Thử sức trước kì thi THPT môn Toán - Đề số 03

THỬ SỨC TRƯỚC KÌ THI 
THTT SỐ 402-12/2010 
ĐỀ SỐ 03 
Thời gian làm bài 180 phút 
PHẦN CHUNG 
Câu I: 
Cho hàm số:  4 2y x 2 m 1 x 2m 1      . 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
2) Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số 
cộng. 
Câu II: 
1) Giải phương trình: 2 22cos 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2x 3   
2) Giải hệ phương trình: 
2
2 2
6x 3xy x y 1
x y 1. 
    

 
Câu III: 
Cho hàm số   xf x A.3 B  . Tìm các số A, B sao cho  f ' 0 2 và  
2
1
f x dx 12 
Câu IV: 
Trong mặt phẳng  P cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. S là một điểm bất kì nằm trên 
đường thẳng At vuông góc với mặt phẳng  P tại A. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 
S.ABCD khi SA = 2a. 
Câu V: 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  
xsin x 2cos
2f x xcos x 2sin
2



 trên đoạn 0; .
2
 
  
 PHẦN RIÊNG 
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 
1) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) cho điểm  A 1;1 và đường thẳng (d) có phương trình 
4x 3y 12 0   . Gọi B, C là giao điểm của (d) với các trục Ox, Oy. Xác định tọa độ trực tâm của 
tam giác ABC. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, từ điểm  P 2;3; 5 hạ các đường thẳng vuông góc với 
các mặt phẳng tọa độ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua chân các đường vuông góc đó. 
Câu VII.a: 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
Chứng minh rằng số phức 
245 5z 1 cos isin
6 6
     
 
 có phần ảo bằng 0. 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 
1) Cho đường tròn   2 2C : x y 6x 2y 1 0     . Viết phương trình đường thẳng d song song với 
đường thẳng x 2y 4 0   và cắt  C theo một dây cung có độ dài bằng 4. 
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 
1
x 1 y 1 zd :
2 1 1
 
  và 2
x 1 y 2 zd :
1 2 1
 
  . 
 Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng  Q : x y 2z 3 0    sao cho (P) cắt 
d1, d2 theo một đoạn thẳng có độ dài nhỏ nhất. 
Câu VII.b: 
Giải hệ phương trình 
x y 1 2y 1
4
4 3.4 2
x 3y 2 log 3
    

  
HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ 
PHẦN CHUNG 
Câu I: 
1) Tự giải 
2) Giao điểm với trục hoành  4 2x 2 m 1 x 2m 1 0     (*) 
Đặt t = x2, ta có phương trình:  2t 2 m 1 t 2m 1 0     (**) 
(*) có 4 nghiệm  (**) có 2 nghiệm dương phân biệt 
  
2Δ ' 0 m 0
1S 0 2 m 1 0 m , m 0
2
P 0 2m 1 0
 

         
    
Với điều kiện này (**) có nghiệm 2 21 1 2 2t x ; t x  (t2 > t1) 4 nghiệm (*): 2 1 1 2x , x , x , x  
Dãy này lập thành cấp số cộng khi:  2 1 1 1 2 1x x x x x 3x      
Đặt 1 2x α x 3α   
  22 2 2 2 21 2
2 2 4 4
1 2
m 4
x x 10α 2 m 1 10α m 12m 1 9 9m 32m 16 0 45 mx x 9α 2m 1 9α
9
                           
Vậy m = 4 hoặc 4m
9
  
Câu II: 
1) 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
  
2 2
2 2
 2cos 2x cos 2x.sin 3x 3sin 2x 3
2cos 2x cos 2x.sin 3x 3cos 2x
cos 2x sin 3x cos 2x 0
cos 2x 0 
sin 3x cos 2x 0
  
  
  

   
 Với cos2x = 0  π π kπ2x kπ x k Z
2 4 2
       
 Với  
k2x3x 2x k2
10 52sin3x cos2x 0 sin3x sin 2x k Z
2 3x 2x k2 x k2
2 2
                            
 
Vậy phương trình có nghiệm  
π kπx
4 2
π k2π k Zx
10 5
πx k2π
2
  

  


  

2)  
 
2
2 2
6x 3xy x y 1 1
x y 1. 2
    

 
 
  
21 6x 3xy 3x 2x y 1
3x 1 2x y 1 0
1x
3
y 2x 1
     
    
 

 
Với 1x
3
 , từ (2) suy ra: 2 2y
3
  
Với y 2x 1  , từ (2) suy ra:  22 2
x 0 y 1
x 2x 1 1 5x 4x 0 4 3x y
5 5
  
      
     

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 
   1 2 2 1 2 2 4 30;1 , ; , ; , ;
3 3 3 3 5 5
                    
Câu III: 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
 
 
 
x
x x
f ' x A.3 .ln 3 
f x A.3 B A.3f x dx Bx C
ln 3
 

   
  


Ta có: 
 
 
2
21
2f ' 0 2 A.ln 3 2 A
ln 3
6A 12f x dx 12 B 12 B 12ln 3 ln 3
      
   
       

Vậy 
2
2A
ln 3
12B 12
ln 3
 

  

Câu IV: 
Tâm O của hình cầu ngoại tiếp hình chóp 
S.ABCD là trung điểm của SC. 
2 2 2 2SC SA AC 4a 2a a 6     
SC a 6R
2 2
  
3
34πRV πa 6
3
  
Câu V: 
 
xsin x 2cos
2f x xcos x 2sin
2



 x 0; .
2
    
Ta có: 2x x xcos x 2sin 2sin 2sin 1
2 2 2
     
Xét hàm số   2g t 2t 2t 1    2t 0;
2
 
  
 
    1g ' t 4t 2 g ' t 0 t
2
       
  1 3 2g 0 1;g ;g 2
2 2 2
           
 g t 0  2t 0;
2
 
  
 
xcos x 2sin 0
2
   x 0; .
2
     
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
 f x liên tục trên đoạn 0;
2
 
  
. 
  2
x x x xcos x sin cos x 2sin sin x cos sin x 2cos
2 2 2 2f ' x
xcos x 2sin
2
               
     
  
 
  2
x1 sin
2f ' x 0
xcos x 2sin
2
 
 
  
 
 x 0; .
2
     
GTLN  f x =  f 0 2 
GTNN  f x = πf
2
   
 
21
2
 
PHẦN RIÊNG 
A. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 
1)  A 1;1  B 3;0  C 0;4 
Gọi  H x; y là trực tâm tam giác ABC 
 BH x 3; y 

,  CH x; y 4 

,  AB 2; 1 

,  AC 1;3 

 
 
x 3 3y 0BH AC BH.AC 0 x 3
2x y 4 0CH AB y 2CH.AB 0
         
     
      
 
  
Vậy  H 3; 2  
2) Gọi I, J ,K lần lượt là chân các đường vuông góc tương ứng của P lên các mặt phẳng Oxy, Oyz, 
Oxz. 
Ta có:  I 2;3;0 ,  J 0;3; 5 ,  K 2;0; 5 
Mặt phẳng  IJK có dạng Ax By Cz D 0    
I, J, K thuộc mặt phẳng này nên: 
1A D
42A 3B D 0
13B 5C D 0 B D
6
2A 5C D 0 1C D
10
  
   
 
      
    

 Chọn D = -60, suy ra A = 15, B = 10, C = -6. 
Vậy  IJK :15x 10y 6z 60 0    
Câu VII.a: 
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
24 k24 24
k k
24 24
k 0 k 0
5 5 5 5 5k 5k1 cos isin C cos isin C cos isin
6 6 6 6 6 6 
                    
     
  
24 24
k k
24 24
k 0 k 0
5k 5kC cos i C sin
6 6 
 
   
Phần ảo 
24
k
24
k 0
5kC sin
6
 
Ta có:  k 24 k k k24 24 24 24
5 24 k5k 5k 5kC sin C sin C sin C sin 0
6 6 6 6
         
Suy ra: 
24
k
24
k 0
5kC sin 0
6

 
B. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 
1)      2 2 2C : x 3 y 1 3    
d song song với đường thẳng x 2y 4 0   d : x 2y c 0    
d cắt  C theo một dây cung có độ dài bằng 4   2 2d I,d 3 2 5    
3 2 c
5
5
 
 
c 4
c 1 5
c 6

      
Vậy 1d : x 2y 4 0   hoặc 2d : x 2y 6 0   
2) (P) song song với mặt phẳng  Q  P : x y 2z m 0     
1
x 1 2t
d : y 1 t
z t
 

  
 
 2
x 1 t
d : y 2 2t
z t
 

 
 
(Q) giao với (d1):  1 2t 1 t 2t m 0 t m M 1 2m; 1 m; m              
(Q) giao với (d2):  1 t 2 2t 2t m 0 t m 3 N 2 m; 4 2m; m 3                 
   2 22 2 2MN m 3 m 3 3 2m 27 27        
MinMN = 3 3 khi m = 0 
Khi đó  P : x y 2z 0   
Vậy  P : x y 2z 0   
Câu VII.b: 
 
 
x y 1 2y 1
4
4 3.4 2 1
x 3y 2 log 3 2
    

  
Từ (2) 4 4
4x y 1 1 log 3 2y log 2y
3
        
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com
Thay vào (1):   4
4log 2y 2y 131 4 3.4 2
    
 2y 2y4 3.4 .4 2
3 4
   
Đặt  2yt 4 t 0  ta có: 24 3t 42 9t 24t 16 0 t
3t 4 3
        
2y
4 4
4 1 4 1 14 y log log 3
3 2 3 2 2
      
(2) 4 4 4 4
3 3 1 1x 2 log 3 3y 2 log 3 log 3 log 3
2 2 2 2
         
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 4
1 1x log 3
2 2
  ; 4
1 1y log 3
2 2
  
www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com --- www.MATHVN.com