Những bài toán về góc trong Hình học không gian lớp 12

Bài toán góc.
Góc giữa hai đường thẳng:
Khi a, b đồng phẳng:
-Nếu a và b cùng phương thì góc (a, b) = 00
-Nếu a, b cắt nhau khi đó chúng tạo ra 4 góc, góc có số đo bé nhất là góc giữa hai đường thẳng
Khi a, b chéo nhau. Từ một điểm O dựng a’ cùng phương với a, b’ cùng phương với b. Góc (a, b) là góc (a’, b’).
Nếu là vectơ chỉ phương của a, b, thì 
.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Khi a và mp(P) vuông góc thì góc (a, P) = 900.
Khi a và mp(P) không vuông góc thì góc (a, P) là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P).
Nếu là vectơ chỉ phương của a, là vectơ pháp tuyến của (P), thì 
Góc giữa hai mặt phẳng.
Góc giữa hai mp(P), (Q) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mp này.
Lấy O thuộc giao tuyến m giữa hai mp, trong mp(P), dưng đường thẳng a qua O và vuông góc m, trong (Q) dựng b qua O và vuông góc m, khi đó góc giữa hai mp cũng bằng góc (a, b).
Cũng có thể làm như sau.
Lấy A thuộc mp(P), chiếu A xuống (Q) thành H, chiếu H lên giao tuyến m của hai mp là O. Góc giữa hai mp là góc .
Nếu là vectơ pháp tuyến của (P), (Q) thì 
.
Công thức hình chiếu
= góc(P, Q) thì SA’B’C’ = SABCcos.
Bài tập 
Bài 1 Tính góc giữa đường thẳng và mỗi trục toạ độ.
Bài 2 Cho ,	 và 
Tính a, biết .	b) Tìm gía trị nhỏ nhất của .
Bài 3 Lập phương trình đường thẳng d qua O và tạo với trục hoành trục tung các góc đều bằng 600.
Bài 4 Cho hai đường thẳng 
Tính góc giữa d1 và d2.
Lập phương tình đường thẳng d3 qua O cắt và tạo với d1 một góc với .
Bài 5 Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 6 = 0, (Q): mx – 2y + z + m – 1 = 0.
Tính góc giữa hai mặt phẳng khi m = 1.
Xác đinh m để cosin góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) bằng .	
Tìm m để góc giữa (P) và (Q) bé nhất. (Bất đẳng thức Bunhiacopski, hay còn gọi Cauchy-Schwarz: , đẳng thức xảy ra khi ).
Bài 6 Lập phương trình mp(P):
Chứa Oz và tạo với mp(Q) : một góc 600.
Đi qua hai điểm A(3; 0; 0), C(0; 0; 1) và tạo với mp(Oxy) một góc 600.
Bài 5 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi C1 là trung điểm CC’.
Tính góc giữa C1B và A’B’ và góc giữa hai mp(C1AB) và (ABC)
Một mp(P) chứa AB và tạo với đáy một góc . Tính diện tich thiết diện theo a và .
Bài 2 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a, đường cao 
SO = 2a. Gọi M là điểm thuộc đường cao AA’ của tam giác ABC. Xét mp(P) đi qua M và vuông góc AA’. Đặt AM = x.
Xác định thiết diện giữa (P) và hinh chóp.
Xác đinh vị trí M để thiết diện có diện tích lớn nhất.
 Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = b và 
 SA vuông góc với mp đáy.
Tính góc giữa SB và đáy.
Tính góc giữa SC và (SAB).
Tính góc giữa (SBC) và (ABC).
Tính góc giữa (SBC) và (SDC).
 Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, AD = b, AA’ = c.
Gọi là góc giữa AC’ với AB, AD, AA’. chứng minh 
Gọi x, y, z là góc giữa AC’ và mp(ABCD), mp(ABB’A’), mp(ADD’A’). Chứng minh