Tạp chí Thông tin toán học - Tập 4 Số 3 Tháng 9 Năm 2000

g Hệ thống Euler. 
Anh muốn biết, dù chỉ để thỏa mãn sự tò 
mò của cá nhân mình, tại sao anh đã thất 
bại. Tại sao lại không có Hệ thống Euler ở 
đó? Anh muốn xác định chính xác chi tiết 
kỹ thuật nào đã làm cho toàn bộ vấn đề đổ 
bể. Anh thấy rằng dù phải từ bỏ chứng 
minh của mình thì chí ít anh cũng phải có 
đ−ợc câu trả lời là tại sao mình đã sai. 
 Wiles nghiên cứu các bài báo nằm 
tr−ớc mặt mình, tập trung cố gắng cao độ 
khoảng chừng hai m−ơi phút. Và chính lúc 
đó anh đã thấy đ−ợc chính xác vì sao mình 
lại không thể hoàn tất đ−ợc công việc. 
Cuối cùng anh cũng đã hiểu đ−ợc mình sai 
ở khâu nào. “Đó là thời điểm quan trọng 
nhất trong toàn bộ cuộc đời nghiên cứu 
của tôi”, sau này anh mô tả lại cảm giác 
của mình. “Đột nhiên, hoàn toàn bất ngờ 
đến mức khó mà tin đ−ợc, tôi đã có đ−ợc 
khám phá tuyệt vời. Không có điều gì mà 
tôi làm sẽ... ". Chính lúc đó những giọt 
n−ớc mắt đã trào ra và Wiles nghẹt thở vì 
xúc động. Điều Wiles phát hiện ra đ−ợc 
vào cái thời điểm định mệnh ấy là “tuyệt 
diệu không sao tả nổi, thật đơn giản làm 
sao và cũng thanh tao làm sao... đến nỗi 
tôi bắt đầu chuyển sang không tin”. Wiles 
đã phát hiện ra rằng điều làm cho Hệ 
thống Euler không dùng đ−ợc trong chứng 
minh lại chính là điều làm cho ph−ơng 
pháp Lý thuyết hoành Iwasawa mà anh đã 
bỏ bẵng đi 3 năm tr−ớc đây lại áp dụng 
đ−ợc. Wiles nhìn chằm chằm vào bài báo 
của mình một lúc lâu. Chắc chắn là mình 
đang mơ, anh nghĩ vậy. Điều này tuyệt 
diệu đến mức khó tin là đúng. Sau đó anh 
nói rằng một điều tuyệt vời giản đơn nh− 
vậy thì rất có thể nó sai. Nh−ng một phát 
hiện quan trọng và tuyệt vời đến thế thì nó 
cần phải đúng. 
 Wiles đi đi lại lại trong phòng suốt 
mấy tiếng đồng hồ. Anh không rõ mình 
tỉnh hay mơ. Chốc chốc anh trở lại bàn 
làm việc của mình để xem xem điều phát 
hiện kỳ diệu của anh có còn ở đó không - 
nó vẫn còn đó. Anh về nhà và đi ngủ trong 
tâm trạng đầy suy t− về điều vừa khám 
phá. Biết đâu sáng mai anh lại phát hiện ra 
một lỗi nào đó trong b−ớc lập luận mới 
 10
này. Một năm chịu sức ép từ cả thế giới, 
một năm mà hết cố gắng này đến cố gắng 
khác đều thất bại đã làm lung lay niềm tin 
của Wiles. Anh trở lại bàn làm việc cơ 
quan của mình vào buổi sáng hôm sau và 
cái viên ngọc kỳ lạ mà anh vừa tìm thấy 
hôm qua vẫn còn nằm đó, nó đang đợi chờ 
anh. 
 Wiles đã viết ra một cách chi tiết 
chứng minh của mình có sử dụng ph−ơng 
pháp Lý thuyết hoành Iwasawa. Cuối 
cùng, mọi thứ đã đ−ợc đặt vào đúng chỗ. 
Cách tiếp cận mà anh đã sử dụng 3 năm 
tr−ớc đây là đúng. Anh nhận ra đ−ợc điều 
này vì thấy rằng con đ−ờng của Flach và 
Kolyvagin mà anh đã chọn là không phù 
hợp. Bản thảo đã sẵn sàng để gửi đi. Trong 
tâm trạng rất phấn chấn, Andrew Wiles 
ngồi vào bàn máy tính và gửi thông điệp 
điện tử qua mạng internet đến nhiều nhà 
toán học trên khắp thế giới: “Hãy đợi b−u 
phẩm phát chuyển nhanh trong vài ngày 
tới”. 
 Nh− đã hứa với bạn mình là 
Richard Taylor, ng−ời đã từ Anh sang để 
giúp anh sửa chữa chứng minh, bài báo 
mới với phần hiệu đính Lý thuyết Iwasawa 
đã mang tên cả hai ng−ời, mặc dù Wiles 
đạt đ−ợc kết quả này sau khi Taylor đã về 
n−ớc. Trong mấy tuần sau đó, các nhà toán 
học đã nhận đ−ợc bài hiệu đính của Wiles 
cho các báo cáo mà anh đã trình bày ở 
Cambridge và họ đã duyệt kỹ tất cả các chi 
tiết. Không ai tìm thấy một lỗi lầm nào 
nữa. Lần này, theo cách thông lệ, Wiles 
gửi công trình đã đ−ợc hoàn tất của mình 
đi công bố. Thay vì nh− đã làm tại 
Cambridge một năm r−ỡi tr−ớc, anh gửi 
bài báo đến tạp chí toán học chuyên 
ngành, the Annals of Mathematics, nơi mà 
các bài báo có thể đ−ợc nhiều nhà toán 
học xem xét kỹ càng. Quá trình đánh giá 
kéo dài vài tháng và lần này ng−ời ta 
không tìm thấy một sai sót nào. Số tạp chí 
Tháng 5 năm 1995 đăng nguyên văn báo 
cáo của Wiles đã trình bày tại Cambridge 
cùng với bài hiệu đính của Taylor và 
Wiles. Đến đây, Định lý cuối cùng của 
Fermat đã hoàn toàn đ−ợc chứng minh. 
Có đúng là Fermat đã chứng minh đ−ợc? 
 Andrew Wiles mô tả chứng minh 
của mình nh− là “phép chứng minh của thế 
kỷ XX”. Quả vậy, Wiles đã sử dụng các 
công trình của nhiều nhà toán học thế kỷ 
XX. Anh cũng đã sử dụng kết quả của các 
nhà toán học tiền bối. Tất cả những yếu tố 
cơ bản trong công trình của Wiles đều bắt 
nguồn từ kết quả của những ng−ời khác, 
rất nhiều ng−ời khác. Vì vậy, chứng minh 
Định lý cuối cùng của Fermat thực sự là 
thành tựu của đông đảo các nhà toán học 
thế kỷ XX và của cả những nhà toán học 
tr−ớc và trong thời đại của Fermat. Theo 
Wiles, Fermat không thể có chứng minh 
trong đầu khi ông viết lời ghi chú nổi tiếng 
bên lề trang sách. Nhận định này của 
Wiles rất có thể là đúng vì giả thuyết 
Shimura-Taniyama không tồn tại cho đến 
tận thế kỷ XX. Nh−ng liệu Fermat có thể 
có một cách chứng minh khác không? 
 Câu trả lời có lẽ là không. Nh−ng 
điều này không hoàn toàn chắc chắn. 
Chẳng bao giờ chúng ta biết đ−ợc. Mặt 
khác, Fermat đã sống 28 năm nữa kể từ 
khi ông viết định lý của mình lên lề trang 
sách, song không khi nào ông nói thêm 
điều gì về định lý đó nữa. Có thể ông biết 
rằng mình không thể chứng minh đ−ợc 
định lý này; hoặc có thể ông đã lầm khi 
cho rằng ph−ơng pháp giảm vô hạn mà 
mình sử dụng trong chứng minh cho 
tr−ờng hợp đơn giản với n=3 có thể áp 
dụng cho tr−ờng hợp tổng quát; hoặc đơn 
giản là ông đã quên định lý này và chuyển 
sang làm việc khác. 
 Cuối cùng, việc chứng minh định 
lý đã đ−ợc hoàn tất vào thập niên 90 và nó 
đòi hỏi nhiều kiến thức toán học hơn hẳn 
những điều mà Fermat có thể biết. ý nghĩa 
sâu xa của Định lý không chỉ là ở chỗ nó 
có cả một quá trình lịch sử xuyên suốt 
 11
chiều dài của nền văn minh nhân loại, mà 
lời giải cuối cùng của bài toán có đ−ợc 
nhờ việc áp dụng và hợp nhất tất cả các 
lĩnh vực của toán học. Chính sự hợp nhất 
các lĩnh vực toán học có vẻ nh− tách rời 
nhau cuối cùng đã chinh phục đ−ợc Định 
lý. Và mặc dù Andrew Wiles là ng−ời đã 
thực hiện công đoạn quan trọng cuối cùng 
đối với Định lý bằng việc chứng minh giả 
thuyết Shimura-Taniyama, yếu tố cần thiết 
để chứng minh Định lý Fermat, nh−ng 
trong toàn bộ chứng minh này có công lao 
của nhiều ng−ời. 
 Tất nhiên, Fermat không thể nêu 
lên đ−ợc một giả thuyết uyên bác đến 
mức có thể hợp nhất hai ngành toán học 
rất khác nhau. Hay là ông đã làm đ−ợc 
điều đó? Chẳng có gì là chắc chắn cả. 
Chúng ta chỉ biết rằng cuối cùng Định lý 
đã đ−ợc chứng minh và chứng minh đó đã 
đ−ợc kiểm tra đi kiểm tra lại đến từng chi 
tiết tinh tế nhất bởi rất nhiều nhà toán học 
trên khắp thế giới. Nh−ng chính vì chứng 
minh này rất phức tạp và hiện đại nên 
không có nghĩa là không thể tồn tại một 
chứng minh đơn giản hơn. Và cũng có thể 
Fermat đã biết nhiều về toán học “hiện 
đại”, một công cụ đầy hiệu lực, mà giờ 
đây kết quả nghiên cứu của ông đã bị thất 
lạc (thực tế ng−ời ta ch−a bao giờ tìm thấy 
cuốn Diophantus của Bachet mà trên lề 
trang sách Fermat đã viết ra khẳng định 
toán học nổi tiếng của mình). Vì vậy, liệu 
Fermat có đ−ợc một “chứng minh tuyệt 
diệu” cho Định lý của mình hay không, 
chứng minh mà không thể ghi hết ra trên 
lề trang sách, điều này sẽ mãi mãi là một 
bí mật của ông. /.
 12
Nhân năm Toán học quốc tế (2000) 
” Buốc - Ba - ki ” 
một hiện t−ợng toán học của thế kỷ 20 
Nguyễn Văn Đạo 
(Theo La science, N ° 2, 2000) 
 Chúng ta đã quen thuộc với cái 
tên Ni-cô-la Buốc-ba-ki (Nicolas 
Bourbaki) qua những công trình nghiên 
cứu đồ sộ trong lĩnh vực toán học. Song, 
nhiều ng−ời còn không biết rằng Ni-cô-
la Buốc-ba-ki không phải là tên riêng 
của một ng−ời. Đó là biệt danh của một 
nhóm khoảng 12 nhà toán học, chủ yếu 
là ng−ời Pháp, trong đó có các thành 
viên sáng lập: H. Các-tăng (Henri 
Cartan), A. Uây (André Weil), G. Đi-ơ-
đon-nê (Jean Dieudonné), C. Sơ-va-lây 
(Claude Chevalley), G. Đen-sac-tơ (Jean 
Delsarte) và những thành viên khác: R. 
Pô-sen (René de Possel), S. Ê-rêt-man 
(Charles Ehresmann), P. Sa-mu-en 
(Pierre Samuel), G. Pi-e Se-rơ (Jean-
Pierre Serre), L. Soác (Laurent 
Schwartz), A. Đu-a-đi (Andrien 
Douady), R. Gô-đơ-măng (R. 
Godement), A. Grô-ten-đich (Alexandre 
Grothendieck). Họ hầu hết từ các 
"tr−ờng đại học tỉnh lẻ" đến Pa-ri để dự 
"xê-mi-ne Giu-li-a (Julia)" đ−ợc tổ chức 
vào 16h 30 của các ngày thứ hai của tuần 
thứ nhì và tuần thứ t− hàng tháng tại 
Viện Poanh-ca-rê (Henri Poincaré): H. 
Các-tăng và A. Uây từ Strat-bua 
(Strasbourg), G. Đen-sac-tơ từ Năng- xi 
(Nancy), Đi-ơ-đon-nê từ Ren-nơ 
(Rennes), R. Pô-sen từ Clec-mông Phơ-
răng (Clermont - Ferrand). 
 Nhóm Buốc-ba-ki đã làm thay 
đổi bộ mặt của toán học trong những 
năm 1950 - 1970 nhờ một cách nhìn mới 
mẻ đối với các vấn đề cơ sở của toán 
học, nhờ việc cải tổ sâu sắc và làm rõ 
nội dung của toán học, nhờ một lối dùng 
từ và các ký hiệu đ−ợc suy nghĩ chín 
chắn. Nhiều nhà toán học đã nhận định 
rằng tinh thần Buốc-ba-ki đã tạo nên 
một tr−ờng phái toán học quốc tế. Mục 
tiêu của nhóm này không phải là chứng 
minh những định lý lớn hoặc sáng tạo 
những gì mang tính cách mạng trong 
toán học. Sự nổi tiếng của nhóm Buốc-
ba-ki là nhờ ở phẩm chất đặc biệt của 
các thành viên của nó: A. Uây - một 
trong những nhà toán học lớn nhất của 
thế kỷ 20 - là nhân vật trung tâm của 
nhóm Buốc-ba-ki ngay từ ngày thành 
lập; các thành viên có mặt ngay từ 
những giờ phút đầu tiên nh− H. Các-tăng 
và C. Sơ-va-lây là những ng−ời có tầm 
cỡ quốc tế. Thêm vào đó là L. Soác, A. 
Grô-ten-đich, G. Pi-e Se-rơ v...v... Các 
nhà toán học của nhóm đã thực hiện việc 
nghiên cứu mang tính cách cá nhân. Một 
số kết quả nghiên cứu đã đ−ợc nhận các 
giải th−ởng quốc tế cao nhất. Sau cùng, 
t− t−ởng chứa đựng trong các công trình 
của nhóm đã góp phần vào sự cách tân 
toán học hiện đại. 
 Vào bữa ăn tr−a ngày thứ hai 10 
tháng 12 năm 1934, một nhóm các nhà 
toán học trẻ, d−ới 30 tuổi, đã họp mặt 
trong quán cà phê Ca-pu-lat (