Tài liệu ôn tập bám sát học kì II môn Toán khối 12

tâm của tam giác ABC.
b) Cho 4 điểm khơng đồng phẳng ; ; ; . Tìm toạ độ trọng tâm tứ diện ABCD.
4. Cho điểm M cĩ toạ độ (x; y; z). Tìm tọa độ hình chiếu vuơng gĩc của M:
a) Trên các mặt phẳng Oxy, Oxz, Oyz.	b) Trên các trục toạ độ Ox, Oy, Oz.
c) Tìm toạ độ của điểm đối xứng với điểm M qua gốc toạ độ O (M1), qua trục Ox (M2), qua trục Oy (M3), qua trục Oz (M4), qua mặt phẳng Oxy(M5), qua mặt phẳng Oxz(M6), qua mặt phẳng Oyz (M7).
5. Trong hai bộ ba điểm sau, bộ ba điểm nào thẳng hàng:
; ; và ; ; 
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết: ; ; ; . Tìm toạ độ các đỉnh cịn lại. Tương tự nếu ; ; ; .
7. Cho bốn điểm ; ; ;. 
a) Chứng minh ABCD là hình bình hành. 	b) Tính AB, AD và diện tích hình bình hành ABCD.
8. Cho 3 điểm: ; ; . 
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC. 
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
9. Cho tam giác ABC với ; ; . 
a) Tính AB, BC, CA và diện tích tam giác ABC. 
b) Tìm toạ độ trung điểm của AB, BC, CA và toạ độ trọng tâm tam giác ABC.
c) Tìm chân D của đường phân giác trong AD của gĩc A.
10. Cho ba vectơ: ; ; . Tìm:
a) (.).	b) .(.)	c) .+.+.	d) 3-2(.).+.	e) 4.+-5
11. Tìm gĩc giữa hai vectơ sau:
a) ; 	b) ; 	c) ; 
12. a) Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai điểm: ; .
b) Trên mặt phẳng Oxy, tìm điểm cách đều ba điểm: ; ; .
13. Xét sự đồng phẳng của ba vectơ sau: 
a) ; ; .	b) ; ; .
c) ; ; .	d) ; ; .
e) ;;
14. Cho 3 điểm ; ; 
a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác (Chứng minh A, B, C khơng thẳng hàng).
b) Tính chu vi và diện tích tam giác.
c) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
e) Tính các gĩc của tam giác ABC.
f) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong AD1 và chân D2 đường phân giác ngồi AD2 của
15. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.
b) Tính gĩc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
16. Cho tam giác ABC biết: ; ; . Tìm độ dài các đường phân giác trong.
17. Chứng minh các tính chất của tích cĩ hướng của hai vectơ sau:
a) 	b) 	c) 
18. Cho tam giác ABC với: ; ; 
a) Tính chu vi và diện tích tam giác.
b) Tìm toạ độ đỉnh D để tứ giác ABCD là hình bình hành.
c) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC hạ từ đỉnh A.
d) Tính các gĩc của tam giác ABC.
e) Tìm tọa độ chân D1 đường phân giác trong AD1 và chân D2 đường phân giác ngồi AD2 của
19. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện (Chứng minh A, B, C, D khơng đồng phẳng).
b) Tính gĩc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện ABCD.
c) Tính thể tích tứ diện và tính độ dài đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A.
d) Tìm toạ độ tâm hình tứ diện ABCD.
e) Tìm tọa độ của điểm I cách đều bốn điểm A, B, C, D.
f) Tìm toạ độ hình chiếu K của D lên mặt phẳng (ABC).
20. Cho ba điểm: ; ; .
a) Chứng minh ABC là tam giác vuơng.
b) Tìm toạ độ chân của đường phân giác trong của tam giác xuất phát từ B.
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
21. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng tỏ D nằm ngồi mặt phẳng (ABC).
b) Tìm toạ độ trọng tâm của tứ diện ABCD.
c) Tính diện tích tứ diện ABCD và tính độ dài đường cao hạ từ đỉnh A.
22. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Chứng minh A, B, C, D nằm trên cùng mặt phẳng.
b) Tìm toạ độ giao điểm I của AC và BD. 
23. Cho tam giác CDE với: ; ; . Tính độ dài đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác xuất phát từ đỉnh E của tam giác.
24. Cho tứ bốn điểm ; ; ; . Tìm toạ độ hình chiếu vuơng gĩc H của P lên mặt phẳng ABC.
25. Cho bốn điểm: ; ; ; 
a) Tính cosin của gĩc tạo bởi và .
b) Tính diện tích tam giác BCD.
c) Tính độ dài đường cao của hình tứ diện ABCD xuất phát từ đỉnh A.
Phần 2: Phương trình mặt cầu.
A. Kiến thức cần nhớ
1. Phương trình mặt cầu tâm , bán kính R:
Dạng chính tắc:
Dạng khai triển: (Với )
- Tâm: 
- Bán kính: 
2. Một mặt phẳng (P) cắt mặt cầu bởi thiết diện là một đường trịn C tâm I’, bán kính r: C(I’,r)
- d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng P: 
- Tâm I’ là giao điểm của đường thẳng (d) (qua tâm I của mặt cầu và vuơng gĩc với mặt phẳng (P)) và mặt phẳng (P).
- Bán kính: 
* Nếu (P) đi qua tâm I của mặt cầu thì: II’ và R=r.
3. Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I, R): 
B. Bài tập: Phương trình mặt cầu
1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) 	b) 
b) 	c) 
e) 	f) 
g) 	h) 
i) 	j) 
2. Viết phương trình của mặt cầu đường kính AB với A, B cĩ toạ độ:
a); .	b) ; .
3. Cho hai mặt cầu: và .
Chứng minh rằng (S1) và (S2) cắt nhau theo một đường trịn. Xác định tâm và bán kính của nĩ.
4. Cho bốn điểm ; ; ; 
a) Chứng minh rằng ABCD là tứ diện cĩ ba mặt vuơng tại A.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
5. Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCO với ; ; ; .
6. Cho ; ; ; ; .
a) Chứng minh rằng ABCD là hình vuơng và SA là đường cao của hình chĩp S.ABCD.
b) Tìm phương trình mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD.
7. Cho hai mặt cầu và . Tìm phương trình mặt cầu (S) cĩ tâm nằm trên đường nối tâm của 2 mặt cầu trên, tiếp xúc với hai mặt cầu trên và cĩ bán kính lớn nhất.
Mặt cầu đi qua các điểm
8. Viết phương trình mặt cầu nếu biết:
a) Tâm I(1; -3; 5), bán kính .
b) Tâm I(5; -3; 7). bán kính R = 2.
c) Tâm I(3; -2; 1) và qua điểm A(2; 1; -3).
d) Tâm I(4; -4; -2) và đi qua gốc toạ độ.
e) Tâm I(4; -1; 2) và qua điểm A(1; -2; -4)
f) Hai đầu đường kính là A(4; -3; -3) và B(2; 1; 5).
g) Hai đầu đường kính là A(2; -3; 5) và B(4; 1; -3).
h) Nhận AB làm đường kính với A(6; 2; -5) và B(-4; 0; 7).
i) Đi qua bốn điểm: A(1; -2; -1), B(-5; 10; -1), C(4; 1; 1), D(-8; -2; 2).
j) Đi qua bốn điểm: A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
k) Qua ba điểm: A(0; 0; 4), B(2; 1; 3), C(0; 2; 6) và cĩ tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).
9. Cho các điểm: A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) trong đĩ a, b, c là các hằng số dương.
a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác nhọn.
b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
5x - 4y + 3z + 20 = 0
3x - 4y + z - 8 = 0
c) Tìm toạ độ O’ đối xứng với O qua mặt phẳng (ABC).
10. Lập phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; -1) và cắt đường thẳng ( d): 
tại hai điểm A, B sao cho AB = 16.
11. Cho các điểm: A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4).
a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu đĩ.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC). Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC).
Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
12. Xét vị trí tương đối của mặt cầu và mặt phẳng sau:
a) , x + 2y + z -1 = 0.
b) , x + 2y + 2z = 0.
c) , x + y -z - 10 = 0.
d) , z - 3 = 0.
e) , y - 1 = 0.
f) , x- 5 = 0.
g) , x + 2y - z - 8 = 0.
h) , x - 2y - z + 5 = 0.
i) , x - 2y - 3 = 0.
j) , x - 2 = 0.
k) , 2x - 4y - 2z + 5 = 0.
l) , 2x + y - z + m = 0.
m) , x + y - z - 4 = 0. 
13. Cho điểm D(-3; 1; 2) và mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).
a) Viết phương trình đường thẳng AC.
b) Viết phương trình mặt phẳng (P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D bán kính R = 5. Chứng minh rằng mặt cầu này cắt AC.
d) Xét vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu tâm D bán kính R khi R thay đổi.
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng
14. Viết phương trình mặt cầu:
a) Tâm I(3; -5; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng 2x - y -3z + 1 = 0.
b) Tâm I(1; 4; 7) và tiếp xúc với mặt phẳng 6x +6y -7z +42 = 0.
c) Tâm I(1; 1; 2) và tiếp xúc với mp(P): x + 2y + 2z + 3 = 0.
d) Tâm I(-2; 1; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng: x + 2y - 2z + 5 = 0.
e) Bán kính R = 3 và tiếp xúc với mặt phẳng x + 2y + 2z + 3 = 0 tại điểm M(1; 1; -3).
f) Tiếp xúc với các mp: 6x -3y -2z -35 = 0, 6x -3y -2z+63 = 0 và với 1 trong 2 mp ấy 
tại M(5; -1; -1).
2x + 4y -z - 7 = 0
4x +5y +z - 8 = 0
g) Tâm I nằm trên (d): và tiếp xúc với 2 mp (P): x+2y-2z-2=0, 
(Q): x +2y-2z+4= 0.
h) Tâm I nằm trên (d): y = x - 4, z = 2x - 6 và tiếp xúc với 2 mặt phẳng Oxy và Oyz.
15. Cho 4 điểm: A(3; -2; -2), B(3; 2; 0), C(0; 2; 1), D(-1; 1; 2).
a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD). Suy ra ABCD là một tứ diện.
b) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Tìm toạ độ tiếp điểm.
16. Cho 4 điểm A(-2; 0; 1), B(0; 10; 3), C(2; 0; -1) và D(5; 3; -1).
a) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A, B, C.
b) Viết phương trình đường thẳng qua D và vuơng gĩc với mp(P).
c) Viết phương trình mặt cầu tâm D và tiếp xúc với mp(P). 
17. Cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + 6z - 18 = 0 cắt Ox tại A, Oy tại B, Oz tại C. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. 
Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (tiếp diện)
18. Viết phương trình mặt phẳng:
a) Tiếp xúc với mặt cầu: tại điểm M(-1; 3; 0).
b) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(4; 3; 0).
c) Tiếp xúc với mặt cầu: tại M(7; -1; 5).
d) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: Ax+By+Cz+D=0.
e) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: 3x-2y+6z+14=0.
f) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: 4x +3z -17 = 0.
g) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với mp: x +2y +2z +5 = 0.
h) Chứa đường thẳng: x=4t+4, y=3t+1, z=t+1 và tiếp xúc với mc: 
i) Tiếp xúc với mặt cầu ngoại tiếp ABCD tại A với A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; -1), D(4; 1; 0).
j) Tiếp xúc với mặt cầu: và song song với 2 đường thẳng:
; .
k) Chứa đường thẳng (d):	 và tx với mc: .
l) Tiếp xúc với mặt cầu và vuơng gĩc với đường thẳng (d):
19. Với giá trị nào của a thì mặt phẳng x +y +z +a = 0 tiếp xúc với mặt cầu. Xác định tiếp điểm.
20. Cho mặt cầu (S): và đường thẳng (d): x = 1, y = 2 -5t, z = -4 +5t.
a) Tìm giao điểm A, B của đường thẳng và mặt cầu. Tính khoảng cách từ tâm (S) đến (d).
b) Lập phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại A, B.
21. Cho mặt cầu (S): . Viết phương trình tiếp diện của (S):
2x - y - 1 = 0
z - 1 = 0
a) Đi qua T(1; 1; 1).
b) Đi qua đường thẳng: 
c) Đi qua đường thẳng: .
d) Vuơng gĩc với đường thẳng: .
Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
22.Cho mặt cầu (S): . Xét vị trí tương đối của (S) với (d):
a) (d): (x = 1 - 2t; y = 2 + t; z = t +