Tạp chí Thông tin toán học - Tập 11 Số 4 Tháng 12 Năm 2007

 2 3, ,u u u lµ c¸c 
biÕn ®éc lËp, cßn 1 2,x x lµ c¸c biÕn phô thuéc vµo c¸c gi¶ thiÕt BH vu«ng gãc víi AC 
vµ CH vu«ng gãc víi AB. Ta cã: BH ⊥ AC ⇔ 1 1 2 1 2 3: ( ) 0f x u u x u= − + = ; CH 
⊥ AB ⇔ 2 2 1 1 3 2: ( ) 0f u x u u x= − + = ; AH ⊥ BC ⇔ 1 2 1: ( ) 0g u u x= − = . 
Do ®ã, ®Ó chøng minh AH vu«ng gãc víi BC b»ng Maple, chóng ta chØ cÇn kiÓm 
tra c¬ së Groebner cña i®ªan 1 2( , ,1 )f f gy− chøa ®¬n vÞ 1. 
B−íc 2. NhËp c¸c c©u lÖnh sau 
> with (Groebner); 
> with (Ore_algebra): 
> A:=poly-algebra (u_1,u_2,u_3,x_1,x_2,y): 
>WL:=[x_1*u_2-u_1*x_1+x_2*u_3, u_2*x_1-u_2*u_1+u_3*x_2, (1-y*u_1 
*u_2+y*u_1*x_1)]: 
> GB:= gbasis(WL,tdeg(x_1,x_2,y)); 
 13
Maple cho kÕt qu¶ i®ªan 1 2( , ,1 )f f gy− chøa ®a thøc 1 vµ ta cã ®iÒu cÇn 
chøng minh. 
Trong tr−êng hîp c¬ së Groebner cña i®ªan ( )1 2, , , ,1sf f f gy−K kh«ng 
chøa ®a thøc 1 ®−îc xÐt nh− ë hai vÝ dô sau. 
VÝ dô 2 (§Ò thi Olimpic To¸n quèc tÕ lÇn thø 35). Cho ABC lµ mét tam gi¸c c©n víi AB 
= AC. Gi¶ sö M lµ trung ®iÓm cña BC vµ O lµ ®iÓm trªn ®−êng th¼ng AM sao cho OB vu«ng 
gãc víi AB. Q lµ ®iÓm tuú ý thuéc ®o¹n BC, kh¸c víi B vµ C. E lµ mét ®iÓm trªn ®−êng th¼ng 
AB, F lµ mét ®iÓm trªn ®−êng th¼ng AC sao cho E, Q, F ph©n biÖt vµ th¼ng hµng. Chøng minh 
r»ng OQ vu«ng gãc víi EF khi vµ chØ khi QE = QF. 
Sau ®©y lµ lêi gi¶i h×nh häc th«ng th−êng: 
§iÒu kiÖn cÇn. Gi¶ sö OQ vu«ng gãc víi 
EF . Ta chøng minh QE = QF. V× tam gi¸c 
ABC c©n t¹i A; vµ O thuéc trung trùc cña 
BC mµ OB AB⊥ nªn OC AC⊥ . Ta 
cã tø gi¸c OBEQ néi tiÕp nªn 
· ·EOQ EBQ= . Tø gi¸c OQCF néi tiÕp 
nªn · ·QOF ACQ= , mµ · ·EBQ ACQ= 
nªn · ·EOQ FOQ= . Do ®ã tam gi¸c OEF 
cã OQ võa lµ ®−êng cao, võa lµ ®−êng 
ph©n gi¸c nªn lµ ®−êng trung truyÕn. Do 
®ã QE = QF. 
§iÒu kiÖn ®ñ. Gi¶ sö QE = QF, ta chøng 
minh OQ vu«ng gãc víi EF. Qua Q kÎ 
®−êng th¼ng vu«ng gãc víi OQ c¾t AB, AC 
lÇn l−ît t¹i E’ vµ F’. Theo ®iÒu kiÖn cÇn ta cã 
Q lµ trung ®iÓm cña E’F’. V× Q lµ trung 
®iÓm cña EF, cho nªn nÕu E kh«ng trïng víi 
E’ (kÐo theo F kh«ng trïng F’), ta cã ngay 
EE’ || FF’. §iÒu nµy m©u thuÉn víi EE’ 
n»m trªn AB cßn FF’ n»m trªn AC. VËy 
'E E≡ , 'F F≡ vµ ta cã OQ EF⊥ . 
Lêi gi¶i bµi to¸n trªn kh«ng dµi nh−ng ®· cã nhiÒu häc sinh giái kh«ng gi¶i 
®−îc mÆc dï c¸c em ®· ®−îc trang bÞ ®Çy ®ñ c¸c kiÕn thøc c¬ së h×nh häc ph¼ng, lý 
do bëi v× muèn gi¶i ®−îc nã ®ßi hái nhiÒu sù l¾t lÐo, mÑo mùc. Sö dông lý thuyÕt C¬ 
së Groebner, chóng ta cã thÓ h−íng dÉn häc sinh gi¶i bµi to¸n nµy trªn Maple, mµ 
kh«ng ®ßi hái vÒ sù hiÓu biÕt vÒ lËp tr×nh m¸y tÝnh: 
B−íc 1. 
Chän hÖ to¹ ®é: B(0,0), C(u1,0), 
A(u1/2,u2), M(u1/2,0), O(u1/2,x1), E(x2,x3), 
F(x4,x5), Q(u3,0). Víi viÖc chän hÖ to¹ ®é 
nh− trªn, ta ®· cã M lµ trung ®iÓm cña 
BC, O thuéc trung trùc cña BC, AB = AC 
vµ A, M, O th¼ng hµng. 
§iÒu kiÖn A, E, B th¼ng hµng: 2x2/u1 = 
x3/u2 hay 1 2 2 3 1: 2f x u x u= − . 
§iÒu kiÖn A, C, F th¼ng hµng: 
(x4  u1)/x5 = -u1/(2u2) hay 
2 2 4 2 1 5 1: 2 2 0f u x u u x u= − + = . 
 14
§iÒu kiÖn Q, E, F th¼ng hµng: 
(x4  u3)/x5= (x2-u3)/x3 hay 
3 4 3 3 3 2 5 3 5: 0f x x u x x x u x= − − + = . 
§iÒu kiÖn AB vu«ng gãc víi BO: (u1/2) 
(u1/2) + x1u2 = 0 
hay 24 1 1 2: 4 0f u x u= + = . 
§iÒu kiÖn OQ vu«ng gãc víi EF : 
( )1 3 4 2 1 5 3/2 ( ) ( ) 0u u x x x x x− − + − = 
hay 
1 1
5 4 2 3 4 3 2 1 5 1 3: 02 2
u u
f x x u x u x x x x x= − − + + − = . 
§iÒu kiÖn QE = QF lµ : 
2 2 2 2
2 3 3 4 3 5( ) ( )x u x x u x− + = − + hay 
2 2 2 2
2 2 3 3 4 5 4 3: 2 2 0g x x u x x x x u= − + − − + = . 
B−íc 2. TiÕn hµnh ch¹y trªn Maple. Chóng ta nhËp c¸c c©u lÖnh sau 
> with (Groebner); 
> with(Ore_algebra); 
> A:=poly-algebra(u_1,u_2,u_3,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,y): 
> WL:=[2*x_2*u_2-x_3*u_1, 2*u_2*x_4-2*u_2*u_1+x_5*u_1,x_4*x_3- u_3 
*x_3-x_2*x_5+u_3*x_5, u_1*u_1+4*x_1*u_2,u_1*x_4/2-u_1*x_2/2 -u_3 
*x_4 +u_3*x_2+x_1*x_5-x_1*x_3,(1-y*x_2*x_2+2*y*x_2*u_3-y 
*x_3*x_3+y*x_4 * x_4 +y*x_5*x_5-2*y*x_4*u_3)] : 
> GB:= gbasis(WL,plex(y,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,u_1,u_2,u_3)); 
 Maple cho ta ®a thøc 21 2 3 3 2c u u u u u= − thuéc c¬ së Groebner cña i®ªan 
1 2 3 4 5( , , , , ,1 )f f f f f gy− chØ chøa c¸c biÕn ®éc lËp. Do ®ã, theo quy tr×nh ta cã ®iÒu 
cÇn ph¶i chøng minh. 
VÝ dô 3 (§Þnh lÝ Pappus). Trªn mét ®−êng th¼ng lÊy ba ®iÓm A, B, C vµ trªn ®−êng 
th¼ng kh¸c lÊy ba ®iÓm A’, B’, C’. Gäi P, Q, R lÇn l−ît lµ giao ®iÓm cña c¸c cÆp 
®−êng th¼ng (A’B, AB’), (AC’, CA’), (BC’, B’C). Chøng minh r»ng P, Q, R th¼ng 
hµng. 
 Chøng minh truyÒn thèng cña ®Þnh lý nµy kh¸ phøc t¹p. Sö dông lý thuyÕt C¬ së 
Groebner ta cã thÓ chøng minh ®Þnh lý Pappus trªn Maple nh− sau: 
B−íc 1. 
Chän hÖ to¹ ®é nh− sau: A(0,0), B(u1,0), 
C(u2,0), A(u3,,u4), B(u5,u6), P(x1,x2), 
Q(x3,x4), R(x5,x6), C(x7,x8). Víi c¸ch chän 
to¹ ®é nh− thÕ, ta ®· cã A, B, C th¼ng hµng. 
§iÒu kiÖn A’, B’, C’ th¼ng hµng: 
3 5 3 7
4 6 4 8
u u u x
u u u x
− −=− − hay 
1 4 7 3 6 5 8 3 8 4 5 6 7: 0f u x u u u x u x u u u x= + + − − − = . 
§iÒu kiÖn A, P, B’ th¼ng hµng: 
5 6
1 2
u u
x x
= hay 2 5 2 6 1: 0f u x u x= − = . 
§iÒu kiÖn A’, P, B th¼ng hµng: 
3 1 4
1 1 2
u u u
x u x
− =− hay 
3 3 2 1 2 1 4 1 4: 0f u x u x x u u u= − − + = . 
§iÒu kiÖn A, Q, C’ th¼ng hµng: 
 15
7 8
3 4
x x
x x
= hay 4 7 4 8 3: 0f x x x x= − = . 
§iÒu kiÖn A’, Q, C th¼ng hµng: 
3 2 4
3 2 4
x u x
u u u
− =− hay 
5 3 4 2 4 3 4 2 4: 0f x u u u u x u x= − − + = . 
§iÒu kiÖn B, R, C’ th¼ng hµng: 
5 1 6
7 1 8
x u x
x u x
− =− hay 
6 5 8 1 8 7 6 1 6: 0f x x u x x x u x= − − + = . 
§iÒu kiÖn C, R, B’ th¼ng hµng: 
5 2 6
5 2 6
x u x
u u u
− =− hay 
7 5 6 2 6 5 6 2 6: 0f x u u u u x u x= − − + = . 
§iÒu kiÖn cÇn chøng minh P, Q, R th¼ng 
hµng: 3 1 4 2
5 1 6 2
x x x x
x x x x
− −=− − hay 
3 6 3 2 1 6 5 4 5 2 1 4: 0g x x x x x x x x x x x x= − − − + + =
B−íc 2. TiÕn hµnh ch¹y trªn Maple. Chóng ta nhËp c¸c c©u lÖnh sau 
> with (Groebner); 
> with (Ore_algebra); 
>A:=poly-algebra(u_1,u_2,u_3,u_4,u_5,u_6,x_1,x_2,x_3,x_4, 
x_5,x_6,x_7,x_8,y): 
> WL:=[ u_4*x_7+u_3*u_6+u_5*x_8-u_3*x_8-u_4*u_5-u_6*x_7, u_5* x_2-
u_6*x_1, u_3*x_2-u_1*x_2-x_1*u_4+u_1*u_4,x_7*x_4-x_8*x_3, x_3*u_4-
u_2*u_4-u_3*x_4+u_2*x_4, x_5*x_8-u_1*x_8-x_7*x_6+u_1*x_6,x_5*u_6-
u_2*u_6-u_5*x_6+u_2*x_6, (1-y*x_3*x_6+y*x_3*x_2+y* 
x_1*x_6+y*x_4*x_5-y*x_5*x_2-y*x_1*x_4)]; 
>GB:=gbasis(WL,tdeg(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8,y,u_1, 
u_2,u_3,u_4,u_5,u_6)); 
 Maple cho ta ®a thøc 1 6 3 6 4 5c u u u u u u= − + thuéc c¬ së Groebner cña i®ªan 
1 7( ,..., ,1 )f f gy− , chØ phô thuéc vµo c¸c biÕn ®éc lËp. §Þnh lÝ Pappus ®−îc chøng minh. 
4. KÕt luËn 
 Tãm l¹i, Maple cho ta mét c«ng cô hiÖu qu¶ thùc hiÖn mét sè chøng minh h×nh häc nh− ®· 
tr×nh bµy ë trªn. §©y lµ mét ph−¬ng tiÖn hiÖu qu¶ ®Ó ng−êi thÇy thiÕt lËp c«ng cô hç trî cho 
ph−¬ng ph¸p vµ phong c¸ch gi¶ng d¹y h×nh häc cña m×nh. Trong thêi gian tíi, víi c¸c kh¶ 
n¨ng tÝnh to¸n vµ biÓu diÔn tuyÖt vêi cña c¸c phÇn mÒm tin häc, céng víi c«ng søc vµ tµi n¨ng 
s− ph¹m cña ng−êi thÇy gi¸o, chóng ta hy väng sÏ gãp phÇn t¹o ra nh÷ng ®æi míi c¬ b¶n vµ 
toµn diÖn gi¸o dôc to¸n häc phæ th«ng vµ ®¹i häc ë n−íc ta. Bµi viÕt nµy cña chóng t«i mong 
®−îc ®ãng gãp mét phÇn v« cïng nhá bÐ trong c«ng cuéc vËn ®éng hÕt søc to lín ®ã. 
Tµi liÖu tham kh¶o 
[1] Ph¹m Huy §iÓn, TÝnh to¸n, lËp tr×nh vµ gi¶ng d¹y to¸n häc trªn Maple, NXB Khoa häc vµ Kü 
thuËt, Hµ Néi, 2002. 
[2] Lª TuÊn Hoa, §¹i sè m¸y tÝnh C¬ së Groebner, NXB §H Quèc gia Hµ Néi, 2003. 
[3] Ph¹m Minh Hoµng, Maple vµ c¸c bµi to¸n øng dông, NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, TP. Hå ChÝ 
Minh, 2005. 
[4] Hµ Huy Kho¸i, Ph¹m Huy §iÓn, Sè häc thuËt to¸n, NXB §H Quèc gia Hµ Néi, 2003. 
[5] Ng« ViÖt Trung, C¬ së Groebner trong H×nh häc vµ §¹i sè, Th«ng tin To¸n häc, TËp 3 Sè 1, 
1999. 
[6] A. Heck, Introduction to Maple, Edition Springer Verlag, Berlin Heidenberg, 1997. 
 16
Héi nghÞ §¹i sè - H×nh Häc - T«p« 
Vinh, 17 - 20/12/2007 
NguyÔn Thµnh Quang (§¹i häc Vinh) 
Nh− th«ng lÖ, Héi nghÞ §¹i sè - 
H×nh häc - T«p« ®−îc tæ chøuc hai n¨m 
mét lÇn. LÇn nµy Héi nghÞ do §¹i häc 
Vinh phèi hîp víi ViÖn To¸n häc tæ 
chøc. Môc ®Ých cña Héi nghÞ lµ t¹o ®iÒu 
kiÖn ®Ó c¸c c¸n bé gi¶ng d¹y vµ nghiªn 
cøu ë c¸c tr−êng ®¹i häc, cao ®¼ng vµ 
c¸c viÖn nghiªn cøu trong c¶ n−íc gÆp 
gì, th«ng b¸o vµ trao ®æi vÒ c¸c kÕt qu¶ 
nghiªn cøu ®¹t ®−îc gÇn ®©y trong c¸c 
lÜnh vùc §¹i sè - H×nh häc - T«p«. Ban 
Tæ chøc gåm Hµ Huy Kho¸i (ViÖn TH, 
®ång Tr−ëng ban), Ng« Sü Tïng (§H 
Vinh, ®ång Tr−ëng ban), TrÇn §¹o Dâng 
(§H HuÕ), NguyÔn ViÖt Dòng (ViÖn 
TH), N«ng Quèc Chinh (§H Th¸i 
Nguyªn), Phan D©n (§H Giao th«ng VT 
TP. HCM), NguyÔn V¨n Sanh (§H 
Mahidol, Th¸i Lan). Ban Ch−¬ng tr×nh 
gåm NguyÔn Tù C−êng (ViÖn TH, 
Tr−ëng ban), NguyÔn H÷u ViÖt H−ng 
(§H KHTN - §HQG Hµ Néi), Lª TuÊn 
Hoa (ViÖn TH), §ç Ngäc DiÖp (ViÖn 
TH), §ç §øc Th¸i (§HSP Hµ Néi), §µo 
Träng Thi (UBTV Quèc héi), Lª V¨n 
ThuyÕt (§H HuÕ). 
§Ó chuÈn bÞ cho Héi nghÞ, §H Vinh 
®· thµnh lËp Ban Tæ chøc ®Þa ph−¬ng 
gåm Ng« Sü Tïng (Tr−ëng ban), TrÇn 
V¨n ¢n (Phã ban), NguyÔn Thµnh 
Quang (Phã ban), NguyÔn V¨n Qu¶ng, 
Bïi V¨n Dòng, Lª Quèc H¸n, NguyÔn 
Duy B×nh, Chu Träng Thanh, NguyÔn 
ThÞ Hång Loan, Lª V¨n Thµnh, TrÇn 
Anh NghÜa, ThiÒu §×nh Phong. 
Héi nghÞ ®· diÔn ra tõ ngµy 
17/12/2007 ®Õn ngµy 20/12/2007. Cã 
kho¶ng 200 nhµ to¸n häc, gi¶ng viªn, 
nghiªn cøu sinh, häc viªn sau ®¹i häc 
®Õn tõ c¸c viÖn nghiªn cøu, tr−êng ®¹i 
häc, cao ®¼ng trong c¶ n−íc. §Æc biÖt 
tham dù Héi nghÞ nµy cã c¸c nhµ to¸n 
häc ®Õn tõ Nga, Hoa Kú, Trung Quèc, 
NhËt B¶n, Th¸i Lan. T¹i Héi nghÞ cã 6 
b¸o c¸o mêi 45 phót cña GS. §inh V¨n 
Huúnh (Ohio University, USA), GS. M. 
Oka (NhËt B¶n), GS. Lª TuÊn Hoa, PGS. 
Lª V¨n ThuyÕt, PGS. NguyÔn V¨n Ch©u, 
TS. Phã §øc Tµi vµ 2 b¸o c¸o mêi 30 
phót cña GS. L. A. Bokut (Nga), GS. Y. 
Chen (Trung Quèc). Cã kho¶ng 40 b¸o 
c¸o ng¾n (15 phót) ®· tr×nh bµy trong 3 
ngµy ho¹t ®éng chuyªn m«n cña Héi 
 17
nghÞ, th«ng b¸o c¸c kÕt qu¶ míi thu ®−îc 
trong thêi gian gÇn ®©y vÒ c¸c lÜnh vùc 
§¹i sè,