Tài liệu Ôn thi vào Trung học Phổ thông - Môn Hình học - Phạm Văn Hiệu

 NhÈm nghiƯm (nÕu cã nghiƯm nguyªn th× nghiƯm ®ã 
lµ −íc cđa h¹ng tư tù do d) hoỈc dïng s¬ ®å Hooc- ne hoỈc dïng 
m¸y tÝnh ®Ĩ t×m nhanh nghiƯm nguyªn cđa ph−¬ng tr×nh, khi 
®4 biÕt mét nghiƯm th× dƠ dµng ph©n tÝch VT d−íi d¹ng tÝch vµ 
gi¶i ph−¬ng tr×nh tÝch (hoỈc chia ®a thøc) 
b) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 
H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù nh− ph−¬ng tr×nh bËc ba trªn 
c) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: 
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 (víi d = 
2
c
a
 
 
 
). 
Ph−¬ng ph¸p: 
Víi x = 0, thay vµo ph−¬ng tr×nh vµ kiĨm tra xem x = 0 cã lµ 
nghiƯm hay kh«ng ? 
Víi x ≠ 0. Chia c¶ hai vÕ cho x2, sau ®ã ta ®Ỉt t = x + c
ax
d) Ph−¬ng tr×nh bËc 4 d¹ng: 
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = k (víi a + b = c + d = m) 
Ph−¬ng ph¸p: §Ỉt t = x2 + mx + +ab cd
2
e) Ph−¬ng tr×nh bËc bèn d¹ng: 
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = kx2 (víi ab = cd = k) 
Ph−¬ng ph¸p: 
Chia c¶ hai vÕ cho x2. §Ỉt t = x + k
x
II- BÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 
1) §Þnh nghÜa: 
 Mét bÊt ph−¬ng tr×nh d¹ng ax + b > 0 (hoỈc ax + b < 0) víi a 0≠ 
®−ỵc gäi lµ mét bÊt ph−¬ng tr×nh bËc nhÊt mét Èn 
2) C¸ch gi¶i: ax + b > 0 ax > - b 
NÕu a > 0 th× bx
a
> − 
NÕu a < 0 th× bx
a
< − 
3) KiÕn thøc cã liªn quan: 
 Hai bÊt ph−¬ng tr×nh ®−ỵc gäi lµ t−¬ng ®−¬ng nÕu chĩng cã cïng 
tËp nghiƯm vµ dïng kÝ hiƯu ®Ĩ chØ sù t−¬ng ®−¬ng ®ã 
 Quy t¾c chuyĨn vÕ: Khi chuyĨn mét h¹ng tư (lµ sè hoỈc ®a thøc) tõ 
vÕ nµy sang vÕ kia cđa bÊt ph−¬ng tr×nh ta ph¶i ®ỉi dÊu h¹ng tư 
®ã => ta cã thĨ xãa hai h¹ng tư gièng nhau ë hai vÕ 
 Quy t¾c nh©n: Khi nh©n hai vÕ cđa mét bÊt ph−¬ng tr×nh víi cïng 
mét sè kh¸c 0, ta ph¶i: Gi÷ nguyªn chiỊu BPT nÕu sè ®ã d−¬ng; 
®ỉi chiỊu BPT nÕu sè ®ã ©m. 
39 
39 
 V× sù nghiƯp gi¸o dơc - V× sù nghiƯp trång ng−êi 
 N¨m häc 
2011 - 2015 
Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng 
4) TÝnh chÊt c¬ b¶n cđa bÊt ®¼ng thøc 
- Víi mäi sè thùc a, b, c ta cã : a > b a + c > b + c 
- Víi mäi sè thùc a, b, c, d ta cã : a > b, b > c => a > c (t/c b¾c cÇu) 
a > b, c > d => a + c > b + d 
a > b > 0, c > d > 0 => ac > b 
- Víi mäi sè thùc a, b, c, 
+ NÕu c > 0 th× a > b ac > bc 
+ NÕu c b ac < bc 
- Víi a, b lµ hai sè thùc : a > b 3 3a b> vµ a > b 3 3a b> 
- NÕu a 0,b 0≥ ≥ th× a > b a b> vµ a > b 2 2a b> 
- Gi¸ trÞ tuyƯt ®èi cđa mét biĨu thøc A 
A, nÕu A 0
A
A, nÕu A < 0.
≥
= 
−
Ta cã: A2 ≥ 0, |A| ≥ 0, 2A A= 
- BÊt ®¼ng thøc C« - si: Cho a, b lµ hai sè thùc kh«ng ©m, ta cã: 
a b ab
2
+ ≥ DÊu “=” x¶y ra a = b 
III – C¸c d¹ng bµi tËp cã liªn quan ®Õn biĨu thøc h÷u tØ, c¨n bËc hai, c¨n bËc ba. 
1. D¹ng 1 : Rĩt gän vµ tÝnh gi¸ trÞ c¸c biĨu thøc h÷u tØ 
 - Khi thùc hiƯn rĩt gän mét biĨu thøc h÷u tØ ta ph¶i tu©n theo thø 
tù thùc hiƯn c¸c phÐp to¸n : Nh©n chia tr−íc, céng trõ sau. Cßn nÕu biĨu 
thøc cã c¸c dÊu ngoỈc th× thùc hiƯn theo thø tù ngoỈc trßn, ngoỈc vu«ng, 
ngoỈc nhän. 
 - Víi nh÷ng bµi to¸n t×m gi¸ trÞ cđa ph©n thøc th× ph¶i t×m ®iỊu 
kiƯn cđa biÕn ®Ĩ ph©n thøc ®−ỵc x¸c ®Þnh (mÉu thøc ph¶i kh¸c 0) 
2. D¹ng 2 : T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ biĨu thøc cã nghÜa 
- BiĨu thøc cã d¹ng A
B
 x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B 0≠ 
- BiĨu thøc cã d¹ng A x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi A 0≥ 
- BiĨu thøc cã d¹ng A
B
 x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi B > 0 
- BiĨu thøc cã d¹ng BA
C
+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi 
A 0
C 0
≥

>
- BiĨu thøc cã d¹ng BA
C
+ x¸c ®Þnh (cã nghÜa) khi 
A 0
C 0
≥

≠
3. D¹ng 3 : Rĩt gän c¸c biĨu thøc chøa c¨n bËc hai, c¨n bËc ba 
LÝ thuyÕt chung: 
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiƯu 
a) C¸c c«ng thøc biÕn ®ỉi c¨n thøc 
1) 2A A= 
2) AB A B ( víi A 0 vµ B 0)= ≥ ≥ 
3) AA (víi A 0 vµ B > 0)
B B
= ≥ 
4) 2A B A B (víi B 0)= ≥ 
5) 2A B A B (víi A 0 vµ B 0)= ≥ ≥ 
2A B A B (víi A < 0 vµ B 0)= − ≥ 
6) A 1 AB (víi AB 0 vµ B 0)
B B
= ≥ ≠ 
7) A BA (víi B > 0)
BB
= 
8) 
( ) 2
2
C A B
C (víi A 0 vµ A B )
A B A B
= ≥ ≠
± −
∓
9) 
( )C A BC (víi A 0 , B 0 vµ A B)
A BA B
= ≥ ≥ ≠
−±
∓
10) 33 a x x a= = vµ ta cã : ( )3 3 33 a a a= = 
11) a 3 3a b< 
12) 3 3 3.ab a b= 
13) Víi b ≠ 0, ta cã: 
3
3
3
aa
b b
= 
*) L−u ý: 
§Ĩ rĩt gän biĨu thøc chøa c¨n thøc bËc hai ta lµm nh− sau : 
- Quy ®ång mÉu sè chung (nÕu cã) 
- §−a bít thõa sè ra ngoµi dÊu c¨n (nÕu cã) 
- Trơc c¨n thøc ë mÉu (nÕu cã) 
- Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh lịy thõa, khai c¨n, nh©n, chia ,  
theo thø tù ®· biÕt ®Ĩ lµm xuÊt hiƯn c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng 
- Céng, trõ c¸c biĨu thøc ®ång d¹ng (c¸c c¨n thøc ®ång d¹ng) 
b) C¸c h»ng ®¼ng thøc quan träng, ®¸ng nhí: 
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
+ = + + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
− = − + ≥2( a b) a 2 a.b b (a,b 0) 
41 
41 
 V× sù nghiƯp gi¸o dơc - V× sù nghiƯp trång ng−êi 
 N¨m häc 
2011 - 2015 
Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng 
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b) 
− = + − ≥a b ( a b).( a b) (a,b 0) 
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
6) + = + − +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
( ) ( )+ = + = + = + − + ≥3 33 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
7) − = − + +3 3 2 2a b (a b)(a ab b ) 
( ) ( )− = − = − = − + + ≥3 33 3a a b b a b a b ( a b)(a ab b) (a,b 0) 
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 
9) + + = + + + + + ≥2( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc (a,b,c 0) 
10) =2a a 
Ph©n d¹ng bµi tËp chi tiÕt 
D¹ng 3.1 : TÝnh – Rĩt gän biĨu thøc kh«ng cã ®iỊu kiƯn 
D¹ng 3.2 : Rĩt gän biĨu thøc cã ®iỊu kiƯn 
D¹ng 3.3 : TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc khi biÕt gi¸ trÞ cđa biÕn 
D¹ng 3.4 : T×m gi¸ trÞ cđa biÕn khi biÕt gi¸ trÞ cđa biĨu thøc 
D¹ng 3.5 : T×m gi¸ trÞ nguyªn cđa biÕn ®Ĩ biĨu thøc nhËn gi¸ 
trÞ nguyªn 
D¹ng 3.6 : T×m gi¸ trÞ cđa biÕn khi biÕt dÊu cđa biĨu thøc 
D¹ng 3.7 : Chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau khi ®· rĩt gän 
D¹ng 3.8 : T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cđa biĨu thøc 
D¹ng 3.9 : Bµi tËp tỉng hỵp 
IV – C¸c d¹ng to¸n vỊ hµm sè 
LÝ thuyÕt chung 
1) Kh¸i niƯm vỊ hµm sè (kh¸i niƯm chung). 
 NÕu ®¹i l−ỵng y phơ thuéc vµo ®¹i l−ỵng thay ®ỉi x sao cho víi 
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiƯu 
mçi gi¸ trÞ cđa x ta lu«n x¸c ®Þnh ®−ỵc chØ mét gi¸ trÞ t−¬ng øng 
cđa y th× y ®−ỵc gäi lµ hµm sè cđa x vµ x ®−ỵc gäi lµ biÕn sè. 
*) VÝ dơ: y = 2x; y = - 3x + 5; y = 2x + 3 ; ... 
*) Chĩ ý: 
Khi ®¹i l−ỵng x thay ®ỉi mµ y lu«n nhËn mét gi¸ trÞ kh«ng ®ỉi th× y 
®−ỵc gäi lµ hµm h»ng. 
*) VÝ dơ: C¸c hµm h»ng y = 2; y = - 4; y = 7; ... 
2) C¸c c¸ch th−êng dïng cho mét hµm sè 
a) Hµm sè cho bëi b¶ng. 
b) Hµm sè cho bëi c«ng thøc. 
- Hµm h»ng: lµ hµm cã c«ng thøc y = m (trong ®ã x lµ biÕn, m ∈ ) 
- 
- 
Hµm sè bËc nhÊt: Lµ hµm sè cã d¹ng c«ng thøc y = ax + b 
 Trong ®ã: x lµ biÕn, ∈ ≠a,b , a 0 . 
 a lµ hª sè gãc, b lµ tung ®é gèc. 
Chĩ ý: NÕu b = 0 th× hµm bËc nhÊt cã d¹ng y = ax ( ≠a 0 ) 
Hµm sè bËc hai: Lµ hµm sè cã c«ng thøc y = ax2 + bx + c 
 (trong ®ã x lµ biÕn, ∈ ≠a,b,c , a 0 ). 
Chĩ ý: NÕu c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 + bx ( ≠a 0 ) 
 NÕu b = 0 vµ c = 0 th× hµm bËc hai cã d¹ng y = ax2 ( ≠a 0 ) 
3) Kh¸i niƯm hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn. 
 Cho hµm sè y = f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x ∈ . Víi x1, x2 bÊt k× thuéc 
R 
a) NÕu gi¸ trÞ cđa biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) cịng t¨ng 
lªn th× hµm sè y = f(x) ®−ỵc gäi lµ hµm ®ång biÕn. 
NÕu 1 2 1 2x x mµ f(x ) < f(x )< th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R 
b) NÕu gi¸ trÞ cđa biÕn x t¨ng lªn mµ gi¸ trÞ t−¬ng øng f(x) gi¶m ®i 
th× hµm sè y = f(x) ®−ỵc gäi lµ hµm nghÞch biÕn. 
NÕu 1 2 1 2x x mµ f(x ) > f(x )< th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn /R 
4) DÊu hiƯu nhËn biÕt hµm ®ång biÕn vµ hµm nghÞch biÕn. 
a) Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b ( ≠a 0 ). 
 - NÕu a > 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n ®ång biÕn trªn  . 
 - NÕu a < 0 th× hµm sè y = ax + b lu«n nghÞch biÕn trªn  . 
b) Hµm bËc hai mét Èn sè y = ax2 ( ≠a 0 ) cã thĨ nhËn biÕt ®ång biÕn vµ 
nghÞch biÕn theo dÊu hiƯu sau: 
 - NÕu a > 0 th× hµm ®ång biÕn khi x > 0, nghÞch biÕn khi x < 0. 
 - NÕu a 0. 
5) Kh¸i niƯm vỊ ®å thÞ hµm sè. 
 §å thÞ cđa hµm sè y = f(x) lµ tËp hỵp tÊt c¶ c¸c ®iĨm biĨu diƠn c¸c 
cỈp gi¸ trÞ t−¬ng øng (x; f(x)) trªn mỈt ph¼ng to¹ ®é. 
Chĩ ý: D¹ng ®å thÞ: 
a) Hµm h»ng. 
43 
43 
 V× sù nghiƯp gi¸o dơc - V× sù nghiƯp trång ng−êi 
 N¨m häc 
2011 - 2015 
Tµi liƯu ¤n thi vµo Trung häc Phỉ th«ng 
 §å thÞ cđa hµm h»ng y = m (trong 
®ã x lµ biÕn, m ∈ ) lµ mét 
®−êng th¼ng lu«n song song víi 
trơc Ox. 
§å thÞ cđa hµm h»ng x = m (trong 
®ã y lµ biÕn, m ∈ ) lµ mét 
®−êng th¼ng lu«n song song 
víi trơc Oy. 
b) §å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp hỵp c¸c 
®iĨm) lu«n ®i qua gèc to¹ ®é. 
*) C¸ch vÏ: LÊy mét ®iĨm thuéc ®å thÞ kh¸c O(0 ; 0), ch¼ng h¹n 
®iĨm A(1 ; a). Sau ®ã vÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm O(0 ; 0) 
vµ A(1 ; a) ta ®−ỵc ®å thÞ hµm sè y = ax ( ≠a 0 ) 
c) §å thÞ hµm sè y = ax + b ( ≠a,b 0 ) lµ mét ®−êng th¼ng (h×nh ¶nh tËp 
hỵp c¸c ®iĨm) c¾t trơc tung t¹i ®iĨm (0; b) vµ c¾t trơc hoµnh t¹i ®iĨm 
( −b
a
, 0). 
*) C¸ch vÏ: Cã hai c¸ch vÏ c¬ b¶n 
+) C¸ch 1: X¸c ®Þnh hai ®iĨm bÊt k× nµo ®ã thuéc ®å thÞ, ch¼ng 
h¹n nh− sau: 
Tr−êng THCS Hång H−ng - Gia Léc – h¶i D−¬ng 
Ng−êi viÕt - Gi¸o viªn: Ph¹m V¨n HiƯu 
Cho x = 1 => y = a + b, ta ®−ỵc A(1 ; a + b) 
Cho x = -1 => y = - a + b, ta ®−ỵc A(-1 ; - a + b) 
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm A vµ B ta ®−ỵc ®å thÞ hµm sè y 
= ax + b ( ≠a,b 0 ) 
+) C¸ch 2: T×m giao ®iĨm cđa ®å thÞ víi c¸c trơc täa ®é, cơ thĨ: 
Cho x = 0 => y = b, ta ®−ỵc M(0 ; b) Oy∈ 
Cho y = 0 => x = b
a
− , ta ®−ỵc N( b
a
− ; 0) Ox∈ 
VÏ ®−êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm M vµ N ta ®−ỵc ®å thÞ hµm sè y 
= ax + b ( ≠a,b 0 ) 
d) §å thÞ hµm sè y = ax2 ( ≠a 0 ) lµ mét ®−êng cong Parabol cã ®Ønh 
O(0;0). NhËn trơc Oy lµm trơc ®èi xøng 
 - §å thÞ ë phÝa trªn trơc hoµnh nÕu a > 0. 
 - §å thÞ ë phÝa d−íi trơc hoµnh nÕu a < 0. 
6) VÞ trÝ t−¬ng ®èi cđa hai ®−êng th¼ng 
*) Ha