Tài liệu phụ đạo 11CB&NC: Vấn đề phép đối xứng trục

Vaán ñeà 2: PHEÙP ÑOÁI XÖÙNG TRUÏC
D(d)- Phép đối xứng trục (d) Û khi đó (d) là trung trực của đoạn MM’.
	· Ñd: M M¢ Û (M0 laø hình chieáu cuûa M treân d)
	· Ñd(M) = M¢ Û Ñd(M¢) = M 
Ñd(M) = M¢, Ñd(N) = N¢ Þ M¢N¢ = MN (D(d) bảo toàn khoảng cách)
Pheùp ñoái xöùng truïc bieán ñöôøng thaúng thaønh ñöôøng thaúng, bieán ñoaïn thaúng thaønh ñoaïn thaúng baèng noù, bieán tam giaùc thaønh tam giaùc baèng noù, bieán ñöôøng troøn thaønh ñöôøng troøn coù cuøng baùn kính. 
Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Ox : ÑOx(M) = M’ Û .
Bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng truïc Oy: ÑOy(M) = M’ .
Xác định tọa độ điểm M’ là ảnh của điểm M qua phép Dd,với (d): Ax + By +C = 0.
 Biểu thức tọa độ: (H là hình chiếu của M lên (d))	
B-BAØI TAÄP CÔ BAÛN VAØ PHAÙT TRIEÅN:
Bài toán 1: Áp dụng phép đối xứng trục tính toán hoặc chứng minh các tính chất hình học.
*Phöông phaùp: 
Dạng 1: Chứng minh (H1) là ảnh của (H2) qua phép đối xứng trục (d).
Bước 1: Lấy điểm M1 tùy ý thuộc (H1), ta chứng minh M2=Dd(M1) Î (H2).
Bước 2: Ngược lại, lấy điểm M2) tùy ý thuộc (H2), ta chứng minh M1 = Dd(M2) Î (H1).
Dạng 2: 
+ Xaùc ñònh pheùp ñoái xöùng truïc, thieát laäp moái quan heä giöõa caùc yeáu toá caàn chöùng minh.
+ Sử dụng các tính chất của phép đối xứng trục để giải các yêu cầu của bài toán. 
Baøi taäp:
Bài 1: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) lần lượt có tâm O1, O2 và đều có bán kính R, d là đường trung trực của O1O2. Chứng minh (C2) là ảnh của (C1) qua phép đối xứng trục (d).
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và AMNP có cạnh bằng a. Chứng minh rằng tồn tại một phép đối xứng trục (d) biến hình vuông ABCD thành AMNP.
Bài 3: Cho hai ñieåm B, C coá ñònh naèm treân ñöôøng troøn (O,R) vaø ñieåm A thay ñoåi treân ñöôøng troøn ñoù. Duøng pheùp ñoái xöùng truïc chöùng minh tröïc taâm H cuûa tam giaùc ABC naèm treân moät ñöôøng troøn coá ñònh.
Bài 4: Cho hai ñieåm A, B khoâng thuoäc ñöôøng thaúng d. Haõy xaùc ñònh ñieåm M thuoäc d sao cho AM + MB laø nhoû nhaát.
Bài 5: Cho D ABC nhọn, D là điểm cố định trên BC. Tìm hai điểm E, F lần lượt thuộc AB và AC sao cho DDEF có chu vi nhỏ nhất. 
 Bài 6: Cho D ABC có BC = a, CA = b, AB = c, p là nửa chu vi, ha là độ dài đường cao hạ từ A. Chứng minh rằng ha £ .
Bài 7: Cho DABC nội tiếp trong đường tròn (O,R). Gọi H là trực tâm của tam giác.
Chứng minh rằng các điểm đối xứng của H qua các cạnh của tam giác nằm trên đường tròn (O;R). Từ đó suy ra các đường tròn (HBC), (HCA), (HAB) và (O) bằng nhau.
Gọi O1, O2, O3 lần lượt là tâm các đường tròn nói ở câu b. Chứng minh DABC = DO1O2O3. 
Bài toán 2: Áp dụng phép đối xứng trục tìm tập hợp điểm ( giả sử điểm M di động).
	Phương pháp chung:
	+ Tìm một phép đối xứng trục Dd, biến điểm M (di động) thành điểm M’.
	+ Tìm tập hợp (H) của các điểm M.
	+ Kết luận tập hợp (H’) các điểm M’ là ảnh của (H) trong phép Dd.
Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Một đường thẳng (d) di động luôn qua A. Gọi D là điểm đối xứng của C qua (d). Đường thẳng BD cắt (d) tại M. Tìm quỹ tích các điểm D và M.
Bài 2: Cho đường tròn (O,R) trên đó có hai điểm A, B, một đường tròn (O1, R1) tiếp xúc ngoài với (O) tại A. Điểm M di động trên (O), tia MA cắt (O1) tại điểm thứ hai A1. Qua A1 vẽ đường thẳng song song với AB cắt tia MB tại B1. Tìm tập hợp điểm B1.
Bài 3: Cho đường tròn (O) và dây cung AB của nó, điểm M chạy trên (O) và không trùng với hai điểm A, B. H là trực tâm của tam giác MAB. Tìm tập hợp các điểm H. 
Bài toán 3: 	Áp dụng phép đối xứng trục tìm tọa độ của điểm, viết phương trình của đường. 
 I- Phöông phaùp:
	Söû duïng bieåu thöùc toïa ñoä cuûa pheùp ñoái xöùng truïc töø phöông trình cuûa hình suy ra phöông trình aûnh cuûa hình.
II- Baøi taäp:
Trong maët phaúng toïa ñoä Oxy cho ñöôøng thaúng d: x - 2y + 1 = 0, ñieåm M(-3,y0), haõy xaùc ñònh: 
a- Toïa ñoä ñieåm M’= ÑOx(M).	b) Phöông trình ñöôøng thaúng d’= ÑOx(d).
Trong mp toïa ñoä Oxy cho hai ñöôøng troøn .
a- Tìm aûnh cuûa taâm I1 cuûa ñöôøng troøn (C1) qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy. Vieát phöông trình aûnh cuûa (C1) qua pheùp ñoái xöùng truïc naøy.
b- Tìm aûnh cuûa taâm I2 cuûa ñöôøng troøn (C2) qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox. Vieát phöông trình aûnh cuûa (C2) qua pheùp ñoái xöùng truïc naøy.
Trong maët phaúng Oxy cho Parabol coù phöông trình : y = 2x2 (P). Haõy vieát phöông trình cuûa Parabol (P’) laø aûnh cuûa (P) qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox.
Tìm aûnh cuûa caùc elip sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox (Oy):
	a) 	b) x2 + 4y2 = 1	c) 9x2 + 16y2 = 144
Tìm aûnh cuûa caùc hypebol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox (Oy):
	a) 	b) x2 – 4y2 = 1	c) 9x2 – 25y2 = 225
Tìm aûnh cuûa caùc parabol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox:
	a) y2 = 2x	b) x2 = 2y	c) y = x2
Tìm aûnh cuûa caùc parabol sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy:
	a) y2 = 2x	b) x2 = 2y	c) y = x2
---------------------------------------------------------------------------------
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
Tìm aûnh cuûa caùc ñieåm sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy: A(2; 3), B(–2; 3), C(0; 6), D(4; –3).
Tìm aûnh cuûa ñieåm A(3; 2) qua pheùp ñoái xöùng truïc d vôùi d: x – y = 0.
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox:
	a) x – 2 = 0	b) y – 3 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) x + y – 1 = 0
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng thaúng sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy:
	a) x – 2 = 0	b) y – 3 = 0	c) 2x + y – 4 = 0	d) x + y – 1 = 0
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Ox:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
Tìm aûnh cuûa caùc ñöôøng troøn sau qua pheùp ñoái xöùng truïc Oy:
	a) (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9	b) x2 + (y – 2)2 = 4
	c) x2 + y2 – 4x – 2y – 4 = 0	d) x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
---------------------------------------------------------------------------------