Tổng hợp bài tập Phương trình Lượng giác

ọc, Cao đẳng toàn quốc, Khối A, 2003, dự bị 1) 
3 – tgx(tgx + 2sinx) + 6cosx = 0. 
 7 
11) (Học viện Bưu chính Viễn thông, 1999) 3tg x tgx 1
4
pi 
− = − 
 
; 
Đáp số : 
1) *
,
,11
pi
= ∈ ∈

= pi
ℕ ℕ
n
x
m n
x m
; 2) 
,
12
(2 1)
,
12
(1 2 )
;
8
x
n
x
n
x
pi
=

pi +
=


pi − =

3)
,
3 12
1 3 ;
pi pi
= −

 ≠ +
k
x
k m
 4) Þ ; 
5) x = kpi ; 6) x = arctg(2 ± 3 ) + kpi ; 
7) x = 25o + k90o; 8 ) ;
6 3
k
x
pi pi
= + 
9) 
,
4
;
6
pi
= + pi

pi
= ± + pi

x k
x k
 10) 
,
;
4 2
= pi
 pi pi = +

x k
k
x
 11) x = k
4
pi
. 
 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG 
Giải các phương trình sau: 
1) 
2) Trong khoảng (0; pi /12), tìm các nghiệm của phương trình : 
. 
3) sinx
1
3 3 8
sin sinx x
pi pi   
− + =   
   
; 
4) sinxcos2x + sin2xcos5x = sin3xcos5x; 
5) sin2x + sin2x sin4x +  + sinnxsinn2x = 1; 
6) (sinx + 3 cosx).sin3x = 2; 
 8 
7) sin2xsin4xsin6x = 
1
sin 4
4
x ; 
8) (ĐH Huế, 1999) 
sin x.cot g5x
1
cos9x
= ; 
9) (ĐH Giao thông Vận tải HN, 1996) cos3x.tg5x = sin7x; 
10) (ĐH Y khoa HN, 1997) 
cosx
3 3 1
cos cos sin sin sin
2 2 2 2 2
x x x x
x− = ; 
11) ; 
12) ; 
Đáp số. 
13) ; 
Đáp số. 
Đáp số : 
1) 
5 1
12 4
,n n
 
− + 
 
; 2) 
7
18
pi
; 3) 
2
18 3
5 2
18 3
,
;
k
x
k
x
pi pi
= +

pi pi
= +

4) 
,
3
2
;
9
k
x
k
x
pi
=

pi
=

 5) x = 
2
(2 1)k
n n
+ pi
+
; 6) x = 
6
k
pi
+ pi ; 
7) 
1 1 5 1 1 5
arccos arccos
4 4 4 2 4 4 2
k k k      pi − pi + pi    
∪ ± + ∪ ± +        
           
 25 
12) 
13) 
14) 
15) 
16) 
17) ; 
18) ; 
19) 
20) 
21) ; 
22) 
Đáp số : 
1) x = 
5
2 ;
6
pi
+ pik (xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo tgx); 
2) 
2 ,
2 ;
2
x k
x k
= pi
 pi = + pi

 3) x = (1 + 4k)2pi ; 4) x = 
3
8 2
kpi pi
− + ; 
5) Þ ; 6) x = ± 1 ; 7) 1
2
; 
8) x = kpi ; 9) 
,
2 ;
2
x k
x k
= pi
 pi = + pi

 10) 2
2
k
pi
+ pi . 
11) ; 12) 
 24
Đáp số: 
1) 2
2
pi
= + pix k ; 2) Þ; 3) 
,
,
2
2
;
6 3
x k
n
y
m
z

 = pi

pi
=

 pi pi
 = − +

 4) 1;
2
k
pi ± + pi 
 
; 
5) x = 2kpi ; 6) 
8
x k
pi
= + pi ; 7) x = 0; 
8) ;
2 2
k k
pi pi 
+ pi + pi 
 
; 9) ;
6 2 6 4
k npi pi pi pi 
− + + 
 
; 10) 1; 1 (2 1)
4
n
pi 
− + + 
 
. 
MỘT SỐ BÀI KHÁC 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) sin2x + 2tg2x + 
4 11
tgx sin x 0
123
− + = ; 
2) 8cosx + 6sinx – cos2x – 7 = 0; 
3) 
x x
cos 2sin x sinx 1 sin 2cosx cosx 0;
4 4
   
− + + − =   
   
4) sin4x.cos16x = 1; 
5) sin
5x x
sin 2
2 2
   
− =   
   
; 
6) 2
x 3 x
x (x 1)sin , 2 x 2;
6 2
pi +
+ + = − ≤ ≤ 
7) x = 
x 1 1 x
sin sin , 0 x 1
3 3
+ −
pi pi ≤ ≤ ; 
8) cos120x – sin120x = 1; 
9) cos68x + sin69x = 1; 
10) 4(sin3xsinx)2 – sin3x = 5; 
11) . 
 9 
 8) 
,
4 2
;
20 10
k
x
k
x
pi pi
= +

pi pi
= +

 9) 
,
;
20 10
x m
k
x
= pi
 pi pi = +

 10) 
,
4
,
2
2 ,
6
7
2 .
6
x k
x k
x k
x k
pi
= − + pi

pi
= − + pi


pi = − + pi

 pi
 = + pi

CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH 
Bài 1. Giải các phương trình sau : 
1) cos5x – sin5x = sin7x – cos7x; 
2) sin7x + cos22x = sin22x + sinx; 
3) cos2x – sin3x – cos8x = sin10x – cos5x; 
4) sinx + sin2x + sin3x = 1 + cosx + cos2x; 
5) 5sinx + 6sin2x + 5sin3x + sin4x = 0; 
6) 
1 1 1
sin sin2 sin4x x x
= + ; 
7) sina + sin(x – a) + sin(2x + a) = sin(x + a) + sin(2x – a); 
8) (ĐH Hàng hải, HN, 2001, Khối A) 
cos 2 cos 2 4sin 2 2(1 sin )
4 4
x x x x
pi pi   
+ + − + = + −   
   
; 
9) (ĐH Ngoại thương, HN, 2000, Khối A) 
1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x; 
10) (ĐHSP, HCM, 2000, Khối D, E) 
2cos2x + 2cos22x + 2cos23x – 3 = cos4x(2sin2x + 1); 
11) 
12) 
13) 
 10
Đáp số. 
1) 
;
2
.
24 6
x k
k
x
pi
= + pi

pi pi
= +

 2) 
,
8 4
2
,
18 3
7 2
;
18 3
k
x
k
x
k
x
pi pi
= +

pi pi
= +


pi pi = +

 3) 
,
16 4
3
,
4
2
,
30 5
2
;
6 5
k
x
x k
k
x
k
x
pi pi
= +

pi
= + pi


pi pi = +

 pi pi
 = +

4) 
,
2
2 ,
6
5
2 ,
6
2
2 ;
3
x k
x k
x k
x k
pi
= + pi

pi
= + pi


pi = + pi

 pi
 = ± + pi

 5) 
,
2
2
2 ;
3
k
x
x k
pi
=

pi
= ± + pi

 6 ) 
(2 1) ,
7
7 4;
x k
k l
pi
= + pi

 ≠ −
7) (– ∞ ; + ∞) với a ∈{k pi },
1 5
arccos 2
4
x k
±
= ± + pi với a ∈( – ∞; + ∞); 
8) 
2 ,
6
5
2 ;
6
x k
x k
pi
= + pi

pi
= + pi

 9) 
,
6
7
,
6
2 ,
3
;
x k
x k
x k
x k
pi
= − + pi

pi
= + pi


pi = ± + pi


= pi
 10) x = 
8 4
kpi pi
+ . 
CÔNG THỨC HẠ BẬC, CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI 
Bài 1 : Giải các phương trình sau : 
1) sin2x + sin22x + sin23x = 
2
3
; 
 23 
a) Giải phương trình khi m = – 1 bằng cách đặt t = cosx – sinx; 
b) Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm x ∈ ;
4 4
pi pi 
−  
. 
Đáp số : a) 
2 ,
2 .
2
x k
x k
= −pi + pi
 pi = + pi

 b) 
2
1
2
m− ≤ < 
Bài 5. (ĐH Tài chính Kế toán HCM, 1993) 
Cho phương trình sin cos sin2 1x x a x+ + = ( a > 0). 
Tìm a đểû phương trình có nghiệm. 
PHƯƠNG PHÁP SO SÁNH HAI VẾ 
Bài 1. Giải các phương trình sau: 
1) 23 cos 3sin5 1 sinx x x− − + = − ; 
2) 
2
2sin 3cos 2 5
3 6 3
x x
pi pi   
− − + =   
   
; 
3) ( )2 221cos x 1 tg 2y (3 sin3z) 4cos x + + + =   ; 
4) (CĐSP Kĩ thuật, 2001) Tìm x, y thỏa 
x2 – 2xsinxy + 1 = 0; 
5) (Ngân hàng, HCM, 2001) 
2 2cos3x 2 cos 3x 2(1 sin 2x)+ − = + ; 
6) (Kĩ thuật Công nghệ, 2001, Khối D) 
2 2 5tg 2x cotg 2x 2sin 2x
4
pi 
+ = + 
 
; 
7) (ĐHTCKT, Hà Nội, 1999)
sin x
cosxpi = ; 
8) 4 + sin2x + cos22x = 5sin2xsin2y; 
9) tg22x + 2 3 tg2x + 3 = – cotg2 4y
6
pi 
− 
 
; 
10) 1 – 2x – x2 = tg2(x + y) + cotg2(x + y). 
 22
7) 
2 ,
4
2 ,
2
2 ;
x k
x k
x k
pi
= + pi

pi
= + pi


= pi + pi

 8) 
2 ,
2 ;
2
= pi + pi
 pi = + pi

x k
x k
 9) 
,
4
2 ,
2
2 ;
x k
x k
x k
pi
= + pi

pi
= + pi


= pi + pi

10) 
2 ,
2 ;
2
x k
x k
= pi
 pi = + pi

 11) 
2
2
2
4
2
11
4 ( , *)
6
5
4
6
x k
x k k m
x m
 pi 
= + pi  
 
 pi  = + pi ∈ ∈   

pi 
= − + pi   
ℕ ℕ 
Bài 2. (ĐH Thái Nguyên, 2000) 
Cho phương trình sin2x + 4(cosx – sinx) = m. 
a) Giải phương trình khi m = 4; 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm. 
Đáp số : a) 
2 ,
3
2 ;
2
x k
x k
= pi
 pi = + pi

 b) 1 4 2 1 4 2m− − ≤ ≤ − + . 
Bài 3. (ĐHSP, HCM, Khối A, B, 2001) 
Cho phương trình 2cos2x + sin2xcosx + sinxcos2x = m(sinx + cosx) 
a) Giải phương trình khi m = 2; 
b) Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm x ∈ 0;
2
pi 
  
. 
Đáp số : a) 
2 ,
,
4
2 ;
2
x k
x k
x k

 = pi

pi
= − + pi

 pi
 = − + pi

 b) – 2 ≤ m ≤ 2. 
Bài 4 . (ĐH Quốc gia HCM, 2000) 
Cho phương trình cos3x – sin3x = m (1) 
 11 
2) (Khối B, 2002) sin23x – cos24x = sin25x – cos26x; 
3) sin24x – cos26x = sin(10,5pi + 10x); 
4) sin22x + sin2x = 
9
16
; 
5) sin7x + sin9x = 2 22 cos cos 2
4 4
x x
 pi pi   
− − +    
    
; 
6) 
1
cos 2 cos 0
2 2 4
x x
+ = ; 7) cos 8 cos 0
4 8
x x
− = ; 
8) sin8x + cos8x = 
17
16
cos22x; 9) sin8x + cos8x = 
17
32
; 
10) sin4x + cos4x = 
7
8 3 6
cot g x cot g x
pi pi   
+ −   
   
; 
11) sin22x = 3 cos2x – sin2( x + pi ) với 
5
2
x
pi
− < < pi ; 
12) sin3x + cos3x = 2(sin5x + cos5x ); 
13) (ĐH Ngoại thương, HN, 2000) 
sin8x + cos8x = 2(sin10x + cos10x ) + 
5
4
cos2x; 
Bài 2) (ĐH Mở, HN, 2000) 
Cho phương trình sin8x + cos8x – 2(sin10x + cos10x ) = mcos2x. 
a) Giải phương trình khi m = 
7
3
; 
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x ≠ 
4 2
kpi pi
+ . 
Đáp số : 
1) 8 4
3
,
;
k
x
x k
pi pi
= +

pi
= ± + pi

 3) 20 10
2
,
;
k
x
x k
pi pi
= +

pi
= + pi

 5) 
2
2
11 11
2
5
,
,
;
x k
k
x
k
x
pi
= + pi

pi pi
= +


pi =

 12
2) 
9
,
;
x k
k
x
= pi
 pi =

 4)x = 
1 3
2 4
arccos k± + pi ; 
6) x = 
2 2
4arccos 8
2
k
−± + pi ; 7) x = 2 28arccos 16
2
k
−± + pi ; 
8) x = 
8 4
kpi pi
+ 9) x = 
8 4
kpi pi
+ ; 10) x = 
12 2
kpi pi± + ; 
11) 
9 7 5 3 3
4 4 4 4 4 4 4
, , , , , ,
pi pi pi pi pi pi pi 
− − − − − 
 
; 
12) x = 
4 2
kpi pi
+ ; 13) x = 
4 2
kpi pi
+ ; 
Bài 2) a) x = 
4 2
kpi pi
+ ; b) [ ] { }1;1 \ 0− . 
CÔNG THỨC TÍNH sinx, cosx, tgx THEO tg
2
x . 
Bài 1 : Giải các phương trình sau : 
1) tg2x + 3cotgx = 0; 
2) sin2x + 3sinx = tg
2
x
; 
3) (Bách khoa HN, khối A, D, 2001) sin2x + 2tgx = 3; 
4) (SPHN, 2001, khối B, M, T) tgx + 2cotg2x = sin2x; 
5) (QGHN, khối D, 2000) 1 + 3tgx = 2sin2x; 
6) (Hàng hải, 2000) 
x
tg
2
cosx + sin2x = 0; 
7) + =
x 53 x
15cot g 130sin x tg
2 5 2
; 
8) + =
59 x x
cosx 6sinx.tg 4tgx.cot g
4 2 2
; 
9) 
pi 
− = − 
 
2 22sin x 2sin x tgx
4
; 
10) ( ĐH Thủy lợi 1999) tg2x + sin2x = 
3
2
cotgx. 
 21 
Bài 17 : Giải các phương trình sau : 
1) 1 + tgx = 2 2 sinx; 
2) (Cao đẳng TCKT, HN, 2001) cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0; 
3) (ĐH Cảnh sát 2000) cos3x + sin3x = sin2x + sinx + cosx; 
4) (ĐH Đà Lạt, 2001) cos3x – sin3x = cos2x – sin2x; 
5) ( ĐH An ninh, 1999) cos3x + sin3x = 1; 
6) 
1 1 5
4sin
3sin 4
sin
2
x
x
x
pi 
+ = + pi   
− 
 
; 
7) (ĐH Ngọai ngữ, HN, 2000) sin2 2 sin
4
x x
pi 
+ − 
 
= 1; 
8) (ĐHQGHCM, 2000) cos3x – sin3x = –1; 
9) ( ĐH Nông nghiệp, HN, 2000) 1 + cos3x – sin3x = sin2x; 
10) 
1