Tìm số hạng tổng quát của dãy số

TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ
 Áp dụng lý thuyết về dãy số; cấp số cộng và cấp số nhân ta có thể giải được một số bài toán về tìm số hạng tổng quát của một dãy số. Ở đây ta chỉ xét một số bài toán đơn giản thuộc loại này.
Bài toán 1: Tìm số hạng tổng quát của dãy số sau: 1; 2; 4; 7; 11 
Giải:
 Nếu kí hiệu các số hạng của dãy trên là: thì ta có: 
 Một số bài toán tương tự: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
 1/ 1; 4; 10; 19; 31;  ; 2/ 1; 2; 6; 15; 31;  
Bài toán 2: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
 Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta có dãy các hệ thức sau: 
 Cách 2: Đặt sao cho 
. Vậy là một cấp số nhân
có công bội q =3 và .
 Từ cách giải 2 ta có lời giải của bài toán tổng quát sau:
 Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
 Đặt sao cho: 
 Như vậy là một cấp số nhân có 
Bài toán 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
 Cho n chạy từ 1 đến n-1 ở hệ thức truy hồi rồi cộng các hệ thức lại ta được:
Bài toán 4: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
 - Cách 1: Từ hệ thức truy hồi ta suy ra:
 với 
 Chú ý: trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của một cấp số cộng và một cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt sao cho 
Có 
Bài toán 5: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
- Cách 1: Theo giả thiết ta có: 
 Chú ý: Trong lời giải trên ta đã tính tổng của tích các số hạng tương ứng của hai cấp số nhân.
- Cách 2: Đặt với 
Bài toán 6: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
Giải:
 Từ giả thiết ta suy ra: . Đặt 
. Vậy là cấp số nhân có công bội q = 3 và 
. Đặt sao cho:
. Do là cấp số nhân có công bội q = 2 và .
 Bây giờ ta giải bài toán tổng quát của bài toán trên: 
Tìm số hạng tổng quát của dãy trong đó a,b,c,d là các hằng số thực; a và b khác 0.
Giải:
 Giả sử với r là một số thực nào đó. Khi đó từ (1) ta suy ra: 
. (2) được gọi là phương trình đặc trưng ( PTĐT ) của dãy . 
 Có hai trường hợp:
 1/ (2) có hai nghiệm phân biệt và . Khi đó ta có: và
Điều đó chứng tỏ thỏa mãn (1). Trong đó k và l là các hằng số thỏa mãn hệ phương trình sau: . Do nên hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất; điều đó cũng chứng tỏ dãy số đã cho được xác định một cách duy nhất.
 Áp dụng vào bài 6 ta có a = 1; b = 5; c = 5; d = -6 
 Đối với dãy Fibônaxi ta có a = b = c = d = 1 nên PTĐT có hai nghiệm:
. Từ đó ta có hệ phương trình: 
 Lấy (4) trừ (3) ta được: k+l = 0. Thay l = -k vào (3) ta được: .
 Vậy .
 2/ (2) có nghiệm kép . Đặt ; thay vào (1) ta được:
 Vậy là một cấp số cộng nên với k và l là các số thỏa mãn hệ phương trình:
 Do nên k và l được xác định một cách duy nhất; tức là có duy nhất dãy mà thỏa mãn điều kiện của bài toán.
 Áp dụng: Tìm số hạng tổng quát của dãy 
 Ở đây ta có: a = 4; b = 20; c = 4; d = -4 nên PTĐT có nghiệm: .
Giải hệ phương trình ta tìm được: k = 3 và l = -1. Vậy 
Ân Thi ngày 27/2/2010
Doãn Xuân Huy