Toán học THPT - Ứng dụng của hệ thức vào giải toán

a = 1 thì b = − 4 
 nếu a = − 4 thì b = 1 
Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P 
 1. S = 3 và P = 2 
 2. S = − 3 và P = 6 
 3. S = 9 và P = 20 
 4. S = 2x và P = x2 − y2 
Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết 
 1. a + b = 9 và a2 + b2 = 41 
 2. a − b = 5 và ab = 36 
 3. a2 + b2 = 61 v à ab = 30 
Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích 
của a v à b. 
T ừ ( ) ( )2 22 2 2 819 81 2 81 20
2
a b
a b a b a ab b ab
− +
+ = ⇒ + = ⇔ + + = ⇔ = = 
Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : 12
2
4
9 20 0
5
x
x x
x
=
− + = ⇔ 
=
Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5 
 nếu a = 5 thì b = 4 
2) Đã biết tích: ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b 
Cách 1: Đ ặt c = − b ta có : a + c = 5 và a.c = − 36 
 Suy ra a,c là nghiệm của phương trình : 12
2
4
5 36 0
9
x
x x
x
= −
− − = ⇔ 
=
 Do đó nếu a = − 4 thì c = 9 nên b = − 9 
 nếu a = 9 thì c = −4 nên b = 4 
Cách 2: Từ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 24 4 169a b a b ab a b a b ab− = + − ⇒ + = − + = 
 ( )2 2 1313
13
a b
a b
a b
+ = −
⇒ + = ⇒  + =
*) Với 13a b+ = − và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 12
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
= −
+ + = ⇔ 
= −
 Vậy a = 4− thì b = 9− 
*) Với 13a b+ = và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : 12
2
4
13 36 0
9
x
x x
x
=
− + = ⇔ 
=
 Vậy a = 9 thì b = 4 
3) Đã biết ab = 30, do đó cần tìm a + b: 
T ừ: a2 + b2 = 61 ( )2 2 2 22 61 2.30 121 11a b a b ab⇒ + = + + = + = = 11
11
a b
a b
+ = −
⇒  + =
*) Nếu 11a b+ = − và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình: 12
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
= −
+ + = ⇔ 
= −
 Vậy nếu a = 5− thì b = 6− ; nếu a = 6− thì b = 5− 
*) Nếu 11a b+ = và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của phương trình : 12
2
5
11 30 0
6
x
x x
x
=
− + = ⇔ 
=
 Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5. 
IV. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM 
 Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về 
biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức 
1. Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2x x+ ) và 1 2x x 
Ví dụ 1 a) 2 2 2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2( 2 ) 2 ( ) 2x x x x x x x x x x x x+ = + + − = + − 
 b) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 23x x x x x x x x x x x x x x + = + − + = + + −  
 c) ( )2 24 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 2 ( ) 2 2x x x x x x x x x x x x x x + = + = + − = + − −  
 d) 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
+
+ = 
Ví dụ 2 1 2 ?x x− = 
Ta biết ( ) ( ) ( )2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 4x x x x x x x x x x x x− = + − ⇒ − = ± + − 
Từ các biểu thức đã biến đổi trên hãy biến đổi các biểu thức sau: 
 1. 2 21 2x x− ( ( )( )1 2 1 2x x x x= − + =.) 
 2. 3 31 2x x− ( = ( )( ) ( ) ( )22 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2x x x x x x x x x x x x − + + = − + −  =. ) 
 3. 4 41 2x x− ( = ( ) ( )2 2 2 21 2 1 2x x x x+ − = ) 
 4. 6 61 2x x+ ( = ( ) ( )2 3 2 3 2 2 4 2 2 41 2 1 2 1 1 2 2( ) ( )x x x x x x x x+ = + − + = ..) 
 Bài tập áp dụng 
 5. 6 61 2x x− 6. 
5 5
1 2x x+ 7. 
7 7
1 2x x+ 8. 
1 2
1 1
1 1x x
+
− −
2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm 
a) Cho phương trình : 2 8 15 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính 
 1. 2 21 2x x+ (34) 2. 
1 2
1 1
x x
+ 
8
15
 
 
 
 3. 1 2
2 1
x x
x x
+ 
34
15
 
 
 
 4. ( )21 2x x+ (46) 
b) Cho phương trình : 28 72 64 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 
 1. 
1 2
1 1
x x
+ 
9
8
 
 
 
 2. 2 21 2x x+ (65) 
c) Cho phương trình : 2 14 29 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 
 1. 
1 2
1 1
x x
+ 
14
29
 
 
 
 2. 2 21 2x x+ (138) 
d) Cho phương trình : 22 3 1 0x x− + = Không giải phương trình, hãy tính: 
 1. 
1 2
1 1
x x
+ (3) 2. 1 2
1 2
1 1x x
x x
− −
+ (1) 
 3. 2 21 2x x+ (1) 4. 
1 2
2 11 1
x x
x x
+
+ +
5
6
 
 
 
e) Cho phương trình 2 4 3 8 0x x− + = có 2 nghiệm x1 ; x2 , không giải phương trình, tính 
2 2
1 1 2 2
3 3
1 2 1 2
6 10 6
Q
5 5
x x x x
x x x x
+ +
=
+
HD: ( )
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
3 3 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
6 10 6 6( ) 2 6.(4 3) 2.8 17
Q
5 5 805.8 (4 3) 2.85 2
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x
+ + + − −
= = = =
+    
−+ −   
V. TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI 
NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ 
Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau: 
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) 
- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số 
- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm 
x1 và x2. 
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) 21 2 4 0m x mx m− − + − = có 2 nghiệm 1 2;x x . Lập hệ thức liên hệ 
 giữa 1 2;x x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : 
2
111 0 1
4
' 0 5 4 0( 1)( 4) 0
5
m
mm m
m mm m m
≠≠
− ≠ ≠  
⇔ ⇔ ⇔   ≥ − ≥ ≥− − − ≥  


Theo hệ th ức VI- ÉT ta có : 
1 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 (1)
1 1
4 3
. . 1 (2)
1 1
m
x x x x
m m
m
x x x x
m m
 
+ = + = +  
− −⇔ 
− 
= = −
 
− − 
Rút m từ (1) ta có : 
 1 2
1 2
2 2
2 1
1 2
x x m
m x x
= + − ⇔ − =
− + −
 (3) 
Rút m từ (2) ta có : 
 1 2
1 2
3 3
1 1
1 1
x x m
m x x
= − ⇔ − =
− −
 (4) 
Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có: 
 ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1 3 2 3 2 8 0
2 1
x x x x x x x x
x x x x
= ⇔ − = + − ⇔ + + − =
+ − −
Ví dụ 2: Gọi 1 2;x x là nghiệm của phương trình : ( ) 21 2 4 0m x mx m− − + − = . Chứng minh rằng biểu thức 
( )1 2 1 23 2 8A x x x x= + + − không phụ thuộc giá trị của m. 
Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì : 
2
111 0 1
4
' 0 5 4 0( 1)( 4) 0
5
m
mm m
m mm m m
≠≠
− ≠ ≠  
⇔ ⇔ ⇔   ≥ − ≥ ≥− − − ≥  


Theo hệ thức VI- ÉT ta c ó : 
1 2
1 2
2
1
4
.
1
m
x x
m
m
x x
m

+ =
−

−
=

−
 thay v ào A ta c ó: 
 ( )1 2 1 2 2 4 6 2 8 8( 1) 03 2 8 3. 2. 8 01 1 1 1
m m m m m
A x x x x
m m m m
− + − − −
= + + − = + − = = =
− − − −
 Vậy A = 0 với mọi 1m ≠ và 
4
5
m ≥ . Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m 
Nhận xét: 
 - Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm 
 - Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tích nghiệm sau đó đồng nhất 
các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm không phụ thuộc vào tham số. 
Bài tập áp dụng: 
1. Cho phương trình : ( ) ( )2 2 2 1 0x m x m− + + − = có 2 nghiệm 1 2;x x . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa 1 2;x x 
sao cho 1 2;x x độc lập đối với m. 
Hướng dẫn: Dễ thấy ( ) ( ) ( )2 222 4 2 1 4 8 2 4 0m m m m m∆ = + − − = − + = − + > 
do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có 
1 2
1 2
1 2
1 2
2(1)
2
1
. 2 1 (2)
2
m x x
x x m
x x
x x m m
= + −+ = + 
⇔  +
= − = 
Từ (1) và (2) ta có: 
 ( )1 21 2 1 2 1 212 2 5 02
x x
x x x x x x
+
+ − = ⇔ + − − = 
2. Cho phương trình : ( ) ( )2 4 1 2 4 0x m x m+ + + − = . 
Tìm hệ thức liên hệ giữa 1x và 2x sao cho chúng không phụ thuộc vào m. 
Hướng dẫn: Dễ thấy 2 2(4 1) 4.2( 4) 16 33 0m m m∆ = + − − = + > do đó phương trình đã cho luôn có 2 
nghiệm phân biệt x1 và x2 
Theo hệ thức VI- ÉT ta có 
 1 2 1 2
1 2 1 2
(4 1) 4 ( ) 1(1)
. 2( 4) 4 2 16(2)
x x m m x x
x x m m x x
+ = − + = − + − 
⇔ 
= − = + 
Từ (1) và (2) ta có: 
 1 2 1 2 1 2 1 2( ) 1 2 16 2 ( ) 17 0x x x x x x x x− + − = + ⇔ + + + = 
VI.TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA NGHIỆM 
ĐÃ CHO 
Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: 
 - Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0) 
- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số). 
- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm. 
Ví dụ 1: Cho phương trình : ( ) ( )2 6 1 9 3 0mx m x m− − + − = 
 Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x+ = 
Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x1 và x2 l à : 
( ) ( ) ( )2 2 2
0 0 0 0
' 9 2 1 9 27 0 ' 9 1 0 1' 3 21 9( 3) 0
m m m m
m m m m mm m m
≠ ≠  ≠ ≠  
⇔ ⇔ ⇔   ∆ = − + − + ≥ ∆ = − ≥ ≥ −∆ = − − − ≥       
Theo h ệ th ức VI- ÉT ta c ó: 
1 2
1 2
6( 1)
9( 3)
m
x x
m
m
x x
m
−
+ =

−
=

 v à t ừ gi ả thi ết: 1 2 1 2x x x x+ = . Suy ra: 
6( 1) 9( 3)
6( 1) 9( 3) 6 6 9 27 3 21 7
m m
m m m m m m
m m
− −
= ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = 
 (thoả mãn điều kiện xác định ) 
Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 2 1 2.x x x x+ = 
Ví dụ 2: Cho phương trình : ( )2 22 1 2 0x m x m− + + + = . 
 Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = 
Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm 1 2&x x là : 
2 2' (2 1) 4( 2) 0m m∆ = + − + ≥ 
 2 24 4 1 4 8 0m m m⇔ + + − − ≥ 
 74 7 0
4
m m⇔ − ≥ ⇔ ≥ 
Theo hệ thức VI-ÉT ta có: 1 2
2
1 2
2 1
2
x x m
x x m
+ = +

= +
 và từ giả thiết ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = . Suy ra 
2
2
2
3( 2) 5(2 1) 7 0
3 6 10 5 7 0
2( )
3 10 8 0 4
( )
3
m m
m m
m TM
m m
m KTM
+ − + + =
⇔ + − − + =
=
⇔ − + = ⇔
 =

Vậy với m = 2 thì phương trình có 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : ( )1 2 1 23 5 7 0x x x x− + + = 
Bài tập áp dụng 
 1. Cho phương trình : ( )2 2 4 7 0mx m x m+ − + + = 
 Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 22 0x x− = 
 2. Cho phương trình : ( )2 1 5 6 0x m x m+ − + − = 
 Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức: 1 24 3 1x x+ = 
 3. Cho phương trình : ( ) ( )23 3 2 3 1 0x m x m− − − + = . 
 Tìm m để 2 nghiệm 1x và 2x thoả mãn hệ thức : 1 23 5 6x x− = 
Hướng dẫn cách giải: 
 Đối với các bài tập dạng này t