Tài liệu nâng cao Toán lớp 7

A.Lý thuyÕt: * C¸c tÝnh chÊt cña tØ lÖ thøc:
	+ NÕu ; 	+ NÕu th× :
* VÒ tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau:
+ Tõ d·y tØ sè hoÆc Theo tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta cã: 	* ; * 
B.C¸c d¹ng to¸n:
D¹ng 1: T×m c¸c sè khi biết tổng (hoặc tích) và tỷ số của chúng.
VD1: T×m x,y,z biÕt:
	a) vµ ;	b) vµ 
	Gi¶i: 
 a) Cách 1: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc: 
Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút x,y,z theo k. 
Theo (1) ta có: x = 4; y = 6; z = 8
Cách 3: Rút x, y theo z.
b) 
VD2: T×m x, y,z biÕt:
 a) vµ ;	b) vµ 
	Gi¶i: ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
a) 
b) 
VD3: T×m x, y,z biÕt: vµ ;	
	Gi¶i: a) Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
VD 4: T×m x, y biÕt:
	a) vµ ;	b) vµ 
	Gi¶i: Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
VD5: Tính các góc của tam giác ABC biết 
	Gi¶i: 
Tõ: 
Tæng qu¸t : 
(*)
T×m x,y,z biÕt vµ 
Víi lµ c¸c sè cho tr­íc vµ m,n,p≠ 0
Ph­¬ng ph¸p gi¶i lµ: ta chØ cÇn ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ®Ó ®Ó t¹o ra tû sè lµ h»ng sè . 
Tõ 
VD6: T×m x,y,z biÕt:
a) vµ ;	b) vµ 
 	Gi¶i:
Cách 1: 
 Với x = 4 Þ y = 6
 Với x = - 4 Þ y = - 6
Cách 2: §Æt 
Thay vµo ta ®­îc: 
-Víi 
-Víi 
§Æt 
Thay vµo ta ®­îc:
VD7: T×m x, y,z biÕt:
a) vµ 
b) vµ 
	Gi¶i: 
a) Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc: 
kÕt hîp víi (1) hoÆc 
b) Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc: 
kÕt hîp víi (1) hoÆc 
Tæng qu¸t : 
T×m x,y,z biÕt vµ 
 Víi lµ c¸c sè kh¸c 0 *
Ph­¬ng ph¸p gi¶i nh­ sau:
 Tõ 
¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau cho d·y tØ sè ta ®­îc: 
D¹ng 2: Chøng minh ®¼ng thøc từ mét hÖ thøc cho tr­íc.
VD1: Cho tØ lÖ thøc:
Chøng minh r»ng:
	a) 	b) 
	Gi¶i:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
	Tõ . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
 	do :
	Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
	Đặt 
	Vậy: 
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b)do: 
Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Cách 4: 
 VD2: Cho tØ lÖ thøc:Chøng minh r»ng:
	a)
Gi¶i:
a) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
	do: . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
	từ : 
Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
 Đặt Vậy: 
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
b) Cách 1: Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau.
	do: . ¸p dông tÝnh chÊt d·y tØ sè b»ng nhau ta ®­îc:
	từ 
Cách 2: Đặt tỷ số bằng k rút tử theo k và mẫu:
Cách 3: Áp dụng tính chất của tỷ lệ thức.
Tæng qu¸t : 
Nếu: thì: 
Nhận xét: Hầu hết các bài tập trong hai dạng toán trên đều có thể giải bằng nhiều cách tuy nhiên ở mỗi bài ta nên chọn c ách giải hợp lý nhất.
VD 3: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng: .
Gi¶i:
D¹ng 3: Tính giá trị của một biểu thức. 
	Ví dụ: Cho : hãy tính giá trị của biểu thức 
	Gi¶i:
C.Bµi tËp vËn dông
Bµi 1: T×m hai sè x vµ y biÕt:
	a) vµ 5x – 2y = 87;	b) vµ 2x – y = 34;
Bµi 2: T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng: 2a = 3b; 5b = 7c vµ 3a + 5c – 7b = 30.
Bµi 3: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ 5x + y – 2z = 28;	b) ; vµ 2x + 3y – z = 186;
c) 3x = 2y; 7y = 5z vµ x – y + z = 32;	d) vµ x + y + z = 49;
e) vµ 2x + 3y – z = 50;
Bµi 4: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) vµ xyz = 810;	b) vµ x2 + y2 + z2 = 14.
Bµi 5: T×m c¸c sè x; y; z biÕt r»ng:
	a) ;
	b) ;	c) 
Bài 6: Ba người cùng góp vốn kinh doanh được tổng số tiền là 180 triệu đồng. Biết rằng 3 lần số vốn của người thứ nhất bằng 2 lần số vốn của người thứ hai và 4 lần số vốn của người thứ hai bằng 3 lần vốn của người thứ 3. Tính số vốn mà từng người đã góp.
Bµi 7: Cho tØ lÖ thøc: ; Chøng minh r»ng:
	a) ;	b) .
Bµi 8: Cho tØ lÖ thøc: . Chøng minh r»ng: .
Bµi 9: Cho d·y tØ sè : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 10: Cho 4 sè a1; a2; a3; a4 tho¶ m·n: a22 = a1.a3 vµ a32 = a2.a4.
Chøng minh r»ng: .
Bµi 11*: Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh r»ng: .
Bµi 12: Cho ba tØ sè b»ng nhau: . T×m gi¸ trÞ cña mçi tØ sè ®ã ?
Bµi 13: Cho a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ kh¸c 0 sao cho:
 T×m gi¸ b»ng sè cña biÓu thøc: 
Bµi 14: Cho biÓu thøc: .T×m gi¸ tri cña biÓu thøc P biªt r»ng: 
Bài 15: Cho 2008 số thoả mãn a1+a2+...+a2008 ¹ 0 và 
 Hãy tính giá trị của biểu thức: 
Bài 16: Cho Chứng minh rằng nếu 
	 Thì giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của x.