Tổng hợp bài tập sử dụng công thức nguyên hàm, tích phân

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
BÀI 1. BÀI TẬP SỬ DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN 
 I. B¶ng c«ng thøc nguyªn hµm më réng
 + c
 + c
II. NHỮNG CHÚ Ý KHI SỬ DỤNG CÔNG THỨC KHÔNG CÓ TRONG SGK 12
Các công thức có mặt trong II. mà không có trong SGK 12 khi sử dụng phải chứng minh lại bằng cách trình bày dưới dạng bổ đề. Có nhiều cách chứng minh bổ đề nhưng cách đơn giản nhất là chứng minh bằng cách lấy đạo hàm
1. Ví dụ 1: Chứng minh: ; 
Chứng minh: 
2. Ví dụ 2: Chứng minh rằng: + c
Chứng minh: Lấy đạo hàm ta có: = 
3. Ví dụ 3: Chứng minh rằng: (với )
Đặt , Þ 
4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng: (với , a > 0)
Đặt ,uÎ Þ 
Bình luận: Trước năm 2001, SGK12 có cho sử dụng công thức nguyên hàm 
 và (a > 0) nhưng sau đó không giống bất cứ nước nào trên thế giới, họ lại cấm không cho sử dụng khái niệm hàm ngược arctg x, arcsin x. Cách trình bày trên để khắc phục lệnh cấm này.
III. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN ĐƠN GIẢN
III.1. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN:
1. Biểu diễn luỹ thừa dạng chính tắc: 
 ; 
 ; ; 
2. Biến đổi vi phân: 
dx = d(x ± 1) = d(x ± 2) =  = d(x ± p)
adx = d(ax ± 1) = d(ax ± 2) =  = d(ax ± p)
III.2. CÁC BÀI TẬP MẪU MINH HOẠ
1. 
 =
2. 
3. 
4. 
5. 
III.3. CÁC BÀI TẬP DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI
 ; ; 
BÀI 2. TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CÓ MẪU SỐ CHỨA TAM THỨC BẬC 2
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG VÀ KỸ NĂNG BIẾN ĐỔI
1. 	4. 
2. 	5. 
3. 	6. 
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc 2:
1. 2. 
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN 
I. Dạng 1: 
1. Phương pháp: 
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
 ; 
II. Dạng 2: 
1. Phương pháp: = 
= = 
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (sử dụng khi mẫu có nghiệm)
• Nếu mẫu có nghiệm kép tức là 
thì ta giả sử: 
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm a, b.
Với a, b vừa tìm ta có: = 
• Nếu mẫu có 2 nghiệm phân biệt : thì ta giả sử 
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số ở hai vế để tìm a, b.
Với a, b vừa tìm ta có: = 
2. Các bài tập mẫu minh họa:
• 
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
;
III. Dạng 3: 
1. Phương pháp: Bổ đề: 
Biến đổi nguyên hàm về 1 trong 2 dạng sau:
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
IV. Dạng 4: 
1. Phương pháp: 
= 
2. Các bài tập mẫu minh họa: 
• D1 =
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
V. Dạng 5: 
1. Phương pháp: Đặt . Khi đó:
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•. Đặt 
Khi đó: 
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
VI. Dạng 6: 
1. Phương pháp: 
2. Các bài tập mẫu minh họa:
. Đặt . Khi đó:
Þ F1 = 2I + J = 
•
. Đặt 
 Vậy 
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
VII. Dạng 7: 
1. Phương pháp: Đặt 
	Khi đó: 
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•. Đặt . Khi đó:
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
VIII. Dạng 8: 
1. Phương pháp:
Đặt 
Þ . Khi đó ta có: 
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•. Đặt 
và 
 . Khi đó ta có:
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
IX. Dạng 9: 
1. Phương pháp: 
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
Xét . Đặt 
Xét . Đặt 
Þ . Khi đó:
Þ 
•
Xét . Đặt 
Xét L = . Đặt 
Þ Þ . Khi đó:
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO 
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
•
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
•
•
•
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
•
•
•
•
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
•
•
•
•
•
•
•
• (thay x2 vào D2)
VI. DẠNG 6: SỦ DỤNG KHAI TRIỂN TAYLOR
• Đa thức Pn(x) bậc n có khai triển Taylor tại điểm x = a là:
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•. Đặt 
VII. DẠNG 7: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC CAO
1. Các bài tập mẫu minh họa:
•
•
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
VIII. DẠNG 8: KĨ THUẬT CHỒNG NHỊ THỨC
•
•
•
Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
•; ; 
BÀI 4. TÍCH PHÂN CƠ BẢN CỦA CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
1. KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NEWTON
trong đó và với qui ước 0! = 1
2. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC
B. CÁC DẠNG TÍCH PHÂN
I. Dạng 1: 
1. Công thức hạ bậc
2. Phương pháp
2.1. Nếu n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc
2.2. Nếu n = 3 thì sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo 2.3.
2.3. Nếu 3 £ n lẻ (n = 2p +1) thì thực hiện biến đổi:
•
•
II. Dạng 2: (m, nÎN)
1. Phương pháp:
1.1. Trường hợp 1: m, n là các số nguyên
a. Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng.
b. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:
c. Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p +1) thì biến đổi:
d. Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 1.2. hoặc 1.3. cho số mũ lẻ bé hơn.
1.2. Nếu m, n là các số hữu tỉ thì biến đổi và đặt u = sinx ta có: 
 (*)
• Tích phân (*) tính được Û 1 trong 3 số là số nguyên 
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
•
•
•
•
•
Đặt Þ ; 
Þ 
Cách 2: 
III. Dạng 3: (nÎN)
1. Công thức sử dụng
• 
• 
• 
• 
2. Các bài tập mẫu minh họa
•
•
•
•
•
IV. Dạng 4: 
1. Phương pháp: Xét đại diện 
1.1. Nếu n chẵn (n = 2k) thì biến đổi:
1.2. Nếu m lẻ, n lẻ (m = 2k +1, n = 2h +1) thì biến đổi:
 (ở đây )
1.3. Nếu m chẵn, n lẻ (m = 2k, n = 2h + 1) thì sử dụng biến đổi:
Hệ thức trên là hệ thức truy hồi, kết hợp với bài tích phân hàm phân thức hữu tỉ ta có thể tính được D4.1.
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
•
•
•
•
•
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
V. Dạng 5: Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
1. Phương pháp:
2. Các bài tập mẫu minh họa:
•
•
•
•
•
3. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: