Tổng hợp bài tập về bất đẳng thức và cực trị - Doãn Xuân Huy

Cộng các vế của các BĐT này lại ta sẽ được đpcm. Dấu bằng xảy ra khi a = b = 2.
Bài 2’: a,b,c là ba số không âm có tổng bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
(đpcm). Dấu bằng xảy ra khi
a = b = c =1/3.
Bài 3: Cho ba số không âm a,b,c. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: ; tương tự ta cũng có:
 cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c. 
Bài 3’: Cho ba số dương x,y,z. Chứng minh: .
Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức trong đó x,y là các số dương.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTNN của P bằng khi y = 2x.
Bài 5: Ba số thực a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Hãy tìm GTLN của biểu thức 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
Vậy GTLN của S bằng 3 khi a = b = c = 1.
Bài 6: x,y là các số thực thỏa mãn các điều kiện: . Tìm GTLN của biểu thức: 
.
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy GTLN của A bằng 36 khi x = 0 và y = 2.
Bài 7: x,y,z là các số không âm có tổng bằng 1. Tìm GTLN của biểu thức: .
Bài 8: a,b,c là các số dương. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự
ta cũng có: . Cộng các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Chú ý: Nếu thì ta được BĐT: 
Bài 9: Cho 3 số thực dương a,b,c. Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
. Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b = c.
Bài 10: Các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Bài 11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Bài 12: Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn hệ thức: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (I) ta có: . Tương tự ta cũng có:
 (đpcm)
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 13: Cho hai số thực dương x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Giải: Dễ thấy S dương. Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy khi x = y = ½.
Bài 14: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
.
Bài 15: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: Chứng minh: .
Bài 16: Cho 3 số dương x,y,z có tổng bằng 1. Chứng minh BĐT: .
Giải: Do nên theo BĐT (I) ta có: 
. Tương tự ta cũng có: ; 
Cộng các BĐT trên ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 17: Cho hai số thực dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinP = 19 khi x = 2 và y = 4.
Bài 18: Cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
 .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. Vậy MinS = 4 khi x = y = z = 1/3.
Bài 19: Cho hai số thực không âm x,y thỏa mãn các điều kiện: . 
Tìm GTLN của biểu thức: .
Giải: Theo BĐT (I) ta có: 
. ( Do ).
Vậy khi .
Bài 20: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh BĐT: .
Giải: Theo BĐT (IV) ưng với n =2 ta có: 
. Tương tự ta cũng có:
; .Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 21: Cho hai số dương a,b có tổng bằng 1. Chứng minh các BĐT sau:
Giải: a/ Theo BĐT (IV) ứng với n =2 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 22: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh:
Bài 23: Ba số dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) và (I) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi .
Chú ý: Từ BĐT trên ta suy ra BĐT: với a,b,c là các số dương.
Bài 24: Cho . Chứng minh: .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta được:
 từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi
Bài 25: Cho 4 số dương x,y,a,b thỏa man các điều kiện: . Chứng minh:
 .
Giải: Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số ta
được: từ đó suy ra BĐT ccm. Dấu 
bằng xảy ra khi bx = ay.
Bài 26: Bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn hệ thức: ; x là số thực bất kì. Chứng minh:
Giải: Áp dụng BĐT (II) ứng với n = 3 ta có: 
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi b=d=1&x=a=c.
Bài 27: Cho 5 số dương x,y,z,p,q bất kì. Chứng minh: .
Giải: Theo BĐT (III) ta có: 
 (*). Áp dụng BĐT (II) cho hai bộ số và
 ta được:
Kết hợp với BĐT (*) ta sẽ được BĐT ccm. Dấu bằng xảy ra khi; .
Bằng cách giải tương tự ta sẽ chứng minh được các BĐT sau:
1/ với a,b,c là các số dương bất kì.
2/ với a,b,c,d là các số dương bất kì.
3/ với a,b,c là các số dương bất kì.
4/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
5/ với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 28: Cho các số thực x,y,u,v thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh: 
Giải: Theo BĐT (II) : 
Từ đó suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 29: Cho a,b,c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện: Chứng minh:
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
 . Từ đó ta suy ra BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 30: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: Chứng minh: 
.
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II) ta được: 
 (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi .
Bài 31: Hai số a,b thỏa mãn điều kiện: . Chứng minh:
Giải: a/ Từ điều kiện ta suy ra: . Áp dụng BĐT (II) ta được:
 (đpcm). Dấu bằng xảy ra khi a = 24/5,b = 24/3
hoặc a = 16/5, b = 6/5.
Bài 32: Ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
Bài 33: Cho a,b,c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức: Tìm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Theo BĐT (II) ta có: 
. Tương tự ta cũng có: ;
. Vậy MinS = 3 khi .
II.Sử dụng phương pháp đánh giá:
Bài 34: Cho 3 số dương a,b,c. Chứng minh các BĐT sau:
Giải:a/Ta có: 
. Tương tự ta cũng có các BĐT: 
. Cộng các vế của các BĐT này lại
rồi giản ước ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
b/ Theo BĐT (I) ta có: .
Tương tự ta cũng có: . Cộng các vế của các BĐT này lại rồi đơn giản ta sẽ được BĐT cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi 
Bài 35: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: Tìm GTNN của biểu thức:
Bài 36: Cho 3 số dương a,b,c có tổng bằng 2. Chứng minh: 
Bài 37: Cho 3 số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện: Tìm GTLN của biểu thức:
Bài 38: Cho ba số dương x,y,z có tích bằng 8. Tìm GTNN của biểu thức:
Giải: Ta có: Vậy khi 
Bài 39: Cho 3 số thực x,y,z có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: 
Giải: Theo BĐT (II) ta có: . Áp dụng
BĐT (I) ta được: 
 Vậy khi 
Bài 40: Cho 3 số dương x,y,z bất kì.Tìm GTNN của biểuthức:
Bài 41: Cho 3 số dương x,y,z bất kì. Chứng minh:
Bài 41’: Tìm GTNN và GTLN của biểu thức biết x và y thỏa mãn phương trình:
Giải: 
Bài 41’’: Cho . Tìm GTNN của biểu thức: .
Giải:Ta có: .
Bài 41’’’: Cho 3 số thực . Tìm GTLN của .
Giải: Từ giả thiết suy ra: 
Bài 42: Cho . Chứng minh:
Giải: Ta có: 
đpcm.
Bài 42’: Biết phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn . Tìm GTLN của biểu thức:
.
Giải: Gọi hai nghiệm của phương trình là 
III.Chứng minh BĐT hoặctìm cực trị bằng phương pháp đổi biến:
Bài 43: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn hệ thức: Chứng minh BĐT: 
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Theo BĐT (II) ta có:
 (đpcm).
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 43’: Cho 3 số thực dương x,y,z có tích bằng 1. Chứng minh BĐT: 
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
.Áp dụng BĐT (II)&(I) ta có ngay:
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 44: Cho 3 số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện: Chứng minh BĐT:
.
Giải: Đặt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c thì điều kiện trở thành: và BĐT trở thành:
. Ta có:
. Tương tự ta cũng có: . Cộng các BĐT này lại ta sẽ được BĐT ccm. 
Dấu bằng xảy ra khi hay 
Bài 45: Cho hai số thực x,y khác 0 và thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN và 
GTLN của biểu thức: 
Giải: Đặt thì điều kiện trở thành: . Theo BĐT (II) ta có:
. Vậy MinS = - 0,5 khi x = - 2; y = 2. MaxS = 4,5 khi x = y = 2/3.
Bài 46: Hai số thực x,y thỏa mãn các điều kiện: Tìm GTNN và GTLN 
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: ; 
đồng thời 
x
-4 -3 1 3 
f’(x)
 + 0 - 0 +
f(x)
 20 20
13 -12
 Từ BBT của hàm số ta suy ra:
Bài 47: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức:
Bài 48: Cho các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN và GTLN
của biểu thức: 
Giải: Từ điều kiện ta suy ra: . Nếu Nếu đặt
. (*) không có nghiệm khi T=1
Với có khi . Kết hợp với trên ta có:
MinT=-2 khi . MaxT=1 khi và y = 0.
Bài 49: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện: . Tìm GTNN của biểu thức: 
Bài 50: Cho hai số không âm x,y có tổng bằng 1. Tìm GTNN và GTLN của biểu thức:
.
Giải: Ta có: 
.
( Vì x và không đồng thời bằng 0 nên )
Do 
Bài 51: Các số thực a,b,c thỏa mãn: . Tìm GTNN của biểu thức:
.
Giải: Do . Đặt t = b/a > 1
.
Mìn = 3 khi 
Bài 52: Trong các nghiệm (x; y; z;t ) của hệ: hãy tìm nghiệm làm cho S = x + z đạt GTLN.
Giải: Đặt 
TOÁN VỀ NHỊ THỨC NIU-TƠN
I.Xác định số hạng trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:
Bài 1: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển: 
Giải: a/ Ta có: . 
Do nên số hạng không chứa x trong khai triển là 
b/ Ta có: . 
Do nên số hạng không chứa x trong khai triển là .
Bài 2: Biết hệ sô của số hạng thứ 3 trong khai triển nhị thức bằng 36. Tìm số hạng thứ 7.
Giải: Từ GT . Vậy số hạng thứ 7 trong khai triển bằng 
Bài 3: Tìm hệ số của trong khai triển của: .
Giải: Ta có: 
 Có 3 bộ số (k;l) thỏa mãn hệ thức này là: (8;0), (9;2) và (10;4). Vậy hệ số của bằng: 
Bài 4: Tìm hệ số của trong khai triển của: .
Giải: Ta có: có 3 cặp (k;l) thỏa mãn là: (0;5), (2;4) và (4;3). Vậy hệ số của trong khai triển bằng: 
Bài 5: Trong khai triển P(x) = thành đa thức: 
P(x) = . Tìm max .
Giải: Ta có: . Giả sử lớn nhất thì: 
 .
Vậy max= .
II. Tính tổng:
Bài 6: Khai triển (x-2)100=a0+a1x+a2x2++a100x100 a) Tìm a97	b) T= a0+a1++a100	
c) S=a0-a1+a2-a3+.+a100	 d/P=a1+2a2+3a3++100a100
Giải: a/ Do .
b/ .
c/ .
d/ Từ khai triển trên, đạo hàm hai vế ta được: .
Bài 7: Khai triển: (1+2x+3x2)10= a0+a1x+.+a20x20
a) Tìm a1, a20 , a4	b) Tính S = a0+a1++a20
Giải: a/ Ta có: 
;
b/ Ta có: .
Bài 8: Khai triển (1+x+x2)1996=a0+a1x++a3992x3992
a/Tính T=a0+a1++a3992 ; b) H= a0-a1+a2-.+a3992 ; c) CMR a0+2a1+22a2++23992a3992 chia hết 2401.
Giải: a/ Ta có: .
b/ Ta có: . 
c/ Ta có: .
Bài 9: Tính giá trị các biểu thức: 
 Giải: Ta có: .
a/ Cho x = a ta được: .
b/ Cho x = -1 ta được: .
c/ Đạo hàm hai vế của hệ thức trên ta được:
.
Bài 10: Tính: .
Giải: Ta có: .
Bài 11: Tính: .
Giải: Ta có: .
BÀI TẬP TỰ GIẢI:
1/Tìm hệ số của số hạng chứ