cho có phần thực là – 1, phần ảo là – 1. 
Bài 2: Tìm phần thực, phần ảo của số phức    3 31 2i i   
Giải: 
 Vũ Ngọc Vinh 3 
Ta có: 
       
 
3 3 2 2 3
3 3 3
1 1 3 1 3 1 2 2
2 2 8
i i i i i
i i i
          
   
   3 31 2 2 10i i i      
Vậy số phức đã cho có phần thực là 2, phần ảo là 10. 
Bài 3: (A10) Tìm phần ảo của số phức z, biết    22 1 2z i i   
Giải: 
Ta có:   1 2 2 1 2 5 2 5 2z i i i z i        
Phần ảo của số phức z bằng: 2. 
Bài 4: (CĐ 2010) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện      22 3 4 1 3i z i z i      . Tìm phần 
thực và phần ảo của z. 
Giải: 
Gọi z = a + bi  ,a R b R  . Đẳng thức đã cho trở thành 6a 4b -2(a b)i 8 -6i 
6 4 8 2
2 2 6 5
a b a
a b b
         
Vậy số phức z đã cho có phần thực là -2, phần ảo là 5 
Bài 5: (CDA09) Cho số phức z thỏa mãn      21 2 8 1 2i i z i i z      . Tìm phần thực và 
phần ảo của z. 
Ta có:      21 2 8 1 2i i z i i z           21 2 1 2 8z i i i i         
 2 2 1 2 8z i i i i        
  8 1 28 2 3
2 1 5
i iiz i
i
     

Vậy số phức z đã cho có phần thực là 2, phần ảo là -3 
II. Dạng tìm môđun của số phức 
Bài 1: (A 2010) Cho số phức z thỏa mãn 
 31 3
1
i
z
i



. Tìm môđun của số phức z iz 
Giải: 
Ta có:  31 3 8i   
Do đó 8 4 4 4 4
1
z i z i
i
       

 4 4 4 4 8 8z iz i i i i           
Vậy 8 2.z iz  
III. Dạng tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước 
Bài 1: (D 2010) Tìm số phức z thỏa mãn: 2z  và 2z là số thuần ảo. 
Giải: 
Gọi z = a + bi  ,a R b R  , ta có: 2 2z a b  và 2 2 2 2z a b abi   
 Vũ Ngọc Vinh 4 
Yêu cầu bài toán tỏa mãn khi và chỉ khi: 
2 2 2
2 2 2
2 1 1
10 1
a b a a
ba b b
                
Vậy các số phức cần tìm là: 1 + i; 1 – i; -1 + i; -1 – i. 
Bài 2: (B 2009) Tìm số phức z thỏa mãn:  2 10z i   và . 25z z  . 
Giải: 
Gọi z = a + bi  ,a R b R  , 
Ta có:      2 2 1 ;z i a b i      
Từ giả thiết ta có:  2 10z i        2 22 1 10 1a b     
và . 25z z   2 2 25 2a b   
Giải hệ (1) và (2) ta được 3 5
4 0
a a
b b
     
Vậy các số phức cần tìm là: 3 4z i  hoặc 5z  
Bài 3: Tìm số phức z thỏa mãn: 2 0z z  
Giải: 
Gọi z = x + yi  ,x R y R  , khi đó 
 22 2 20 0z z x yi x y        2 2 2 2 2 0x y x y xyi      2 2 2 2 0
2 0
x y x y
xy
     

2
2
0
0
0
0
x
y y
y
x x
 
      
 
 
0
1 0
0
1 0
x
y y
y
x x
     
    
0
0
1
0
0 1 0
x
y
y
y
x do x
 
 
  
    
0, 0
0, 1
0, 1
0, 0
x y
x y
x y
x y
  
      
 
Vậy các số phức cần tìm là: 0; ;z z i z i    
IV Giải phương trình trên tập hợp các số phức 
Bài 1: (CĐ 2010) Giải phương trình  2 1 6 3 0z i z i     trên tập hợp các số phức. 
Giải: 
Phương trình có biệt thức    21 4 6 3 24 10i i i         21 5i  
Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i  và 3 .z i 
Bài 2: (A 2009) Gọi 1z và 2z là hai nghiệm phức của phương trình 2 2 10 0z z   . Tính giá 
trị của biểu thức 2 21 2A z z  . 
Giải: 
Ta có: 2 22 4.10 36 36i      
 Vũ Ngọc Vinh 5 
Phương trình có hai nghiệm là: 1 1 3z i   và 2 1 3 .z i   
 2 21 1 3 10z     và    2 21 1 3 10z      
Vậy 2 21 2 20A z z   
Bài 3: (CĐ A 2009) Giải phương trình sau trên tập hợp các số phức: 4 3 7 2z i z i
z i
   

Giải: 
Điều kiện: 1z   
Phương trình đã cho tương đương với  2 4 3 1 7 0z i z i     
Phương trình có biệt thức    24 3 4 1 7 3 4i i i        22 i  
Phương trình có hai nghiệm là: 1 2z i  và 3 .z i  
V. Tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 
Bài 1: (D 2009) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thoả 
mãn điều kiện  3 4 2z i   . 
Giải: 
Gọi z = x + yi  ,x R y R  , ta có:    3 4 3 4z i x y i      
Từ giả thiết ta có:        2 2 2 23 4 2 3 4 4x y x y         
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(3, -4), bán kính R = 2. 
Bài 2: (B 2010) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa 
mãn:  1z i i z   
Giải: 
Gọi z = x + yi  ,x R y R  , ta có: 
 1z i i z        1x y i x y x y i            2 2 22 1x y x y x y       
 2 2 2 1 0x y y      22 1 2x y    
Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(0, -1), bán kính R = 2 . 
C. MỘT SỐ BÀI TẬP LUYÊN TẬP 
Bài 1. 
Cho 1z , 2z là các nghiệm phức của phương trình 
22 4 11 0z z   . 
Tính giá trị của biểu thức: 
2 2
1 2
2
1 2( )
z z
z z


. 
ĐS: 
2 2
1 2
2
1 2
11
4( )
z z
z z



Bài 2. Giải phương trình nghiệm phức : 25 8 6z i
z
   
 Vũ Ngọc Vinh 6 
ĐS: z = 4 + 3i. 
Bài 3. )(,1
4
Cz
iz
iz 






ĐS: 
Bài 4. Tính tổng: 0 4 8 2004 20082009 2009 2009 2009 2009...S C C C C C      
ĐS: 1003 20072 2S   
Bài 5. Cho số phức z = 1 3
2 2
i  . Hãy tính 1 + z + z2 
ĐS: 1 + z + z2 = 0 
Bài 6. Tìm nghiệm phức của phương trình: (1+i)z2 - (4 + i)z + 2 - i = 0 
ĐS: 
i
iz
i
z




1
3;
1
1
21 
Bài 7. Cho 1 2,z z là hai nghiệm phức của phương trình 
2 2 2 0z z   . 
 Tính 2010 20101 2A z z  
ĐS: 2010 2010 1005 10051 2 2 2 0A z z i i      
Bài 8. Giải phương trình sau trên tập số phức C: 
2
4 3 1 0
2
zz z z     
ĐS : z=1+i; z=1-i ; z=
2
1i ; z=
2
1 i 
Bài 9. 1 3 2i z   
1 2z  
ĐS: 2 23 3 16x y    3 3I 
Bài 10. 2z 
1
z
i
3
4

ĐS: 2
2 2
z cos i     
Bài 11. Giải phương trình sau trên tập số phức: (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 
ĐS: 1 5z i  hoặc 3 3z   
Bài 12. 0z  3 3
1 2z
z
  1 2z
z
 
HD: 1 2 1 2z z z z  
3
3
3
1 1 13z z z
z zz
             
3
3
3
1 1 1 13 2 3z z z z
z z zz
       
1a z
z
  3 23 2 0 2 1 0 2a a a a a        